宋殿霞

(上海海洋大學(xué)信息學(xué)院數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教學(xué)部,上海201306)

0 引言

概率論與微積分是數(shù)學(xué)的兩個(gè)重要的分支,它們之間有著本質(zhì)的區(qū)別,但是又有緊密的聯(lián)系。高等數(shù)學(xué)是學(xué)習(xí)概率的基礎(chǔ),其極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、積分、級數(shù)等重要的概念和數(shù)學(xué)思想在概率論中都有著充分的體現(xiàn);而概率的思想方法又可以反過來為微積分中一些比較復(fù)雜的問題提供了方法。

1 高數(shù)是概率的基礎(chǔ)

1.1 集合論是概率論公理化體系的基礎(chǔ)

隨機(jī)事件的定義及事件間的關(guān)系和運(yùn)算,采用了集合的觀點(diǎn),將集合賦予了概率的含義,從而事件之間的運(yùn)算其實(shí)是集合之間的運(yùn)算,進(jìn)而概率的公理化定義是以集函數(shù)的方式給出的。從教學(xué)的角度,微積分中求函數(shù)定義域的課題應(yīng)加以強(qiáng)調(diào)與考核。

1.2 隨機(jī)變量的引入,使微積分思想與級數(shù)思想得到充分的應(yīng)用

分布函數(shù)的定義及性質(zhì),連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度的定義及性質(zhì),是以極限與連續(xù)的概念及變上限積分與廣義積分作為工具的。有了分布函數(shù)、概率密度作為工具,求概率的問題,實(shí)際就轉(zhuǎn)化為了計(jì)算積分的問題,在求概率的積分方法中,用的最多的是湊微分法與分部積分法;離散型隨機(jī)變量的定義與性質(zhì)和數(shù)列密切相關(guān),其性質(zhì)與有關(guān)概率計(jì)算會用到無窮級數(shù)求和。而概率密度和分布函數(shù)之間的關(guān)系,是被積函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系,涉及到將變上限積分求導(dǎo)問題與求變上限積分表達(dá)式的問題。

因此從教學(xué)上,為了使微積分更好地為概率論服務(wù),應(yīng)該把函數(shù)的左右極限、左右連續(xù)、變上限積分等概念作為考查重點(diǎn),特別地,諸如求分段函數(shù)分段點(diǎn)處的極限值、討論連續(xù)性,求變上限積分表達(dá)式等要重點(diǎn)講解與考查,例如形如：

1.3 大數(shù)定律與中心極限定理體現(xiàn)了極限的思想和作用

極限的思想,解釋了自然界與社會中的大部分隨機(jī)現(xiàn)象穩(wěn)定性的本質(zhì)?？傊?微積分的重要思想和方法及其知識點(diǎn)在研究概率時(shí),起著重要的作用,使得概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)可以用系統(tǒng)的數(shù)學(xué)分析的方法來解決概率問題。概率論就是用微積分的知識作為基礎(chǔ)和工具的一門學(xué)科。特別是定積分、反常積分、二重積分、極限等知識的熟練掌握能大大提高學(xué)習(xí)概率的效率。

2 微積分中的概率論方法

下面簡略地以舉例的形式說明概率論對于解決微積分中的問題所起的作用。

解：構(gòu)造如下概率模型,設(shè)ξ1、ξ2,…,為一列獨(dú)立的隨機(jī)變量且均服從參數(shù)為1的泊松分布,則根據(jù)泊松分布的可加性服從參數(shù)為 n的泊松分布,從而有：

另一方面,由中心極限定理及標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)的性質(zhì)有：

概率模型解決微積分問題的技巧有很多,在這里不再贅述,僅提供幾個(gè)例子體會。

3 結(jié)語

本文重點(diǎn)研究微積分知識對概率教學(xué)的影響,并對影響進(jìn)行了詳細(xì)的分析。高等數(shù)學(xué)的重要思想和方法及其知識點(diǎn)在研究概率時(shí),起著重要的作用,使得概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)可以用系統(tǒng)的數(shù)學(xué)分析的方法來解決概率問題。概率論就是用高等數(shù)學(xué)的知識作為基礎(chǔ)和工具的一門學(xué)科。特別是定積分、反常積分、二重積分、極限等知識的熟練掌握能大大提高學(xué)習(xí)概率的效率。另外,以舉例的方式簡單地闡述了概率對微積分問題的解決提供了巧妙的概率模型。關(guān)于二者關(guān)系的分析還可以更深入的討論,有待于進(jìn)一步研究。

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