韓二東，郭　鵬，趙　靜西北工業(yè)大學管理學院，西安710072

* The National Natural Science Foundation of China under Grant Nos. 71272049，71402142（國家自然科學基金）; the Specialized Research Fund for the Doctoral Program of Higher Education of China under Grant No. 20126102110052（高等學校博士學科點專項科研基金）; the Humanities，Social Science and Management Research Foundation of Northwestern Polytechnical University under Grant No. 3102014RW0008（西北工業(yè)大學人文社科與管理研究基金）.

Received 2015-03，Accepted 2015-05.

CNKI網(wǎng)絡優(yōu)先出版：2015-05-29，http://www.cnki.net/kcms/detail/11.5602.TP.20150529.1608.002.html

ISSN 1673-9418 CODEN JKYTA8

Journal of Frontiers of Computer Science and Technology

1673-9418/2016/10（01）-0093-10

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區(qū)間灰色不確定語言多屬性群決策方法*

韓二東＋，郭鵬，趙靜
西北工業(yè)大學管理學院，西安710072

* The National Natural Science Foundation of China under Grant Nos. 71272049，71402142（國家自然科學基金）; the Specialized Research Fund for the Doctoral Program of Higher Education of China under Grant No. 20126102110052（高等學校博士學科點專項科研基金）; the Humanities，Social Science and Management Research Foundation of Northwestern Polytechnical University under Grant No. 3102014RW0008（西北工業(yè)大學人文社科與管理研究基金）.

Received 2015-03，Accepted 2015-05.

CNKI網(wǎng)絡優(yōu)先出版：2015-05-29，http://www.cnki.net/kcms/detail/11.5602.TP.20150529.1608.002.html

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Key words: multi-attribute group decision making; grey fuzzy number; information entropy; interval grey uncertain linguistic variables; geometric aggregation operator

摘要：針對屬性值為區(qū)間灰色不確定語言信息的多屬性群決策問題，在定義區(qū)間灰色不確定語言變量及其運算規(guī)則的基礎上，給出了3種幾何加權集結算子，由區(qū)間灰色不確定語言幾何加權算子集結各決策者給出的決策矩陣得到群體決策矩陣。在屬性權重已知的情形下，基于該算子集結單個決策者給出的屬性權重向量得到群體屬性權重向量；在屬性權重完全未知的情形下，采用信息熵法確定屬性權重向量。采用區(qū)間灰色不確定語言混合幾何加權算子集結各屬性評價信息，得到各方案的綜合評價值，基于區(qū)間灰色不確定語言變量大小比較的方法得到方案排序結果。算例分析表明了該方法的有效性與可行性。

關鍵詞：多屬性群決策；灰色模糊數(shù)；信息熵；區(qū)間灰色不確定語言變量；幾何集結算子

1　引言

多屬性群決策是將群體中各決策者對有限方案的多個屬性評價信息按照某種規(guī)則集結為一致或妥協(xié)的群體偏好序[1-4]。在實際決策過程中，決策專家對諸如干部考核與選拔、風險投資公司投資方案選擇、經(jīng)濟效益評價等決策對象進行評價判斷時，決策問題往往表現(xiàn)出復雜性與不確定性。此外，由于不同決策專家知識水平、經(jīng)驗和對事物認知能力的差異使得評價信息具有不完全性[5-6]，導致決策問題兼具有模糊性與灰色性的雙重特點，即為灰色模糊的多屬性群決策問題[7-8]。針對模部為精確數(shù)的灰色模糊多屬性決策問題，文獻[9]將灰色模糊數(shù)評價信息的模部與灰部統(tǒng)一轉化為區(qū)間數(shù)，由區(qū)間數(shù)排序方法對備選方案排序擇優(yōu)；文獻[10]采用理想點法，通過計算各方案到理想方案的模糊距離得到方案排序結果；文獻[11]基于熵權法確定屬性權重，綜合灰色模糊數(shù)的模部與灰部集結每個方案的各屬性評價信息。精確數(shù)表示的模部對決策問題的模糊性體現(xiàn)不夠充分，使得決策信息背離了備選方案本身的復雜性及決策思維的模糊性。此后，文獻[12]使用區(qū)間數(shù)表示模部，依然采用精確數(shù)表示灰部；文獻[13]統(tǒng)一使用區(qū)間數(shù)表示模部與灰部，由有序加權平均算子集結各屬性評價信息得到方案的綜合評價值；文獻[14]采用語言短語表示模部，區(qū)間數(shù)表示灰部，在定義區(qū)間灰色語言變量及其運算規(guī)則的基礎上，給出了區(qū)間灰色語言變量混合幾何集結算子，基于幾類集結算子對評價信息進行集結；文獻[15]將語言短語表示的模部轉化為二元語義，在屬性權重不完全已知的條件下，給出了基于灰色關聯(lián)分析的灰色模糊多屬性群決策方法；與文獻[14-15]均采用區(qū)間數(shù)表示灰部不同，文獻[16]采用三參數(shù)區(qū)間數(shù)表示灰部，提出了一種基于投影模型的三參數(shù)區(qū)間灰色語言變量多屬性群決策方法。根據(jù)語言短語與不確定模糊數(shù)的對應轉換關系，文獻[17]將語言變量表示的模部轉化為三角模糊數(shù)，提出了一種基于平均相似度且?guī)в兄饔^偏好的多屬性群決策方法；文獻[18]將模部轉化為梯形模糊數(shù)，在定義區(qū)間灰色梯形模糊數(shù)運算規(guī)則及其距離的基礎上，采用灰色關聯(lián)法得到了方案的排序結果。以上研究針對灰色模糊數(shù)模部與灰部的不同表達（區(qū)間數(shù)、語言短語、二元語義等），分別采用了有效的確定屬性權重的方法，在定義信息集結算子及其運算規(guī)律的基礎上，對各決策者給出的灰色模糊評價信息進行集結，從而得到各方案的優(yōu)先序。

與語言短語表達的模部相比，不確定語言變量更能體現(xiàn)決策問題的復雜性及現(xiàn)實環(huán)境的不確定性，同時考慮到?jīng)Q策專家對評價對象認知的局限性，決策者更可能給出區(qū)間灰色不確定語言評價信息。基于此，本文針對具有區(qū)間灰色不確定語言評價信息的多屬性群決策問題，采用不確定語言變量表達模部，采用區(qū)間數(shù)表示灰部，給出區(qū)間灰色不確定語言變量的定義、運算性質、相互之間距離及大小比較的方法；針對屬性權重已知及完全未知兩種不同的情形，在定義3類幾何加權集結算子的基礎上提出了群決策方法，并將該群決策方法應用到移動銀行服務質量評估問題中。

2　預備知識

2.1區(qū)間灰色不確定語言變量的定義及運算

假設語言評價集為S＝{s0，s1，…，sT}，T為偶數(shù)，其粒度為T＋1，例如粒度為7的語言評價集定義為S＝{s0＝非常差，s1＝很差，s2＝差，s3＝中等，s4＝好，s5＝很好，s6＝非常好}。關于語言評價集的有序性、存在逆算子、極大化運算、極小化運算等性質，這里不再贅述。語言評價集中的語言短語si與其下標i之間存在嚴格單調遞增關系，設下標函數(shù)為i＝f（si），若si≤sj，則有i＜j，反之亦然；下標函數(shù)的反函數(shù)為si＝f?1（i），若i＜j，則有si≤sj，反之亦然，即下標函數(shù)與其反函數(shù)均為嚴格單調遞增函數(shù)。為最大限度地減少評價信息的丟失，將定義的離散語言評價集S拓展為連續(xù)語言評價集，即ST＝{sα|α∈[0，T]}，拓展后的語言評價集ST仍然滿足嚴格單調遞增關系，且相關的運算性質保持不變。

設sα、sβ為ST中的語言變量，且α≤β，則[sα，sβ]為不確定語言變量[19]，區(qū)間的兩端點分別為不確定語言變量的下限和上限。當α＝β時，不確定語言變量退化為連續(xù)語言評價集中的語言變量。

模部反映評價信息的模糊性及不確定性，灰部反映評價信息所造成的灰色性?；也康幕叶仍酱蟊硎緵Q策者給出的評價信息的可信度越低，可利用的信息量越少，當灰度大到一定程度時，決策者給出的評價信息完全喪失價值，對方案評價不起作用；反之，灰度越小表示信息可利用價值越大，信息可靠性越高。在灰色模糊集定義的基礎上，給出如下區(qū)間灰色不確定語言變量的定義。

2.2區(qū)間灰色不確定語言變量之間的距離及大小比較

定義2兩個區(qū)間灰色不確定語言變量之間的Hamming距離為：

定義3[20]設[a，b]為區(qū)間數(shù)，連續(xù)區(qū)間數(shù)有序加權平均（continuous interval ordered weighted averaging，C-OWA）算子定義為：

其中，函數(shù)ρ（x）:[0，1]→[0，1]為基本單位區(qū)間單調（basic unit-interval monotonic，BUM）函數(shù)，滿足ρ（0）＝0，ρ（1）＝1，當x1＜x2時，有ρ（x1）≤ρ（x2）。令ρ（x）＝xr（r≥0），可得fρ（[a，b]）＝。

定義4設[sα1，sβ1]為不確定語言變量，連續(xù)區(qū)間二元語義的有序加權平均（continuous interval two-tuple ordered weighted averaging，ITC-OWA）算子定義為：

3　區(qū)間灰色不確定語言變量幾何加權集結算子

稱IGULWGA（interval grey uncertain linguistic weighted geometric aggregation）為區(qū)間灰色不確定語言幾何加權集結算子。其中，Ω為全體區(qū)間灰色不確定語言變量的集合；?＝?1，?2，…，?n）是這組區(qū)間灰色不確定語言變量的權重向量，為的權重，也是區(qū)間灰色不確定語言變量，即＝（[sωj1，sωj2]，[，]），j＝1，2，…，n；k為調節(jié)系數(shù)，一般取為1/T。

該算子是對給定的區(qū)間灰色不確定語言變量自身的重要性程度進行加權集成，權重與是一一對應的。

稱IGULOWGA（interval grey uncertain linguistic ordered weighted geometric aggregation）為區(qū)間灰色不確定語言有序幾何加權集結算子，其中?＝?1，?2，…，?n）是與算子相關的區(qū)間灰色不確定語言加權向量，即?j＝（[sWj1，sWj2]，[，]），j＝1，2，…，n；（σ1，σ2，…，σn）為（1，2，…，n）的一個置換，使得對于任意的j，有≥，即j是所有中第j大的元素；k為調節(jié)系數(shù)，一般取為1/T。

稱IGULHWGA（interval grey uncertain linguistic hybrid weighted geometric aggregation）為區(qū)間灰色不確定語言混合幾何加權集結算子。其中?＝?1，，…，?n）是與算子相關的區(qū)間灰色不確定語言加權向量，即?j＝（[sWj1，sWj2]，[，]），j＝1，2，…，n；?＝?1，?2，…，）為?j（j＝1，2，…，n）的權重向量，其各分量均為區(qū)間灰色不確定語言變量，即?j＝（[sωj1，sωj2]，[，]），令：

其中，k為調節(jié)系數(shù)，一般取為1/T；（σ1，σ2，…，σn）為（1，2，…，n）的一個置換，使得對于任意的j，有≥。

4　基于幾何加權集結算子的多屬性群決策方法

4.1問題描述

在多屬性群決策問題中，設專家集為E＝{ek|k＝1，2，…，p}，決策方案集為C＝{ci|i＝1，2，…，m}，屬性集為U＝{uj|j＝1，2，…，n}，決策者ek選擇粒度為T＋1的語言評價集，對決策方案ci關于屬性uj進行測度，屬性評價值采用區(qū)間灰色不確定語言變量表示為：

本文要解決的是具有區(qū)間灰色不確定語言變量的多屬性群決策問題，依據(jù)決策矩陣及決策者權重并在屬性權重已知及完全未知兩種不同的情形下實現(xiàn)對方案的排序擇優(yōu)。

4.2群決策步驟

步驟1群體決策矩陣的集成。

每個決策者對不同方案關于所有屬性進行評價，給出各自的決策矩陣，k＝1，2，…，p，根據(jù)決策者權重向量ωe，由IGULWGA算子得到群體決策矩陣A＝）m×n，其中：

步驟2屬性權重的確定或集成。

（1）針對屬性權重已知的情形，根據(jù)決策者權重向量ωe及單個決策者給出的屬性權重向量＝），其中），j＝1， 2，…，n，k＝1，2，…，p，由IGULWGA算子得到群體屬性權重向量），其中：

（2）針對屬性權重未知的情形，采用信息熵法確定屬性權重。信息熵可用來度量兩離散概率分布的偏差程度[21-22]，是信息不確定性的一種度量。若所有方案對某屬性的評價偏差越大，則該屬性所確定的信息熵就越小，所包含的信息量就越大，該屬性對方案排序所起的作用就越大，應賦予越大的權重。根據(jù)所有方案對某屬性的評價偏差大小與該屬性權重大小的一致性確定屬性權重，即偏差越大的屬性應賦予越大的權重。特別地，若各方案對某屬性的評價值無差異，則該屬性對方案排序擇優(yōu)不起任何作用，其權重應當為0?；诖耍桨竎i與其他所有方案關于屬性uj的評價偏差為：

則每個方案與其他所有方案關于屬性uj評價值的總偏差為：

屬性uj的信息熵值表示為：

從而確定屬性uj的權重為：

步驟3由IGULHWGA算子計算每個方案的綜合評價值。

步驟4對各方案的綜合評價值進行比較得到各方案排序結果。

每個方案的綜合評價值仍然為區(qū)間灰色不確定語言變量，由綜合評價值的代表數(shù)值Di＝??1（Fρ（[sdi1，sdi2]））?fρ（[1?，1?]）對所有方案排序，代表值越大，方案越優(yōu)。

5　算例分析

移動銀行網(wǎng)站服務質量的高低直接影響客戶對移動銀行的美譽度與忠誠度，對移動銀行的經(jīng)濟效益產(chǎn)生巨大影響，同時也是移動商務運營商成功的關鍵因素?；诖耍捎帽疚娜簺Q策方法對移動銀行服務質量進行評估?，F(xiàn)有3位相關領域專家，即E＝{e1，e2，e3}，分別從服務場景（u1）、易于使用程度（u2）、服務信息質量（u3）及信息安全性（u4）這4個指標對4個移動銀行服務質量進行評估，即C＝{c1，c2，c3，c4}，專家權重向量為ωe＝（0.3，0.4，0.3）。3位決策專家均采用7粒度（即T＝6）的語言評估標度，即S＝{s0，s1，s2，s3，s4，s5，s6}，針對各方案的每個屬性給出如表1～表3所示的灰色不確定語言評價信息。

由式（4）、式（7）將3位決策專家給出的評價信息進行集結，得到群體決策矩陣A＝?ij）4×4即：

Table 1 Evaluation values of different attribute indexes of four mobile banks given by decision expert e1表1　決策專家e1給出的4個移動銀行不同屬性指標的評價值

Table 2 Evaluation values of different attribute indexes of four mobile banks given by decision expert e2表2　決策專家e2給出的4個移動銀行不同屬性指標的評價值

Table 3 Evaluation values of different attribute indexes of four mobile banks given by decision expert e3表3　決策專家e3給出的4個移動銀行不同屬性指標的評價值

Table 4 Weight values of attribute indexes given by three decision experts表4　3位決策專家給出的屬性指標權重值

5.1屬性權重已知的情形

針對屬性權重已知的情形，假設3位決策專家給出的屬性權重值如表4所示。

由式（8）得到群體屬性權重向量為：

D1＝1.007，D2＝0.954，D3＝1.070，D4＝1.034從而得到4個移動銀行服務質量優(yōu)劣的排序c3≥c4≥c1≥c2，即c3為服務質量最優(yōu)的移動銀行。

5.2屬性權重未知的情形

針對屬性權重完全未知的情形，由式（1）、式（9）得到方案ci（i＝1，2，3，4）與其他所有方案關于屬性uj（j＝1，2，3，4）的評價偏差所構成的矩陣為：

由式（10）可以得到所有屬性的信息熵值分別為：

E1＝0.990，E2＝0.973，E3＝0.977，E4＝0.965

則由式（11）求得屬性權重向量為：

D1＝0.679，D2＝0.669，D3＝0.741，D4＝0.742

從而得到4個移動銀行服務質量優(yōu)劣的排序c4≥c3≥c1≥c2，即c4為服務質量最優(yōu)的移動銀行。

當屬性權重由各決策者直接給出時，屬性權重值與各決策者給出的評價信息無直接關系；而當屬性權重完全未知時，采用信息熵法確定屬性權重，即基于所有方案對某屬性的評價偏差大小與該屬性權重大小的一致性確定屬性權重，所得屬性權重值與各決策者給出的評價信息直接相關。因此，在屬性權重已知或完全未知這兩種不同的情形下，得到的移動銀行服務質量優(yōu)劣的排序結果存在一定的差異，這是完全正常的，在一定程度上體現(xiàn)了實際決策問題的模糊性與灰色性。

6　結束語

從客觀事物的復雜性、不確定性及決策專家思維特點出發(fā)，實際決策問題兼具有模糊性與灰色性?；诓淮_定語言變量表達模糊信息的優(yōu)勢，本文針對屬性權重已知或完全未知兩種的不同情形，提出了一種屬性值為區(qū)間灰色不確定語言變量的多屬性群決策方法。采用IGULWGA算子及IGULHWGA算子集結評價信息，采用信息熵法確定未知的屬性權重，給出了群決策方法及步驟，并用決策方法對移動銀行服務質量進行了評估。本文方法豐富了已有的灰色模糊多屬性群決策方法，為解決區(qū)間灰色不確定語言多屬性群決策問題提供了良好的途徑。

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HAN Erdong was born in 1987. He is a Ph.D. candidate at School of Management，Northwestern Polytechnical University. His research interests include grey system theory，decision theory and method，etc.

韓二東（1987—），男，河南三門峽人，西北工業(yè)大學管理學院博士研究生，主要研究領域為灰色系統(tǒng)理論，決策理論與方法等。

GUO Peng was born in 1962. He is a professor and Ph.D. supervisor at School of Management，Northwestern Polytechnical University. His research interests include project risk management and decision support system，etc.

郭鵬（1962—），男，陜西西安人，西北工業(yè)大學管理學院教授、博士生導師，主要研究領域為項目風險管理，決策支持系統(tǒng)等。

ZHAO Jing was born in 1984. She is a lecturer at School of Management，Northwestern Polytechnical University. Her research interests include project decision making and evaluation，project risk measure and control，etc.

趙靜（1984—），女，河南禹州人，西北工業(yè)大學管理學院講師，主要研究領域為項目決策與評價，項目風險測度與控制等。

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Method for Multi-Attribute Group Decision Making Based on Interval Grey Uncertain Linguistic Information*

HAN Erdong＋，GUO Peng，ZHAO Jing
School of Management，Northwestern Polytechnical University，Xi’an 710072，China
＋Corresponding author: E-mail: handong1987_2006@126.com

HAN Erdong，GUO Peng，ZHAO Jing. Method for multi-attribute group decision making based on interval grey uncertain linguistic information. Journal of Frontiers of Computer Science and Technology，2016，10（1）：93-102.

Abstract:With respect to multi-attribute group decision making problems，where the attribute values take the form of the interval grey uncertain linguistic variables，three kinds of geometric aggregation operators are given based on the definition and operation rules of interval grey uncertain linguistic variables. According to interval grey uncertain linguistic weighted geometric aggregation operator，evaluation matrices which are given by all decision makers are aggregated to the group evaluation matrix. In the case of known attribute weights information，attribute weights vectors which are given by every decision maker are aggregated to the group attribute weights vector; when the attribute weights are unknown completely，the attribute weights are determined based on information entropy method. All attribute values of alternatives are concentrated by interval grey uncertain linguistic hybrid weighted geometric aggregation operator，then comprehensive evaluation values of alternatives are received，the rank results of alternatives are obtained based on one comparison of the interval grey uncertain linguistic variables. Finally，an illustrative example analysis shows the effectiveness and feasibility of the proposed method.

文獻標志碼：A

中圖分類號：C934

doi:10.3778/j.issn.1673-9418.1503033