孫耀東,徐　寶，趙志文

(吉林師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,中國 四平　136000)

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時(shí)間序列非參數(shù)回歸模型的方差變點(diǎn)檢驗(yàn)

孫耀東*,徐寶，趙志文

(吉林師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,中國 四平136000)

摘要研究時(shí)間序列非參數(shù)回歸模型的方差變點(diǎn)檢驗(yàn).通過估計(jì)模型中的回歸函數(shù)得到殘差序列，利用殘差序列構(gòu)造Ratio檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，并討論檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的極限性質(zhì),通過數(shù)值模擬驗(yàn)證檢驗(yàn)方法的有效性.

關(guān)鍵詞Ratio檢驗(yàn);非參數(shù)回歸模型;方差變點(diǎn)

Test for Change Point Detection in Nonparametric Regression Model for Time Series

SUNYao-dong*,XUBao,ZHAOZhi-wen

(College of Mathematics, Jilin Normal University, Siping 136000, China)

AbstractThe detection problem of change point in nonparametric regression model for time series is studied. Residual sequence is obtained when the regression function is estimated and the ratio test statistics is established based on the residual sequence. Asymptotic properties of the test statistics are derived. The performance of the method is illustrated by simulation studies.

Key wordsRatio test; nonparametric regression model; variance change point

考慮如下非參數(shù)回歸模型

yi=f(ui)+xi，i=1,2,…,n,

(1)

其中yi是實(shí)際觀測的數(shù)據(jù)，f(·)是回歸函數(shù)，ui=i/n是固定設(shè)計(jì)點(diǎn)，xi滿足如下AR(p)模型

(2)

對模型(2)性質(zhì)的討論依賴數(shù)據(jù){xi}，然而在很多實(shí)際問題中{xi}常常觀測不到，真正的觀測數(shù)據(jù)為{yi}，目前很多學(xué)者應(yīng)用非參數(shù)方法對yi中包含的未知趨勢項(xiàng)f(·)進(jìn)行估計(jì)[1-4]，再通過剔除趨勢項(xiàng)得到xi的估計(jì)值進(jìn)而討論模型(2)的性質(zhì).本文研究模型(1)中{xi}的方差變點(diǎn)檢驗(yàn)問題，如下:

H1：H0不成立.

由于在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中方差常常被用來度量風(fēng)險(xiǎn)，方差變點(diǎn)問題變得越來越重要.Inclan 和Tiao(1994)[5]應(yīng)用CUSUM檢驗(yàn)方法檢驗(yàn)了獨(dú)立觀測樣本的多變點(diǎn)問題，Gombay(1996)[6]等人研究了獨(dú)立同分布樣本的方差變點(diǎn)檢驗(yàn)和估計(jì)問題，趙文芝、夏志明和賀興時(shí)(2012)[7]研究了隨機(jī)設(shè)計(jì)下非參數(shù)回歸模型的方差變點(diǎn)Ratio檢驗(yàn).上述文獻(xiàn)都是在獨(dú)立樣本的情形下進(jìn)行討論的.對于樣本非獨(dú)立情形，Kim、Cho和Lee(2000)[8]應(yīng)用CUSUM檢驗(yàn)方法研究了GARCH(1,1)模型的參數(shù)變點(diǎn)問題，Lee和Park(2001)[9]研究了平穩(wěn)過程的方差變點(diǎn)檢驗(yàn)，Lee和Na(2003)[10]應(yīng)用CUSUM檢驗(yàn)方法研究了強(qiáng)混合誤差下的非參數(shù)回歸模型方差變點(diǎn)問題.本文運(yùn)用Lajos等[11]提出的Ratio檢驗(yàn)方法討論模型(1)的方差變點(diǎn)檢驗(yàn)問題，與文獻(xiàn)[10]的CUSUM檢驗(yàn)方法相比，Ratio檢驗(yàn)方法不需要估計(jì)模型尺度參數(shù)，計(jì)算更簡便.

1主要結(jié)果

對趨勢函數(shù)f(·)，取估計(jì)量為

(3)

(4)

其中0<δ<1/2,并記W(t),0≤t<∞是維納過程，定義如下隨機(jī)過程:

為得到Tn的極限性質(zhì)，需要以下假設(shè):

(C3)f(·)是Lipschitz連續(xù)的，即存在K1>0，對0≤x,y≤1，使得

|f(x)-f(y)|

首先考慮J1，

(5)

接下來考慮J2，

定理2設(shè)條件(C1)~(C5)成立，在H0為真時(shí)，

從而對0<δ<1/2，由定理1有

故由連續(xù)映射原理定理得證.

2數(shù)值模擬

考慮模型

yi=f(ui)+xi，

xi=φxi-1+ei，ui=i/n，i=1，2，…，n，

H0:σ2=1，對所有的i=1，2，…，n,

H1：σ2在t0=[nτ0]之前為1，之后為α2,

其中α2取值為2,4,9,τ0取值0.5，φ取值0，0.3,0.5,0.8，樣本容量n=200,300,500.實(shí)驗(yàn)重復(fù)500次，在0.05的顯著性水平下計(jì)算拒絕H0的頻率.

表1　檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Tn的經(jīng)驗(yàn)勢函數(shù)值

模擬結(jié)果可以看出，本文的Ratio檢驗(yàn)是一致的，樣本容量n越大，檢驗(yàn)效果越好，并且當(dāng)n足夠大時(shí)，檢驗(yàn)的勢函數(shù)值趨近于1. 變點(diǎn)后的方差α2越大，檢驗(yàn)效果越好.另外，檢驗(yàn)效果與自回歸系數(shù)φ有關(guān)，隨著φ增大接近1，模型(2)趨近非平穩(wěn)，檢驗(yàn)效果相對較差.

3總結(jié)

在實(shí)際問題中模型中某個(gè)或某些量有時(shí)會突然發(fā)生變化，這種突然變化之點(diǎn)就是變點(diǎn)，這種突然變化往往反映了事物的某種質(zhì)的變化，它在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域很常見且十分重要，常用的變點(diǎn)檢驗(yàn)方法是CUSUM檢驗(yàn)，由于CUSUM檢驗(yàn)需要對模型尺度參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，而當(dāng)數(shù)據(jù)不獨(dú)立時(shí)，該估計(jì)很難獲得.本文應(yīng)用不需要估計(jì)尺度參數(shù)的Ratio檢驗(yàn)方法研究模型(1)的方差變點(diǎn)檢驗(yàn)問題，討論了Ratio檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的極限性質(zhì)，通過數(shù)值模擬驗(yàn)證檢驗(yàn)方法的有效性.

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(編輯HWJ)

中圖分類號O212.1

文獻(xiàn)標(biāo)識碼A

文章編號1000-2537(2016)01-0076-04

*通訊作者,E-mail：jerrysun1982@sina.com

基金項(xiàng)目：吉林省教育廳“十一五”科學(xué)技術(shù)研究資助項(xiàng)目(2010350)，吉林省科技發(fā)展計(jì)劃項(xiàng)目青年基金資助項(xiàng)目(批準(zhǔn)號:201201082)

收稿日期：2014-06-27

DOI:10.7612/j.issn.1000-2537.2016.01.013