楊兆興　王金聚

(浙江省溫州中學(xué),浙江　溫州　325000)

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靜電場(chǎng)中的“像電荷”及其應(yīng)用

楊兆興王金聚

(浙江省溫州中學(xué),浙江溫州325000)

摘要：用像電荷來等效替代感應(yīng)電荷，是解決復(fù)雜靜電場(chǎng)問題的一種行之有效的方法，本文介紹了像電荷知識(shí)在靜電場(chǎng)習(xí)題教學(xué)中的應(yīng)用.

關(guān)鍵詞:靜電場(chǎng);像電荷;等效替代

如果把一塊導(dǎo)體從遠(yuǎn)處移動(dòng)到一固定點(diǎn)電荷q的附近,則導(dǎo)體表面上會(huì)產(chǎn)生感應(yīng)電荷,空間的電場(chǎng)應(yīng)為該固定電荷q和感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)的疊加.一般說來,導(dǎo)體表面的感應(yīng)電荷的分布是比較復(fù)雜的,直接求解該空間某處的電場(chǎng)十分困難.

然而,在一定條件下,我們可以在待求場(chǎng)區(qū)域的邊界之外虛設(shè)一個(gè)或多個(gè)電荷來等效替代導(dǎo)體表面上的感應(yīng)電荷,且保持原有邊界條件不變,則根據(jù)靜電唯一性定理,空間的電場(chǎng)可由原來的電荷q和等效電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)疊加得到.這些“等效電荷”我們稱之為“像電荷”,用“像電荷”來替代感應(yīng)電荷是解決復(fù)雜靜電場(chǎng)問題的一種行之有效的方法.

1接地平面導(dǎo)體情況下的“像電荷”

如圖1所示,一塊足夠大的接地導(dǎo)體板豎直放置,在板的右側(cè)與板相距為d處有一點(diǎn)電荷+q,則在板的右側(cè)面將出現(xiàn)感應(yīng)負(fù)電荷,點(diǎn)電荷+q將受到導(dǎo)體板上感應(yīng)電荷的作用力,那么這個(gè)作用力的大小該如何計(jì)算呢？

圖1

圖2

例1：如圖3所示,一個(gè)無限大的金屬板上表面接地,在其下方某處恰能停留一個(gè)質(zhì)量為m、帶電量為+q的點(diǎn)電荷,求這個(gè)點(diǎn)電荷離金屬板的距離r.

圖3

圖4

圖5

可以看出,在感應(yīng)電荷位于足夠大的接地平面導(dǎo)體的情況下,其“像電荷”與“源電荷”關(guān)于導(dǎo)體板表面對(duì)稱，且電量等量異號(hào),這與平面鏡成像的情況相類似,故稱之為“像電荷”.

2接地球面導(dǎo)體情況下的“像電荷”

如果感應(yīng)電荷所在的導(dǎo)體表面并非是足夠大的平面,比如是球面或柱體表面,那么在這種情況下“像電荷”的位置、電量又怎么樣計(jì)算？

例2：如圖6所示,一點(diǎn)電荷+q置于半徑為R的接地導(dǎo)體球外,與球心相距為a,a>R,試求點(diǎn)電荷+q所受的靜電力.

圖6

解析：因球外點(diǎn)電荷+q的存在,使導(dǎo)體表面有不均勻分布的負(fù)電荷,由于導(dǎo)體球接地,故感應(yīng)負(fù)電荷在球面上的分布,將使它與點(diǎn)電荷+q在球內(nèi)任意點(diǎn)的電勢(shì)均為0.感應(yīng)負(fù)電荷在球外的電場(chǎng),同樣也可以用像電荷的電場(chǎng)來等效替代.因此點(diǎn)電荷+q所受感應(yīng)電荷的靜電力也完全可由它與“像電荷”間的庫侖力來替代.

q2(R2+b2)-2q2Rbcosθ=q′2(R2+a2)-2q′2Racosθ.

雖然導(dǎo)體球面上感應(yīng)電荷的“像電荷”與“源電荷”的關(guān)系不再像平面導(dǎo)體那樣關(guān)于導(dǎo)體表面對(duì)稱且等量,但想一想凸面鏡成像時(shí)虛像與實(shí)物之間的相互關(guān)系,是不是覺得有幾分相似呢.

用“像電荷”取代感應(yīng)電荷的思想最早是由英國(guó)物理學(xué)家W·湯姆孫(即開爾文)于1848年提出來的,最先用于計(jì)算一定形狀導(dǎo)體面附近的電荷所產(chǎn)生的靜電場(chǎng),叫做“電像法”,后來發(fā)展到可以計(jì)算某些穩(wěn)定電磁場(chǎng),現(xiàn)在稱做“鏡像法”.雖然這種方法比較靈活、巧妙,但并不適用于所有情況下的電磁場(chǎng).一般說來,只有邊界面幾何形狀較為簡(jiǎn)單的情形才容易成功地設(shè)置“像電荷”,比如邊界面較規(guī)則的平面、球面和柱面等情況.