簡單函數(shù)方程的解法

◇北京龔浩生1張留杰1童嘉森2(特級教師)

在高中學習函數(shù)時,我們常遇到下面的一類問題:

例1已知f(x)滿足2f(x)+f(1/x)=3x,求f(x)的解析式.

這類問題很多同學都感到無從下手,因為在教材中沒有涉及它們的解法,即便有的老師講過類似的例題,但很多同學仍然一知半解.

這類問題屬于函數(shù)方程的問題,本文介紹幾種簡單函數(shù)方程的解法.

1什么是函數(shù)方程

我們知道,如2x2+1=3x這樣含有未知數(shù)的等式叫方程,其中的未知數(shù)x代表數(shù)值,故這樣的方程也叫數(shù)值方程.而例1、2中的等式是含有未知函數(shù)在內(nèi),故它們就叫作函數(shù)方程,滿足函數(shù)方程的函數(shù)就叫作函數(shù)方程的解,求函數(shù)方程的(一些或全體)解或確定無解的過程就叫做解函數(shù)方程.

有關函數(shù)方程的問題常在數(shù)學競賽與大學自主招生考試中出現(xiàn),高考中也時常會有它們的身影,這類問題一般屬較難題,沒有固定的解題模式,常常需要一些特殊技巧綜合很多知識與方法.

下面我們探討幾種相對簡單的函數(shù)方程的解法.

2簡單函數(shù)方程的解法

2.1　待定系數(shù)法

在知道函數(shù)方程中的未知函數(shù)的類型(如多項式函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等)時,可用待定系數(shù)法求解.即先設出函數(shù)解析式,代入函數(shù)方程,再變形整理、比較系數(shù)而求解.

例3已知f(x)為多項式函數(shù),解函數(shù)方程f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x.

因為f(x)為多項式函數(shù),而f(x+1)與f(x-1)并不會改變f(x)的次數(shù),故由原函數(shù)方程知f(x)為二次函數(shù),設f(x)=ax2+bx+c, 則

f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+c=

ax2+(2a+b)x+(a+b+c),

f(x-1)=a(x-1)2+b(x-1)+c=

ax2+(b-2a)x+(a-b+c).

故

f(x+1)+f(x-1)=2ax2+2bx+2(a+c)=2x2-4x.

一般來說,解函數(shù)方程最后都要檢驗所求得的函數(shù)是否滿足原來的函數(shù)方程.

2.2　變量代換法

把函數(shù)方程中的自變量適當?shù)刭x以另外的變量形式,構造出多個函數(shù)方程進行求解,代換時注意保持函數(shù)定義域不變.這是較為常用的一種方法.

例2解答如下.

令x=t(t≠1),得

①

②

由式②×(t-1)-①,得f(t)=1,所以f(x)=1 (x∈R,x≠0),代入原函數(shù)方程,易知其滿足方程.

③

④

⑤

由式③-④+⑤得

2.3　函數(shù)迭代法

對于形如f(x)+f[φ(x)]=u(x)(u(x)已知)的函數(shù)方程,若存在正整數(shù)k,使得φk(x)=x,而對小于k的整數(shù)m,φm(x)≠x(其中φk(x)=φ(φk-1(x))=φ(φ(φk-2(x)))=…)，即φ(x)具有迭代周期,那么也可用如下的迭代法進行求解.

例4另解如下.

此時可將原方程表示為

f(x)+f(φ(x))=1+x,

⑥

迭代一次可得

⑦

再迭代一次可得

⑧

2.4　數(shù)值代入法

當函數(shù)方程中的獨立變量多于1個時,可將其中部分的獨立變量以具體的數(shù)值或某一個相同的變量代入,從而簡化方程進行求解.

例5已知函數(shù)f(x)滿足:f(0)=1,f(π/2)=2,且對任意的x、y∈R,有

f(x+y)+f(x-y)=2f(x)cosy,

⑨

試求f(x)的解析式.

令x=0、y=t,代入式⑨可得

f(t)+f(-t)=2f(0)cost=2cost.

⑩

f(t+π)+f(t)=0.

f(t+π)+f(-t)=-2f(π/2)sint=-4sint.

更一般地,若f(0)=a, f(π/2)=b,則式⑨的解為

f(x)=acosx+bsinx.

因為若f(x)=acosx+bsinx,則

f(x+y)+f(x-y)=[acos (x+y)+bsin (x+y)]+

[acos (x-y)+bsin (x-y)]=

a[cos (x+y)+cos (x-y)]+

b[sin (x+y)+sin (x-y)]=

2acosxcosy+2bsinxcosy=

2(acosx+bsinx)cosy=2f(x)cosy.

例6求定義在R上的增函數(shù)f(x),滿足對任意x、y∈R,有

f(f(x)+y)=f(x+y)+f(0) .

f(f(x)-x)=2f(0).

f(f(y)+x)=f(x+y)+f(0).

f(f(y)-y)=2f(0).

f(f(x)-x)=f(f(y)-y).

由函數(shù)f(x)的單調(diào)性得f(x)-x=f(y)-y,即存在常數(shù)c,使得對一切實數(shù)x,有f(x)=x+c,經(jīng)檢驗,它滿足給定的條件.

2.5　柯西法與柯西方程

用柯西法求解函數(shù)方程的一般步驟是:先求出對于自變量取自然數(shù)時解的形式,然后依次證明對自變量取整數(shù)、有理數(shù)以及實數(shù)時函數(shù)方程的解仍然具有這種形式,從而得到函數(shù)方程整體的解.

例7(2006年復旦大學自主招生卷)f(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增,且對?x、y∈[1,+∞),都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立.

證明:存在常數(shù)k使f(x)=kx在x∈[1,+∞)上成立.

證明設f(1)=k,由題設對?n∈N*?[1,+∞),有f(n+1)=f(n)+f(1)=f(n)+k,于是

f(n)=kn.

對任意的有理數(shù)

q/p∈[1,+∞) (p、q∈N*,q≥p)

有

對任意的無理數(shù)t∈[1,+∞),可取在[1,+∞)上單調(diào)遞增的有理數(shù)列{rn}與單調(diào)遞減的有理數(shù)列{sn},且rn≤t≤sn,rn→t、sn→t,由于f(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增,所以krn=f(rn)≤f(t)≤f(sn)=ksn,令n→∞,即有f(t)=kt.

所以,存在常數(shù)k使f(x)=kx在x∈[1,+∞)上成立.

形如f(x+y)=f(x)+f(y)(x、y∈R)的函數(shù)方程,叫做柯西方程.關于柯西方程有如下結(jié)論:

定理若滿足柯西方程的函數(shù)f(x)是連續(xù)的,或單調(diào),或在f(x)零點的某個鄰域中有界,則柯西方程的解為f(x)=ux(其中u=f(1)).

與柯西方程相關的問題或可化為柯西方程解決的函數(shù)方程問題在各類考試中也較為常見.

例8(烏克蘭國立基輔大學數(shù)學競賽試題) 求證所有函數(shù)f: R→R,它在點x=0連續(xù)且對所有x、y∈R滿足關系式.

f(x+y)=f(x)+f(y)+xy(x+y).

證明轉(zhuǎn)化為柯西方程處理,由

f(x+y)=f(x)+f(y)+xy(x+y)?

g(x+y)=g(x)+g(y).

例9(2008年重慶卷) 若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足:對?x1,x2∈R,有

f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1.

下列說法一定正確的是().

Af(x)為奇函數(shù); Bf(x)為偶函數(shù);

Cf(x)+1為奇函數(shù);Df(x)+1為偶函數(shù)

由f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1?

f(x1+x2)+1=(f(x1)+1)+(f(x2)+1).

令g(x)=f(x)+1,則原方程為g(x1+x2)=g(x1)+g(x2),當f(x)為單調(diào)函數(shù)時,g(x)也為單調(diào)函數(shù),由定理有g(x)=g(1)x,即f(x)+1=g(1)x,故只有選項C正確.

例10(2008年陜西卷) 定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x、y∈R),f(1)=2,則f(-3)=().

A2;B3;C6;D9

由f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy，可得f(x+y)-(x+y)2=(f(x)-x2)+(f(y)-y2),令g(x)=f(x)-x2,則原方程可化為

g(x+y)=g(x)+g(y).

當x∈Z時,由柯西方法可得g(x)=g(1)x,所以f(x)=g(1)x+x2.

又由f(1)=2可得g(1)=1,故f(x)=x+x2,f(-3)=-3+9=6,故選項C正確.