二項(xiàng)式定理考查題型分析

◇河北高云峰

1求指定項(xiàng)的系數(shù)問題

此類問題屬于高考?？碱}型,解題中只要準(zhǔn)確把握二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式,觀察出相應(yīng)的項(xiàng),即可順利求解.

由題可知

2二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)問題

A180;B90;C45;D360

變式(2013年新課標(biāo)Ⅰ卷) 設(shè)m為正整數(shù),(x+y)2m展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為a,(x+y)2m+1展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為b,若13a=7b,則m=().

A5;B6;C7;D8

3二項(xiàng)式系數(shù)和問題

例3若(x2+1/x3)n展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為32,則n=______,其展開式中的常數(shù)項(xiàng)為________.(用數(shù)字作答)

由2n=32得n=5．利用通項(xiàng)公式

由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)得到方程22n-1-2n=112解出n值;再由二項(xiàng)式系數(shù)取在r=n/2處(n為偶數(shù))或r=(n±1)/2處(n為奇數(shù))求得r值;最后再根據(jù)1120為常數(shù)項(xiàng),獲得通項(xiàng)中x的指數(shù)為0這一信息列出方程求出x的值.

由題意知22n-1-2n=112,所以

(2n)2-2·2n-224=0,

所以

(2n-16)(2n+14)=0.

又因?yàn)?n>0,所以2n-16=0,則n=4,2n=8.

又設(shè)(2x+xlgx)8的通項(xiàng)為

當(dāng)r=8/2=4時(shí),二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)為

所以1120x4+4lgx=1120,也即x4+4lgx=1,所以4+4lgx=0,所以lgx=-1,則x=1/10.

4項(xiàng)的系數(shù)和問題

此類問題的求解通常利用賦值法,即令其中的變量為0或1或-1,進(jìn)而得出各項(xiàng)的系數(shù)和．

例4x(1-mx)4=a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,其中a2=-6,則實(shí)數(shù)m的值為____________;a1+a2+a3+a4+a5的值為________.

a1+a2+a3+a4+a5=1×(1-3/2)4=1/16．

變式1(x+a/x)(2x-1/x)5的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為2,則該展開式中常數(shù)項(xiàng)為().

A-40;B-20;C20;D40

對(duì)式(x+a/x)(2x-1/x)5,令x=1得1+a=2,故a=1.(2x-1/x)5的展開式的通項(xiàng)為

由于(2x-1/x)5展開式不能產(chǎn)生常數(shù)項(xiàng),故要得到展開式的常數(shù)項(xiàng),只能x+1/x的x與(2x-1/x)5展開式的1/x相乘,x+1/x的1/x與(2x-1/x)5展開式的x相乘,故令5-2r=-1得r=3,令5-2r=1得r=2,從而可得常數(shù)項(xiàng)為

變式2(2015年新課標(biāo)Ⅱ卷)(a+x)(1+x)4的展開式中x的奇數(shù)次冪項(xiàng)的系數(shù)之和為32,則a=________.

由已知得(1+x)4=1+4x+6x2+4x3+x4,故(a+x)(1+x)4的展開式中x的奇數(shù)次冪項(xiàng)分別為4ax、4ax3、x、6x3、x5,其系數(shù)之和為

4a+4a+1+6+1=32,

解得a=3.

高考對(duì)二項(xiàng)式定理的考查,主要是以其展開式及通項(xiàng)公式為背景,以容易題、客觀題為主,有時(shí)也與其他知識(shí),如函數(shù)、不等式、楊輝三角等知識(shí)相交會(huì),本文不再列舉,請(qǐng)讀者自行歸納總結(jié),以形成知識(shí)體系.

(作者單位：河北省灤平縣職教中心)