洪汪寶

證明數(shù)列型不等式是近年來各地高考真題和模擬題中的常見題型，因其方法靈活多變，技巧性強，具有一定難度和區(qū)分度，所以備受命題者的青睞.本文通過歸納總結(jié)數(shù)列型不等式的常見題型和解法，希望能拋磚引玉，啟迪同學們的思維.

直接求和型

如果所給和式能直接求和，則先求和再根據(jù)和式的結(jié)果特點進行放縮.

招數(shù)：直接求和后放縮

由條件可知該數(shù)列是等比數(shù)列，可直接利用等

【方法點津】所給數(shù)列是等比數(shù)列，直接利用等比數(shù)列的求和公式先求和再進行放縮.

先放縮后求和型

所給式子不能直接求和，但是可以利用所給式子的特點進行適當?shù)姆趴s，使其能求和，從而得到所證不等式.

招數(shù)一：借助均值不等式放縮

【方法點津】本題借助均值不等式把不能直接求和的數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列從而得證.注意均值不等式成立時需滿足的條件，本題取不到等號.

招數(shù)二：借助放縮后裂項相消

【方法點津】所給和式不能直接求和，可以縮小其分母使其值變大，再利用裂項相消可達到目的.若n≥2時，招數(shù)三：借助放縮后有理化

【方法點津】所給和式的左邊不能求和，共有n項，而右邊只有兩項，將分母放大，從而分母有理化達到相互抵消招數(shù)四：借助放縮成等比數(shù)列

【方法點津】因通項公式中減去1/2導(dǎo)致不能直接求和，于是考慮將其去掉，放大為等比數(shù)列，從而可求和.招數(shù)五：借助二項式定理放縮

【方法點津】對于冪的形式，借助二項式定理展開，去掉某些項，或者將各項進行變形，從而能得到所求.招數(shù)六：借助糖水不等式放縮不可約分轉(zhuǎn)化為可約分.注意前提是真分數(shù)，真分數(shù)的分子分母加上同一個正數(shù)后，值會變大，招數(shù)七：借助函數(shù)不等式放縮

【方法點津】找到需要的函數(shù)不等式是解決問題的關(guān)鍵所在，而利用參數(shù)范圍的端點值往往又是破題的關(guān)鍵，

先構(gòu)造后求和型

構(gòu)造法是證明數(shù)列型不等式的又一把利器，有時可以考慮構(gòu)造新數(shù)列，研究其單調(diào)性；有時可以考慮構(gòu)造加強不等式來達到證明的目的.

招數(shù)一：構(gòu)造新數(shù)列

【方法點津】先構(gòu)造新數(shù)列，通過作差或者作商找出新數(shù)列的單調(diào)性.其中構(gòu)造新數(shù)列是難點所在.招數(shù)二：構(gòu)造加強不等式

例10 同例5.

綜上所述，原不等式成立.

【方法點津】這種證法的巧妙之處是對各項進行適當?shù)姆趴s后并不能對其直接求和，而用整體代換得到要證不

數(shù)學歸納法求和型

數(shù)學歸納法是證明數(shù)列型不等式優(yōu)先考慮的方法，因其具有固定的模式而顯得比較簡單.

招數(shù)：借助數(shù)學歸納法

例11 同例9.

【方法點津】證明與正整數(shù)n有關(guān)的命題時不要忘記數(shù)學歸納法這把利器，數(shù)學歸納法實現(xiàn)了利用有限證明無限，一定要驗證初始值，再利用歸納假設(shè)實現(xiàn)歸納遞推.