孫耀東++徐寶++趙志文

摘 要 研究時間序列非參數(shù)回歸模型的方差變點檢驗.通過估計模型中的回歸函數(shù)得到殘差序列，利用殘差序列構(gòu)造Ratio檢驗統(tǒng)計量，并討論檢驗統(tǒng)計量的極限性質(zhì)，通過數(shù)值模擬驗證檢驗方法的有效性.

關(guān)鍵詞 Ratio檢驗；非參數(shù)回歸模型；方差變點

中圖分類號 O212.1 文獻標識碼 A 文章編號 10002537（2016）01007604

Test for Change Point Detection in Nonparametric Regression Model for Time Series

SUN Yaodong*， XU Bao， ZHAO Zhiwen

（College of Mathematics， Jilin Normal University， Siping 136000， China）

Abstract The detection problem of change point in nonparametric regression model for time series is studied. Residual sequence is obtained when the regression function is estimated and the ratio test statistics is established based on the residual sequence. Asymptotic properties of the test statistics are derived. The performance of the method is illustrated by simulation studies.

Key words Ratio test； nonparametric regression model； variance change point

考慮如下非參數(shù)回歸模型

yi=f（ui）+xi，i=1，2，…，n， （1）

其中yi是實際觀測的數(shù)據(jù)，f（·）是回歸函數(shù)，ui=i/n是固定設計點，xi滿足如下AR（p）模型

xi=∑pk=1φkxi-k+ei，i=±1，±2，…. （2）

對模型（2）性質(zhì)的討論依賴數(shù)據(jù){xi}，然而在很多實際問題中{xi}常常觀測不到，真正的觀測數(shù)據(jù)為{yi}，目前很多學者應用非參數(shù)方法對yi中包含的未知趨勢項f（·）進行估計[14]，再通過剔除趨勢項得到xi的估計值進而討論模型（2）的性質(zhì).本文研究模型（1）中{xi}的方差變點檢驗問題，如下：

H0：E（e2i）=σ2，對所有的i=1，2，…，n.

H1：H0不成立.

由于在經(jīng)濟領(lǐng)域中方差常常被用來度量風險，方差變點問題變得越來越重要.Inclan 和Tiao（1994）[5]應用CUSUM檢驗方法檢驗了獨立觀測樣本的多變點問題，Gombay（1996）[6]等人研究了獨立同分布樣本的方差變點檢驗和估計問題，趙文芝、夏志明和賀興時（2012）[7]研究了隨機設計下非參數(shù)回歸模型的方差變點Ratio檢驗.上述文獻都是在獨立樣本的情形下進行討論的.對于樣本非獨立情形，Kim、Cho和Lee（2000）[8]應用CUSUM檢驗方法研究了GARCH（1，1）模型的參數(shù)變點問題，Lee和Park（2001）[9]研究了平穩(wěn)過程的方差變點檢驗，Lee和Na（2003）[10]應用CUSUM檢驗方法研究了強混合誤差下的非參數(shù)回歸模型方差變點問題.本文運用Lajos等[11]提出的Ratio檢驗方法討論模型（1）的方差變點檢驗問題，與文獻[10]的CUSUM檢驗方法相比，Ratio檢驗方法不需要估計模型尺度參數(shù)，計算更簡便.

1 主要結(jié)果

模擬結(jié)果可以看出，本文的Ratio檢驗是一致的，樣本容量n越大，檢驗效果越好，并且當n足夠大時，檢驗的勢函數(shù)值趨近于1. 變點后的方差α2越大，檢驗效果越好.另外，檢驗效果與自回歸系數(shù)φ有關(guān)，隨著φ增大接近1，模型（2）趨近非平穩(wěn)，檢驗效果相對較差.

3 總結(jié)

在實際問題中模型中某個或某些量有時會突然發(fā)生變化，這種突然變化之點就是變點，這種突然變化往往反映了事物的某種質(zhì)的變化，它在經(jīng)濟領(lǐng)域很常見且十分重要，常用的變點檢驗方法是CUSUM檢驗，由于CUSUM檢驗需要對模型尺度參數(shù)進行估計，而當數(shù)據(jù)不獨立時，該估計很難獲得.本文應用不需要估計尺度參數(shù)的Ratio檢驗方法研究模型（1）的方差變點檢驗問題，討論了Ratio檢驗統(tǒng)計量的極限性質(zhì)，通過數(shù)值模擬驗證檢驗方法的有效性.

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（編輯 HWJ）