Optimization design of crank rocker structure under the given output angle constraint

李瑩瑩，游　敏，徐建軍

LI Ying-ying, YOU Min, XU Jian-jun

（三峽大學(xué) 機械與動力學(xué)院，宜昌 443002）

?

基于MATLAB的曲柄搖桿機構(gòu)優(yōu)化設(shè)計

Optimization design of crank rocker structure under the given output angle constraint

李瑩瑩，游敏，徐建軍

LI Ying-ying, YOU Min, XU Jian-jun

（三峽大學(xué) 機械與動力學(xué)院，宜昌 443002）

摘 要：在給定搖桿輸出角約束的情況下，以曲柄搖桿機構(gòu)的從動件運動角度與期望角度差值平方的和的最小值（即最小二乘法模式）為設(shè)計目標，建立單目標優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，通過MATLAB編程求解，研究了設(shè)計變量的個數(shù)和變量對象的選取對滿足搖桿輸出角約束的曲柄搖桿機構(gòu)軌跡特性的影響，并確定了最佳的設(shè)計變量個數(shù)及變量對象的選取方案。

關(guān)鍵詞：曲柄搖桿機構(gòu)；優(yōu)化設(shè)計；設(shè)計變量

0 引言

平面連桿機構(gòu)結(jié)構(gòu)簡單，易于制造，能實現(xiàn)多種運動規(guī)律和運動軌跡，在工程實際中應(yīng)用非常廣泛[1]。然而，隨著工業(yè)的不斷發(fā)展，人們對曲柄連桿機構(gòu)的運動特性、機構(gòu)尺寸和桿件的受力情況等提出了更高的要求，使得連桿機構(gòu)的設(shè)計難度也隨之增大。連桿機構(gòu)的設(shè)計問題通常可歸為按給定的運動軌跡設(shè)計和按給定的運動規(guī)律設(shè)計[2]。對于這兩類問題的求解，通常采用的是函數(shù)逼近法求解，該方法不僅計算復(fù)雜，而且變量較少時，計算精度也不高。若采用最優(yōu)化方法對機構(gòu)進行設(shè)計，可以大大簡化[3]。

樓云江[4]等在給定搖桿最大擺角的情況下，借助于極位夾角和輔助角，建立了平均傳動角最優(yōu)化的曲柄搖桿機構(gòu)優(yōu)化模型，從而得到全局最大平均傳動角，并確定相應(yīng)的各桿桿長；蘇有良[5]在給定行程速比系數(shù)、擺角、搖桿尺寸的設(shè)計條件下，建立了I、II型曲柄搖桿機構(gòu)最小傳動角與相對桿長的函數(shù)方程及其變化區(qū)間，解決了在此設(shè)計條件下曲柄搖桿機構(gòu)不易獲得最小傳動角為最大值的最優(yōu)傳動性能解的設(shè)計問題；武麗梅[6]等通過仿真建立了桿長制造誤差、運動副間隙與連桿曲線軌跡精度的數(shù)量級別關(guān)系。蘇全衛(wèi)、王曉侃[7]針對常用的滑塊傳動機構(gòu)建立了速度和加速度的閉環(huán)矢量方程并借助MATLAB軟件中的Simulink仿真工具對機構(gòu)在仿真時間域內(nèi)各個構(gòu)件的瞬時位置、速度和加速度進行求解，提高了設(shè)計工作效率；馬東輝、趙東[8]建立了三維實體結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計的一般化數(shù)學(xué)模型，并采用MATLAB優(yōu)化工具箱對模型求解，可以快速得出精確的優(yōu)化結(jié)果。

本文通過對已知運動特性的曲柄搖桿機構(gòu)的尺寸作優(yōu)化設(shè)計，在已知運動特性的基礎(chǔ)上，建立從動件運動角度與期望角度差值平方的和最小的單目標數(shù)學(xué)優(yōu)化模型，并以經(jīng)典的曲柄搖桿機構(gòu)設(shè)計問題為算例，討論了設(shè)計變量的個數(shù)及變量對象的選取對模型優(yōu)化結(jié)果的影響。

1 問題提出

如圖1所示，設(shè)計一曲柄搖桿機構(gòu)，當曲柄由?0轉(zhuǎn)到?0+90°時，搖桿的輸出角實現(xiàn)給定的函數(shù)關(guān)系ψ=ψ(?0)，且在該區(qū)間的運動過程中的最小傳動角不得小于45°，即=45°。其中?0和分別為對應(yīng)于搖桿在右極限位置時曲柄和搖桿的位置角；ψ和?是機架桿l4為原線逆時針度量的角度，分別為對應(yīng)的搖桿轉(zhuǎn)過一定的角度時搖桿和曲柄的輸出角。

圖1　曲柄搖桿機構(gòu)簡圖

2 優(yōu)化模型

2.1 設(shè)計變量

2.2 目標函數(shù)

實際的設(shè)計中，搖桿的輸出角具有一定的軌跡，它會無限的趨近于某種函數(shù)曲線，要做到完全重合，其可能性基本為0，因此，我們僅能使所設(shè)計出來的曲柄搖桿機構(gòu)的搖桿實際輸出角盡可能的趨近于理論輸出角?；谝陨戏治?，我們?nèi)∏鷵u桿機構(gòu)的已知運動規(guī)律與實際運動規(guī)律的偏差最小為指標來建立目標函數(shù)：

圖2　曲柄搖桿機構(gòu)搖桿的實際輸出角

如圖2所示，曲柄搖桿機構(gòu)的實際輸出角的表達式會隨機構(gòu)的轉(zhuǎn)動而發(fā)生變化，當時，如圖2(a)所示，；當時，如圖2(b)所示，，即：

在本問題的研究中，由于初始角度?0的取值范圍無法確定，因此在編程求解的過程中要將兩種情況都考慮其中，上述曲柄搖桿機構(gòu)的實際輸出角的表達式中，∠ADB 和∠BDC滿足的關(guān)系式如下：

BD的長度用ri表示，根據(jù)余弦定理可以求得：

2.3 約束條件

曲柄搖桿機構(gòu)受三方面的約束：一個是四桿機構(gòu)中存在曲柄的條件，其次是曲柄搖桿機構(gòu)的最小傳動角約束條件，以及最后一個必須滿足的邊界條件。

1）四桿機構(gòu)中存在曲柄的條件

由機械原理[1]可知，曲柄存在的條件：

對應(yīng)的約束函數(shù)為：

2）傳動角約束條件

當機構(gòu)運轉(zhuǎn)時，其傳動角的大小是變化的，為了保證機構(gòu)傳動良好，設(shè)計時通常應(yīng)使≥40°[1]，該算例中要求機構(gòu)在該區(qū)間運動過程中的最小傳動角不得小于45°，即=45°。根據(jù)曲柄搖桿機構(gòu)的傳動特性可知，當曲柄和機架重合時傳動角最小，因此傳動角的約束條件為：

對應(yīng)的約束函數(shù)為：

3）邊界條件約束

對于機構(gòu)的各個桿件尺寸，應(yīng)保證其值為正數(shù)。

2.4 標準化模型

綜上所述，將數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)化為標準形式如下：

3 應(yīng)用實例

3.1 三個設(shè)計變量的模型解

有學(xué)者在基于MATLAB的曲柄搖桿機構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計中也研究了三個參數(shù)對模型求解的影響，規(guī)定各設(shè)計變量的最短桿與最長桿的比例設(shè)置在[1,10]的范圍內(nèi)，本文認為這種做法缺乏相應(yīng)的理論依據(jù)，故在本文的研究中，沒有限制最短桿與最長桿的比例。對于模型中設(shè)定x1,x2,x3三個變量的求解，利用所建立模型的線性約束條件和非線性約束條件確定目標函數(shù)的可行域，在可行域范圍內(nèi)選取適當?shù)某跏贾?，并利用計算軟件MATLAB優(yōu)化工具箱的Function()函數(shù)，對模型編程計算，通過在可行域范圍內(nèi)輸入不同的初始值計算，我們得到的桿長設(shè)計結(jié)果如表1所示。

表1　三個設(shè)計變量的模型解

從表中的結(jié)果可以看出，通過選取可行域中不同的初始值，對三設(shè)計變量的曲柄搖桿優(yōu)化結(jié)果會產(chǎn)生較大的影響，特別是當初始值取為（3,4,4）時，連桿和機架的長度幾乎為初始值為（3,4,5）和（4,4,4）時的兩倍，而搖桿的長度值幾乎不受影響，函數(shù)的優(yōu)化值極差為0.0027。

3.2 兩個設(shè)計變量的模型解

本文中研究的主要是設(shè)計變量的個數(shù)對優(yōu)化結(jié)果的影響，因此，在接下來的研究中，本文又討論了2個設(shè)計變量時的優(yōu)化情況。

當設(shè)計變量的個數(shù)為2時，根據(jù)機械原理四桿機構(gòu)曲柄存在的條件可知：連架桿或機架是最短桿。文中以曲柄為最短桿進行討論，設(shè)曲柄的長度為1，對于本文所給的算例，確定設(shè)計變量為2的研究中，大量的學(xué)者都對其進行計算求解并得出結(jié)論[9,10]，一般都是將曲柄和機架的長度設(shè)為1和5，沒有考慮設(shè)計變量為搖桿和機架、連桿和機架的組合，也沒有對初始確定的兩桿取多組值進行深入研究，本文作者針對這一問題，對多種變量的組合全面考慮，每一組變量中設(shè)多組已確定桿長值組合，模型的求解結(jié)果如表2所示。

表2　兩個設(shè)計變量的模型解

用MATLAB軟件編程求解發(fā)現(xiàn)在初始值滿足可行域的前提下，改變初始值取值，計算結(jié)果顯示，模型的優(yōu)化結(jié)果不受影響，因此，表2中沒有列出初始值。曲柄和搖桿長度取為1和2時，程序無法正常運行出結(jié)果。確定曲柄長為1，機架長從4變化至5時，函數(shù)的優(yōu)化值從0.0046降低至0.0030；確定曲柄長為1，連桿長從3增大至5時，函數(shù)的優(yōu)化值從0.0038減小到0.0029；從總體情況來看，函數(shù)的優(yōu)化值大部分在0.0029～0.0066之間，曲柄、連桿、搖桿和機架的長度分別取為1,5,2.4207和6.4207時，函數(shù)的優(yōu)化值最小，為0.0029，結(jié)果最佳。曲柄和搖桿取值分別為1和4時，函數(shù)優(yōu)化值明顯較大，為0.2280。

4 結(jié)果分析

對于3設(shè)計變量的模型解，可以看出最短桿與最長桿的比例在1:117～1:57間大幅波動，初始值的選取對設(shè)計桿長連桿和機架的影響較大，將優(yōu)化的桿長設(shè)計結(jié)果代入模型的約束條件，滿足約束條件，表明該設(shè)計結(jié)果是可取的。改變使選取的不同的初始值，模型的目標函數(shù)值在0.1419～0.1446之間波動，最大值于最小值的極差達到0.0027，較之于兩設(shè)計變量的目標函數(shù)值，偏差比較大。

從2設(shè)計變量的求解結(jié)果表中可以看出，不同于3設(shè)計變量的桿長設(shè)計值大幅波動情況，2設(shè)計變量求解的曲柄、連桿、搖桿和機架的長度比例維持在較穩(wěn)定的水平，可行域范圍內(nèi)初始值的選取對模型的優(yōu)化結(jié)果并無影響，目標函數(shù)的輸出值基本在0.0029～0.0066范圍內(nèi)微小變化。當曲柄和搖桿取定值分別為1和4時，目標函數(shù)的輸出值達到0.2280，相較于其他7組情況，偏差較大，曲柄和搖桿分別取1和2時，無法得到最終的桿長設(shè)計結(jié)果，觀察其他7組的桿長設(shè)計結(jié)果，認為搖桿長度取2.4左右較佳。從表2中可以看出，當搖桿的取值偏差超過0.4，優(yōu)化的結(jié)果便不太理想，連桿長在[3,5]，機架長在[4.5,6.5]區(qū)間內(nèi)取值時，均能得到較理想的優(yōu)化結(jié)果。

5 結(jié)論

本文主要研究平面四桿機構(gòu)優(yōu)化中，設(shè)計變量的個數(shù)及對象的選取對機構(gòu)優(yōu)化結(jié)果的影響，在模型的建立和求解中分別針對3個設(shè)計變量和2個設(shè)計變量的情況詳細討論，在設(shè)計變量為2個的模型求解中，取三組不同的設(shè)計變量組合進行優(yōu)化求解，比較分析所得結(jié)果，得出以下結(jié)論：

1）平面四桿機構(gòu)優(yōu)化中，在可行域范圍內(nèi)選取初始值迭代計算，3設(shè)計變量的優(yōu)化桿長輸出值會隨初始值選取的變化而發(fā)生較大波動，而兩設(shè)計變量的桿長設(shè)計值不隨初始值的變化而變化。

2）從優(yōu)化的結(jié)果來看，2設(shè)計變量的優(yōu)化結(jié)果明顯優(yōu)于3設(shè)計變量的優(yōu)化結(jié)果，后者目標函數(shù)的輸出值為前者的48倍左右。

3）綜合以上分析，本文認為，在輸出角約束條件給定的曲柄搖桿機構(gòu)的最優(yōu)化設(shè)計問題中，當確定搖桿和機架兩個變量的長度時，能夠得到最優(yōu)的滿足機構(gòu)軌跡特性的解。

參考文獻：

[1] 申永勝.機械原理教程[M].北京:清華大學(xué)出版社,1999.

[2] 楊世明,金國光.平面連桿機構(gòu)平均傳動角及其應(yīng)用研究[J].機械,2008,35(8):19-22.

[3] 程友聯(lián),吳曉紅.曲柄搖桿機構(gòu)的參數(shù)設(shè)計法[J].機械設(shè)計,2010,27(9):60-62.

[4] 樓云江,鄧雷.基于最佳平均傳動角的曲柄搖桿機構(gòu)設(shè)計[J].機械設(shè)計,2011,08:34-37.

[5] 蘇有良.按最小傳動角最大的曲柄搖桿機構(gòu)優(yōu)化設(shè)計[J].機械設(shè)計,2014,06:29-33.

[6] 武麗梅,耿華.基于ADAMS的曲柄搖桿機構(gòu)的運動精度仿真研究[J].機械設(shè)計與制造,2006,10:9-11.

[7] 蘇全衛(wèi),王曉侃.基于Simulink的曲柄滑塊機構(gòu)運動學(xué)建模與仿真[J].制造業(yè)自動化,2014,01:72-73+94.

[8] 馬東輝,趙東.基于ANSYS和MATLAB的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計[J].制造業(yè)自動化,2013,19:106-108.

[9] 王文娟.基于MATLAB優(yōu)化工具箱的平面連桿機構(gòu)的設(shè)計[J].輕工機械,2006(4):76-79.

[10] 龔水明,詹曉剛.基于MATLAB優(yōu)化工具箱的機械優(yōu)化設(shè)計[J].制造業(yè)信息化,2008(10):92-94.

【上接第88頁】

2）隨著流量的增加，進氣口與旋流管組件對空氣流動的阻力會有增長，合理選擇進氣口、旋流管參數(shù)與數(shù)量能有效的減小空氣流動壓力損失。

3）通過分析提出了新的改進方案，數(shù)值模擬結(jié)果表明，改進方案在發(fā)動機負荷范圍內(nèi)粗濾器具有較好的流阻特性，在流量為1600m3/h時，壓力損失降低了24.96%。

[1] 劉杰,王金香,吳秋紅.沙漠空濾器原理及應(yīng)用[J].農(nóng)業(yè)裝備與車輛工程,2006,(8):56-57.

[2] 賈彥龍,韓青,蘇新梅,等.基于CFD的空氣濾清器入口結(jié)構(gòu)改進設(shè)計[J].湖北汽車工業(yè)學(xué)院學(xué)報.2007,21(4):9-12,21.

[3] 韓青,孫藝霞,賈彥龍,等.車用空氣濾清器的流場數(shù)值模擬與結(jié)構(gòu)設(shè)計[J].內(nèi)燃機與動力裝置,2007,(5):12-15.

[4] 陳海娥,李康,劉金玉,等.旋風(fēng)除塵CFD分析[J].汽車技術(shù),2003,(4): 13-16.

[5] 張惠,富旭光.空氣濾清器的CFD分析及空氣流動性優(yōu)化[J].流體傳動與控制,2011,(3):34-37.

[6] AI-Sarkhi, F. W. Chambers. Optimizaiton technique for design of Automotive air filter housings with improved dynamic performance and filtration[J].Particulate Science and Technology, 2004,(22):235-252.

[7] 王建文,汪華林,宋井偉.雙進口雙錐旋流管湍流流場的數(shù)值模擬[J].華東理工大學(xué)學(xué)報,2003,29(6):649-652.

[8] 李明華,王秉才,王建東.旋流管式車輛空氣濾清器過濾技術(shù)研究[J].過濾與分離,2007,17(1):32-34.

[9] 霍玉榮.空氣濾清器的設(shè)計與計算[J].內(nèi)燃機與配件,2011,(7):9-16.

[10] 李佳,劉震濤,劉忠民,等.空氣濾清器流動過程仿真與試驗分析[J].浙江大學(xué)學(xué)報(工學(xué)版),2012,46(2):327-332.

作者簡介：李瑩瑩（1992 -），女，湖北宜昌人，碩士研究生，研究方向為結(jié)構(gòu)強度設(shè)計。

基金項目：湖北省自然科學(xué)基金項目：金屬膠焊結(jié)構(gòu)應(yīng)力分布與失效機制研究（1214230）

收稿日期：2015-08-31

中圖分類號：TH164

文獻標識碼：B

文章編號：1009-0134(2016)01-0102-04