閆思江，韓曉玲，閆 晗

（1.青島港灣職業(yè)技術(shù)學(xué)院，山東 青島 266404；2.大慶第二采油廠 信息中心，黑龍江 大慶 163000）

高速旋轉(zhuǎn)空心軸的優(yōu)化設(shè)計

閆思江1，韓曉玲1，閆 晗2

（1.青島港灣職業(yè)技術(shù)學(xué)院，山東 青島 266404；2.大慶第二采油廠 信息中心，黑龍江 大慶 163000）

基于結(jié)構(gòu)優(yōu)化處理器OptiStruct，采用有限元法對高速旋轉(zhuǎn)空心軸進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計，在既滿足扭轉(zhuǎn)剛度又滿足臨界轉(zhuǎn)速的約束下，優(yōu)化出質(zhì)量最輕的旋轉(zhuǎn)軸幾何尺寸。本文給出了具體優(yōu)化步驟和方法。

空心軸；高速旋轉(zhuǎn)；有限元；優(yōu)化設(shè)計

高速旋轉(zhuǎn)軸是航空發(fā)動機(jī)具有關(guān)鍵特性的重要部件，其質(zhì)量和特性水平對于發(fā)動機(jī)和飛機(jī)的可靠性、安全壽命和性能的提高具有決定性影響。通過減輕高速旋轉(zhuǎn)軸的質(zhì)量，可以減輕發(fā)動機(jī)的總重量，從而提高發(fā)動機(jī)的性能[1]。

軸的轉(zhuǎn)速達(dá)到一定值時，運(yùn)轉(zhuǎn)便不穩(wěn)定而發(fā)生顯著的反復(fù)變形，這種現(xiàn)象稱為軸的振動。如果作用于轉(zhuǎn)軸的外來干擾頻率（轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速）等于軸的固有頻率，系統(tǒng)將發(fā)生共振，發(fā)生共振時的轉(zhuǎn)速，稱為臨界轉(zhuǎn)速ncr。軸的工作轉(zhuǎn)速n不能與其臨界轉(zhuǎn)速接近，否則將發(fā)生共振現(xiàn)象而使軸遭到破壞。計算臨界轉(zhuǎn)速的目的就在于使工作轉(zhuǎn)速避開臨界轉(zhuǎn)速。

1 影響臨界轉(zhuǎn)速的因素

以無阻尼單自由度系統(tǒng)為例說明優(yōu)化中的設(shè)計變量選取，旋轉(zhuǎn)軸簡化模型如圖1所示。

圖1 旋轉(zhuǎn)軸簡化模型

式中：A為振幅；K為剛度；m為質(zhì)量；ωn為固有頻率；φ為初相位。

式中：δ為撓度；I為慣性矩。

所以改變固有頻率ωn的一般方法是改變軸的直徑d[2]。對于空心軸為內(nèi)、外直徑。

2 優(yōu)化問題

在航空發(fā)動機(jī)中，如何選取高速旋轉(zhuǎn)空心軸的內(nèi)、外直徑，使得高速旋轉(zhuǎn)軸在滿足扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度、扭轉(zhuǎn)剛度及臨界轉(zhuǎn)速下，質(zhì)量最輕，此為尺寸優(yōu)化問題，其簡化模型及基本參數(shù)如圖2和表1所示。

圖2 空心軸簡化模型

表1 軸的基本參數(shù)

3 誤差分析

3.1 理論計算

理論計算采用雷利（Rayleigh）近似公式[3]，假設(shè)作用在軸上的3個力如圖3所示。為了便于計算，大小均取98N，計算出力的作用點(diǎn)位移分別為δ3=δ9= 9.573×10-4m、δ6=1.587×10-3m。

消費(fèi)行為的外部性體現(xiàn)為副產(chǎn)物破壞和污染環(huán)境、公共設(shè)施的過度使用等方面，具有較強(qiáng)的地域性。如機(jī)動車帶來的尾氣污染、交通堵塞等負(fù)外部性問題主要在特定行政區(qū)域體現(xiàn)，2015年《關(guān)于對電池涂料征收消費(fèi)稅的通知》(財稅〔2015〕16號)規(guī)定對電池、涂料課征消費(fèi)稅。電池中重金屬成分對土壤的污染、涂料揮發(fā)的外部性具有較為明顯的地域性。居民增加該類商品消費(fèi)在提高了消費(fèi)稅收入的同時，也拉高了地方政府的治理成本。在將公共治理行為視為一種政府提供的公共產(chǎn)品的前提下，居民納稅與公共產(chǎn)品體現(xiàn)出直接的交換性特征。由地方政府直接取得這類商品的消費(fèi)稅收入并負(fù)擔(dān)相應(yīng)的外部性治理支出較為適宜。

圖3 加作用力的簡化模型

將各節(jié)點(diǎn)位移帶入雷利公式：

3.2 有限元分析

雷利公式計算出的頻率并非軸本身的固有頻率，而是在3、6、9節(jié)點(diǎn)處附有10kg（98N/9.8m/s2）集中質(zhì)量情況下的橫向振動固有頻率。

圖4所示采用有限元方法計算簡化模型，須在3、6、9節(jié)點(diǎn)上加上10kg集中質(zhì)量以便與雷利公式使用條件一致，集中質(zhì)量可采用質(zhì)量單元（mass）或稱0D單元來實(shí)現(xiàn)，提交給求解器OptiStruct進(jìn)行模態(tài)分析。

圖4 加質(zhì)量單元的簡化模型

計算結(jié)果為：一階橫向固有頻率F3=14.10rps，與理論計算值ncr1=14.14rps比較二者誤差0.28%，說明有限元法準(zhǔn)確可靠，可以進(jìn)行接下來的優(yōu)化。

在進(jìn)行優(yōu)化之前，對軸的振動頻率進(jìn)行模態(tài)分析是必要的，不僅可以和理論值對比，以便掌握有限元法的可信賴程度，同時還為優(yōu)化中的約束進(jìn)行確認(rèn)，即在眾多頻率中找出一階橫向振動頻率，以便對其進(jìn)行約束。

4 優(yōu)化設(shè)計

4.1 創(chuàng)建截面屬性

基于HyperMesh有限元前處理工具進(jìn)行建模。首先建立軸橫截面屬性，為了使接下來的優(yōu)化設(shè)置方便，最好使用標(biāo)準(zhǔn)截面中帶有優(yōu)化參量的管截面（tube），同時設(shè)定好初始尺寸，如圖5所示。

4.2 定義設(shè)計變量

使用Size面板定義尺寸設(shè)計變量。分別為內(nèi)半徑r、外半徑R賦初值、上限和下限r(nóng)min=55，rmax=65、Rmin=70，Rmax=80。

圖5 空心軸的橫截面

4.3 創(chuàng)建有限元模型

通過generic relationship子面板將設(shè)計變量內(nèi)、外半徑r、R與管截面尺寸關(guān)聯(lián)，即與圖5中的優(yōu)化參量DIM2、DIM1關(guān)聯(lián)，這些量將在優(yōu)化迭代中進(jìn)行不斷變化，以便找到符合約束的最佳尺寸。

軸采用1D梁單元建模，同時賦予材料、屬性、添加物理約束、扭矩等，其有限元模型如圖6所示。

圖6 有限元模型

4.4 定義響應(yīng)

分別選取軸的質(zhì)量、扭轉(zhuǎn)變形和頻率作為響應(yīng)，可通過response面板實(shí)現(xiàn)。這里軸的一階橫向振動有兩個正交的模態(tài)，所以需定義兩個橫向振動頻率響應(yīng)F3、F4。而F1、F2為一階縱向振動頻率，就這里而言沒有實(shí)際意義。

4.5 創(chuàng)建約束

這里軸的最大扭轉(zhuǎn)角許用值[φ]=0.005rad，在賦約束值時，由于最大扭矩加載在兩端，軸中央轉(zhuǎn)角為0，所以最大轉(zhuǎn)角應(yīng)放大一倍即0.0025rad。最大工作轉(zhuǎn)速n=17000rpm，臨界轉(zhuǎn)速應(yīng)為ncr=17000/0.75= 22667rpm，換算成軟件所使用的秒單位約等于378 rps。即讓軸成為剛性軸，不會發(fā)生共振。

4.6 定義目標(biāo)函數(shù)

選擇軸的質(zhì)量響應(yīng)作為優(yōu)化目標(biāo)，在滿足上述約束的條件下使其最小化。

4.7 優(yōu)化和察看結(jié)果

將上述處理好的文件提交給結(jié)構(gòu)優(yōu)化處理器OptiStruct進(jìn)行尺寸優(yōu)化。打開擴(kuò)展名為prop文件，文件中給出了優(yōu)化結(jié)果r=65.0 mm，R=76.87 mm，質(zhì)量由50.26 kg變?yōu)?7.31 kg，頻率由不符合要求的F3=367rps提高到 F3= 383rps。

進(jìn)入后處理工具HyperView察看優(yōu)化后的扭轉(zhuǎn)變形云圖7、一階橫向振型云圖8。從圖7可以看出扭轉(zhuǎn)變形達(dá)到上限值φ=2× 0.0025=0.005rad，而臨界頻率 F3≈383rps還有余量。

圖7 優(yōu)化后的扭轉(zhuǎn)變形云圖

圖8 優(yōu)化后的一階橫向振型云圖

5 結(jié)束語

（1）有限元方法與Rayleigh公式均是近似方法，但從算法上講有限元法更加準(zhǔn)確一些，隨著現(xiàn)代CAE技術(shù)的快速發(fā)展，大多采用CAE計算固有頻率。

（2）采用3D單元建模進(jìn)行分析其結(jié)果與采用1D單元建?；疽恢?，但優(yōu)化繁瑣，除非對某些細(xì)節(jié)關(guān)注時，才采用3D單元。

（3）如果有應(yīng)力等其他約束要求，可直接增加相應(yīng)的響應(yīng)和約束，方法類似。

[1]肖 陵，林秀榮，馬 牧.航空發(fā)動機(jī)結(jié)構(gòu)優(yōu)化[M].北京：北京航空航天大學(xué)出版社，1991.

[2]徐芝綸.彈性力學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2008.

[3]許鎮(zhèn)宇，等.機(jī)械零件[M].北京：人民教育出版社，1981.

[4]洪清泉，等.OptiStruct&HyperStudy理論基礎(chǔ)與工程應(yīng)用 [M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2012.

[5]劉興高，胡云卿，李國棟，等.最優(yōu)化方法應(yīng)用分析[M].北京：科學(xué)出版社，2014.

[6]閆思江，曾顯波，李凡國.圓孔孔邊的應(yīng)力集中分析及優(yōu)化[J].鍛壓裝備與制造技術(shù)，2014，49（6）：68-70.

The optimized design of high-speed rotating hollow shaft

YAN Sijiang1，HAN Xiaoling1，YAN Han2
（1.Qingdao Vocational&Technical College，Qingdao266404,Shandong China；2.Information Center of Daqing Second Oil Recovery Factory,Daqing163000,Heilongjiang China）

The optimized design has been conducted to high-speed rotating hollow shaft by use of finite element method on the basis of structure optimization processor OptiStruct.The geometry size of the lightest rotating shaft in quality has been optimized which satisfies not only the torsional stiffness but also the critical rotary speed.The concrete optimized steps and method have been put forward.

Finite element；Hollow shaft;Optimization

TH391.7

A

10.16316/j.issn.1672-0121.2016.01.030

1672-0121（2016）01-0104-03

2015－06－26；

2016－08－07

閆思江（1963-），男，博士，教授，從事機(jī)械設(shè)計及理論教研。E-mail：lnysj@eyou.com