趙 秀

(興義民族師范學院數(shù)學科學學院，貴州 興義 562400)

均值不等式的應用與實踐

趙 秀

(興義民族師范學院數(shù)學科學學院，貴州 興義 562400)

均值不等式是不等式的一種特殊種類，在不等式之中處于核心地位，在解題及現(xiàn)實生活中有著廣泛的應用，也是高考中的一個重點。通過分析均值不等式的應用與實踐，對學生邏輯思維能力及實踐能力的培養(yǎng)有重要意義。

均值不等式；應用；實踐

1 均值不等式及其推廣

1.1 均值不等式

1.2 均值不等式推廣(推廣到有限個正數(shù))

注意①ai>0,i=1,2,…n；

③當且僅當a1=a2=…=an時，等式成立。

總結：一正二定三相等。

2 均值不等式在解題中的應用

2.1 用均值不等式求極限

解：由n元均值不等式，有

2.2 用均值不等式求最值

例2，已知2b2-a2=1，求y=|a-2b|的最小值。

當且僅當a=b,2b2-a2=1,即a=b=1或a=b=-1時，y的最小值為1。

2.3 用均值不等式求函數(shù)值域

2.4 用均值不等式比較大小

解：根據(jù)題意，可由均值不等式，得：

即，Q>P，

即 R>Q。

由于a>b，所以a≠b，所以不能取等號，

即 R>Q>P。

3 均值不等式在現(xiàn)實生活中的實踐應用

羅丹曾說過：生活不是缺少美，只是缺少發(fā)現(xiàn)美的眼睛。這句話同樣適用于數(shù)學，生活中不是缺少均值不等式的應用，只是缺少我們的細心觀察。數(shù)學源于生活，又高于生活，均值不等式在生活中有著廣泛的應用，例如，在機械鑄造、建設投資、商品銷售等問題上都有均值不等式的身影。

3.1 運用均值不等式，解決機械鑄造問題

例5，用一塊鋼錠澆鑄一個厚度均勻，且全面積為2m2的正四棱錐形有蓋容器，設容器高為h(m)，蓋子邊長為a(m)。

1)求a關于h的函數(shù)解析式；

2)設容器的容積為V,則當a為何值時，V最大，求最大值。

3.2 運用均值不等式，解決建設投資問題

例6，某單位決定投資3 200元建一倉庫(長方體狀)，高度恒定，它的后墻利用舊墻不花錢，正面用鐵欄，每1m長造價40元，兩側墻砌磚，每1m長造價45元，頂部每1m2造價20元。計算：

1)倉庫底面積S的最大允許值是多少？

2)為使S達到最大，而實際投資又不超過預算，那么正面鐵欄應設計為多長？

解：設鐵欄長為xm，一堵磚墻長為ym，則有S=xy。

由題意得：40x+2×45y+20xy=3200

應用算術平均數(shù)與幾何平均數(shù)定理，得：

從而S≤100.

因此，S的最大允許值是100 m2，取得此最大值的條件是40x=90y，而xy=100，由此求得x=15，即鐵欄的長應是15m。

4 結語

處理均值不等式在解決實際應用問題應該按照以下幾點要求進行：

第一，讀題和審題，讀題時要對題目的條件及要求有個粗略的了解，形成框架，審題時要明確題目的各個條件(包括隱含條件)，明確求解。第二，審完題后，設出變量，建立數(shù)學模型，即抽象出函數(shù)關系式。第三，在該問題有意義的自變量的取值范圍內(nèi)(即定義域)，求出問題的解。第四，從數(shù)學模型之中還原到實際問題之中，寫出實際問題的解法和解答過程。

Application and practice of mean value inequality

ZHAO Xiu

(School of Mathematical Sciences, Xingyi Normal University for Nationalities, Xingyi 562400, China)

Mean value inequality is a special kind of inequality, which is in the core position in the inequality. It is widely used in solving problems and real life, and it is also a key point in the college entrance examination. This paper analyzes the application and practice of mean value inequality, which has important significance to the cultivation of students′ ability of thinking and practical ability.

Mean value inequality; Application; Practice

2016-10-09

趙秀(1967-)，女，學士，副教授。

G634.6

B

1674-8646(2016)23-0025-02