楊靜（杭州余杭實(shí)驗(yàn)中學(xué)，浙江 杭州 311100）

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概念定義靈活用 轉(zhuǎn)化運(yùn)算促解題——高三解析幾何復(fù)習(xí)解題教學(xué)的幾點(diǎn)思考

楊靜
（杭州余杭實(shí)驗(yàn)中學(xué)，浙江 杭州 311100）

解析幾何教學(xué)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，同時(shí)對(duì)學(xué)生來說也是難點(diǎn)所在，從高考中解析幾何的地位來看，其所占的分值也相對(duì)較大.從知識(shí)方面來看，高考命題常常立足于圓錐曲線的背景、定義以及問題解決過程中的幾何轉(zhuǎn)化等方面來設(shè)計(jì)；從能力方面來看，橢圓與雙曲線無論在概念、方程以及幾何性質(zhì)上都具有較強(qiáng)的相似性，因此，其研究方式主要集中在類比遷移及差異分析等思維特質(zhì)上，此外，對(duì)拋物線問題的考查，常常結(jié)合拋物線的定義及其幾何性質(zhì)進(jìn)行靈活轉(zhuǎn)化與應(yīng)用，這些方面對(duì)學(xué)生而言都提出了較強(qiáng)的挑戰(zhàn)性．從考查的核心指向（體現(xiàn)學(xué)科特點(diǎn)）來看，高考中對(duì)解析幾何的考查必然結(jié)合了數(shù)形結(jié)合、化歸轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，同時(shí)結(jié)合了較為復(fù)雜的運(yùn)算，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和運(yùn)算能力也提出了更高的要求。

作為高三復(fù)習(xí)解題教學(xué)，只有理解背景，立足定義，注重轉(zhuǎn)化，優(yōu)化運(yùn)算從這四個(gè)方面進(jìn)行教學(xué)指導(dǎo)，才能讓學(xué)生學(xué)好解析幾何，提升解題的能力，同時(shí)教師的復(fù)習(xí)課堂也才能更有效。

一、理解背景，曲線類型明辨析

教材中對(duì)圓錐曲線的背景在章頭圖中有明確的探索與演示：“將兩個(gè)共點(diǎn)的圓錐放在一起，用平行于底面的平面去截，則得到的曲線是圓；將其稍作傾斜，得到的曲線是橢圓；若繼續(xù)傾斜，當(dāng)截面與母線之一平行時(shí)，則得到拋物線；再繼續(xù)將平面轉(zhuǎn)起，則平面與上下兩個(gè)共點(diǎn)圓錐均相交，此時(shí)的曲線是雙曲線．這是圓錐曲線名稱的由來，其起源自古希臘數(shù)學(xué)家對(duì)于圓錐的研究得到的名稱，一直沿用至今．教材的“探索與發(fā)現(xiàn)”欄目中對(duì)圓錐的截口曲線為什么是橢圓更有進(jìn)一步的推理與設(shè)問．

在高三復(fù)習(xí)教學(xué)中，對(duì)這一章的章頭圖及“探索與發(fā)現(xiàn)”欄目中內(nèi)容有必要仔細(xì)分析，讓學(xué)生理解解析幾何的概念，會(huì)在概念的指導(dǎo)下在截面與圓錐的母線的關(guān)系中生成圓錐曲線．

結(jié)論：用一個(gè)不過圓錐面頂點(diǎn)的平面去截一個(gè)圓錐面，當(dāng)平面圓錐的軸所成的角θ與圓錐母線與軸所成角α大小關(guān)系不同時(shí)，交線的不同情況如圖所示：

例1．（2015年浙江省高考數(shù)學(xué)文科第7題）如圖，斜線段AB與平面α所成的角為60°，B為斜足，平面上的動(dòng)點(diǎn)P滿足∠PAB=30°，則點(diǎn)P的軌跡是( )

A.直線 B.拋物線 C.橢圓 D.雙曲線的一支

分析：解決本題的關(guān)鍵是要學(xué)生有立體幾何的模型——當(dāng)動(dòng)直線與定直線成角為定角時(shí)，動(dòng)直線即為以定直線為軸的圓錐的母線，有了這個(gè)圓錐面的模型后再結(jié)合解析幾何的生成概念就不難得出答案了。

解：由AP與AB成定角為30°，可知AP是以AB為軸的α=30°的圓錐的母線，又AB與平面α成角為60°，即θ=60°可知α< θ <90°，因此交線為橢圓。

由此我們可以進(jìn)一步得到：

當(dāng)AB與平面α成角為θ=30°時(shí)，交線為拋物線；

當(dāng)AB與平面α成角0≤θ< 30°時(shí)，交線為雙曲線．

在實(shí)際的教學(xué)中，解析幾何的復(fù)習(xí)往往更多關(guān)注的是解題的重復(fù)訓(xùn)練和反復(fù)操作，這也在一定程度上體現(xiàn)了教師自身對(duì)這塊內(nèi)容理解的不夠到位，把反復(fù)訓(xùn)練當(dāng)成是復(fù)習(xí)的全部顯然不利于學(xué)生對(duì)概念的理解和解題能力的提升，學(xué)生在遇到這樣的考題時(shí)只能是望而卻步。

筆者認(rèn)為，在圓錐曲線的復(fù)習(xí)教學(xué)中，只有讓學(xué)生在動(dòng)手操作中進(jìn)行模型識(shí)別，在探究與推理中深刻理解圓錐曲線的背景，把對(duì)于圓錐曲線概念的背景、本質(zhì)特征、內(nèi)涵與外延的理解放在首位，才能切實(shí)幫助學(xué)生對(duì)圓錐曲線概念的同化，真正體會(huì)與梳理在問題解決過程中的方法，促進(jìn)學(xué)生提升在問題解決過程中的思維和能力，實(shí)現(xiàn)認(rèn)知圖式的擴(kuò)張．

二、立足定義，數(shù)形結(jié)合促解題

解析幾何是在直角坐標(biāo)系的背景下用代數(shù)方法研究幾何性質(zhì)的典范，是數(shù)形結(jié)合思想的典型，但如果用純代數(shù)的方法進(jìn)行研究，有時(shí)運(yùn)算復(fù)雜，技巧較多，如果能利用圖形先作幾何量化的分析，數(shù)形結(jié)合的處理問題，能起到事半功倍的效果。

高三解析幾何復(fù)習(xí)解題教學(xué)必須立足圓錐曲線的定義，橢圓、雙曲線注重焦點(diǎn)三角形的靈活應(yīng)用，拋物線關(guān)注焦點(diǎn)弦的基本性質(zhì)等基本知識(shí)點(diǎn)，這些基本知識(shí)和基本性質(zhì)是落實(shí)基礎(chǔ)的關(guān)鍵。

本例中用了兩次定義求得a，同時(shí)又對(duì)兩個(gè)焦點(diǎn)三角形的公共角應(yīng)用余弦定理得到關(guān)于c的方程，從而求得c，進(jìn)一步得到e，焦點(diǎn)三角形的仔細(xì)觀察及余弦定理的兩次應(yīng)用是解決這個(gè)題目的關(guān)鍵。

筆者認(rèn)為，高三的復(fù)習(xí)解題教學(xué)必須從基本定義及性質(zhì)入手，善于觀察圖像的特點(diǎn)，用數(shù)形結(jié)合的思想引領(lǐng)解題，靈活應(yīng)用定義，這樣才能夯實(shí)基礎(chǔ)，提升對(duì)此類題目的本質(zhì)理解，有利于解題能力的提升。

三、注重轉(zhuǎn)化，思想方法齊滲透

在解決一些綜合性較強(qiáng)的解析幾何問題時(shí)，學(xué)生的困難往往是題目中的幾何條件不能準(zhǔn)確地轉(zhuǎn)化為代數(shù)形式，導(dǎo)致問題無法解決。對(duì)于幾何條件的準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化其實(shí)質(zhì)是數(shù)學(xué)思想方法的體現(xiàn)。

在高三復(fù)習(xí)解題教學(xué)中，數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)應(yīng)逐步成為解析幾何重點(diǎn)與核心，因此，只有在解題復(fù)習(xí)教學(xué)中逐步滲透數(shù)學(xué)思想方法，對(duì)解析幾何問題結(jié)合化歸轉(zhuǎn)化，數(shù)學(xué)結(jié)合，方程函數(shù)等數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，才能使學(xué)生對(duì)其理解透徹。

例3．（2015年浙江省高考數(shù)學(xué)理科第5題）如圖，設(shè)拋物線y2=4 x的焦點(diǎn)為F，不經(jīng)過焦點(diǎn)的直線上有三個(gè)不同的點(diǎn)A，B，C，其中點(diǎn)A，B在拋物線上，點(diǎn)C在y軸上，則ΔBCF與ΔACF的面積之比（ ）

分析：解好本題的關(guān)鍵是降維和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想——把ΔBCF 與ΔACF的面積之比轉(zhuǎn)化為弦長(zhǎng)BC與AC之比，再用拋物線的定義進(jìn)行求解。

解：由A, B , C三點(diǎn)共線，及拋物線的定義

本題以直線與拋物線的位置關(guān)系為背景，考查轉(zhuǎn)化與化歸及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，題目表述十分簡(jiǎn)潔，但對(duì)學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸能力是又一定的要求的，這樣的解題如果沒有平時(shí)思想方法的不斷滲透，學(xué)生在解題過程中必然會(huì)碰到困難。

這是一道求橢圓離心率的題目，命題與浙江省的命題風(fēng)格“條件簡(jiǎn)潔、問題清楚”相一致，但考生普遍反映“入手容易，運(yùn)算困難”，其實(shí)只要對(duì)題目的題意理解清楚，等價(jià)轉(zhuǎn)化到位，結(jié)合圓錐曲線的定義，題目的運(yùn)算量是不大的，上述的這種解法，滲透了等價(jià)轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法，自然、流暢，計(jì)算簡(jiǎn)潔。

筆者認(rèn)為，在高三解析幾何復(fù)習(xí)教學(xué)中，只有不斷滲透數(shù)學(xué)思想方法，讓學(xué)生能準(zhǔn)確理解題目的含義，靈活轉(zhuǎn)化題目的條件，再結(jié)合圓錐曲線的定義及相關(guān)基本性質(zhì)，才能靈活解題，提高復(fù)習(xí)的效率。

四、優(yōu)化運(yùn)算，整合突破提能力

解析幾何的解題必然結(jié)合著較為復(fù)雜的運(yùn)算，這也是學(xué)生感覺解析幾何問題解決較為困難的一個(gè)重要方面，但這樣的運(yùn)算又無法回避，這就需要在平時(shí)多加以訓(xùn)練．

在高三復(fù)習(xí)教學(xué)中，在運(yùn)算訓(xùn)練上可以形成模塊化的訓(xùn)練，如直線與曲線方程的聯(lián)立，弦長(zhǎng)公式，面積求法，分式函數(shù)最值的求法等．同時(shí)還要注重在運(yùn)算過程中與其他知識(shí)的整合與銜接，如與函數(shù)結(jié)合的最值求法，與方程結(jié)合的韋達(dá)定理應(yīng)用等，這些模塊的運(yùn)算訓(xùn)練中較少的涉及解題思維問題，要求學(xué)生準(zhǔn)確快速的運(yùn)算，通過這樣的運(yùn)算訓(xùn)練學(xué)生在復(fù)習(xí)時(shí)才能解題效率，在高考時(shí)才會(huì)有更足的底氣。

分析：本題的轉(zhuǎn)化是熟悉的，直接把弦長(zhǎng)比轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)比，解好本題的關(guān)鍵在于運(yùn)算，當(dāng)“設(shè)而不求”運(yùn)算有困難時(shí)，不妨“設(shè)而求之”。

這種解法的實(shí)質(zhì)是消元的思想，直接把t轉(zhuǎn)化為了k的函數(shù)進(jìn)一步求解。

解法3看似繁瑣，對(duì)于學(xué)生來說似乎更加自然，數(shù)據(jù)的處理也相對(duì)容易，但一般學(xué)生不會(huì)想到去嘗試，他不符合我們一般的解析幾何的解題經(jīng)驗(yàn)，在“設(shè)而不求”作為解析幾何運(yùn)算中的重要方法的前提下，運(yùn)用韋達(dá)定理運(yùn)用有困難時(shí)不妨“設(shè)而求之”。

筆者認(rèn)為，高三解析幾何復(fù)習(xí)解題教學(xué)的課堂，教師要舍得花時(shí)間讓學(xué)生去算，從而暴露學(xué)生的運(yùn)算思維，教師也要舍得花時(shí)間進(jìn)行板演，給學(xué)生作必要的運(yùn)算示范，同時(shí)在運(yùn)算過程中要注重整合，如分式函數(shù)的最值處理方法，方程韋達(dá)定理的靈活處理等，讓學(xué)生能在運(yùn)算過程中去領(lǐng)悟這種思想方法，從而整合突破，做一個(gè)會(huì)一類，形成高效的復(fù)習(xí)．

總之，高三解析幾何的解題復(fù)習(xí)教學(xué)需要每一位高三教師必須提高解題復(fù)習(xí)教學(xué)的有效性.作為高三復(fù)習(xí)教學(xué)的主導(dǎo)者，讓我們轉(zhuǎn)變觀念，摒棄通過大量練習(xí)，使學(xué)生形成解題思維定式的復(fù)習(xí)方法．通過對(duì)解析幾何的理解背景，立足定義，注重轉(zhuǎn)化，優(yōu)化運(yùn)算四個(gè)方面入手，真正提升學(xué)生的解題能力。

參考文獻(xiàn)：

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中圖分類號(hào)：G633.63

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1671-864X（2016）01-0274-03