曹軻+李國強+陸燁

摘要：基于《鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范》（GB 50017—2003），利用三柱子框架模型推導(dǎo)了無側(cè)移半剛性連接箱式模塊化框架柱計算長度系數(shù)方程，給出了基于分析假定的柱計算長度系數(shù)理論解，提出了針對無側(cè)移半剛性連接箱式模塊化框架柱計算長度系數(shù)的實用計算公式；通過對比理論計算結(jié)果和有限元分析結(jié)果，驗證了實用計算公式的精確性與適用性；研究了無側(cè)移半剛性連接箱式模塊化框架柱計算長度系數(shù)的各影響因素。結(jié)果表明：柱計算長度系數(shù)除了受到半剛性節(jié)點剛度變化的影響外，還受到上下相鄰模塊框架梁對框架柱約束系數(shù)比值的影響；當(dāng)上下相鄰模塊框架梁對框架柱約束系數(shù)的比值均為1時，柱計算長度系數(shù)不隨節(jié)點剛度變化而變化。

關(guān)鍵詞：計算長度系數(shù)；穩(wěn)定分析；半剛性連接；無側(cè)移箱式模塊化框架

中圖分類號：TU323.5文獻標(biāo)志碼：A

Stability Analysis of Nonsway Modular Frame with Semirigid ConnectionCAO Ke1， LI Guoqiang1，2， LU Ye1，2

（1. College of Civil Engineering， Tongji University， Shanghai 200092， China； 2. State Key Laboratory for

Disaster Reduction in Civil Engineering， Tongji University， Shanghai 200092， China）Abstract： Based on Code for Design of Steel Structures（GB 50017—2003） and using the three column subassemblage model， a governing equation for determining the effective length factor of column for nonsway modular frame with semirigid connection was derived. Furthermore， the theoretical solution to evaluate the corresponding column effective length factor was proposed. The effectiveness and accuracy of the simplified calculation formulas were illustrated through comparing the theoretical calculation results and finite element analysis results. At last， influencing factors of effective length factor of column for nonsway modular frame with semirigid connection were investigated. The results show that the effective length factor is affected not only by the connection stiffness but also by the ratio of modified relative stiffness factor. When the ratio of modified relative stiffness factor is 1， the effective length factor doesnt change with connection stiffness.

Key words： effective length factor； stability analysis； semirigid connection； nonsway modular frame

0引言

箱式模塊化鋼結(jié)構(gòu)建筑是預(yù)制裝配式鋼結(jié)構(gòu)建筑的一種具體形式，它是將單個房間作為預(yù)制單元，在工廠預(yù)制后運到工地進行現(xiàn)場安裝。每一個預(yù)制單元可為帶有采暖、給排水及照明等所有管網(wǎng)的裝修完備的房間單元。作為集成化程度很高的預(yù)制裝配式建筑，箱式模塊化建筑已經(jīng)成為新型建筑技術(shù)的主要發(fā)展方向之一[1]。

目前針對鋼框架的研究與設(shè)計中常把梁、柱間連接假定為理想的剛接或鉸接，然而實際工程中大多數(shù)連接介于兩者之間，為半剛性連接[2]。普通的半剛性連接是指框架中梁、柱間連接節(jié)點為半剛性節(jié)點。對于箱式模塊化鋼結(jié)構(gòu)，在同一模塊箱體內(nèi)部，梁、柱連接采用全焊接連接，而不同箱體之間則采用螺栓節(jié)點連接。因此，對于箱式模塊化鋼框架，同一箱體內(nèi)梁、柱剛性連接，不同箱體間半剛性連接。

穩(wěn)定性的設(shè)計一直是多層多跨鋼框架設(shè)計的重要組成部分[3]。目前設(shè)計多層多跨鋼框架有2種方法：一種是傳統(tǒng)的構(gòu)件計算長度設(shè)計法；另一種是高等分析法。各國針對鋼框架整體穩(wěn)定性的設(shè)計仍采用第1種方法，因此，框架結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定問題就轉(zhuǎn)化成了柱計算長度的計算問題。目前研究與設(shè)計中確定柱計算長度的實用方法是子結(jié)構(gòu)法和層剛度法[4]。對于半剛性節(jié)點，國外學(xué)者普遍采用轉(zhuǎn)動彈簧模擬節(jié)點的半剛性性能，以研究半剛性鋼框架柱的計算長度取值問題。依據(jù)此種方法，Hellesland等[5]、White等[6]和Kishi等[7]對半剛性連接鋼框架柱的計算長度系數(shù)進行了研究。隨著鋼結(jié)構(gòu)在中國的發(fā)展和應(yīng)用，針對半剛性連接鋼框架穩(wěn)定問題的研究逐漸增多，陳紹蕃[3]、陳驥[8]和李國強等[910]針對半剛性連接鋼框架的穩(wěn)定問題進行了研究。

上述研究均針對梁、柱半剛性連接鋼框架進行，對于半剛性連接箱式模塊化鋼框架的整體穩(wěn)定問題，目前各國尚無研究報道。本文采用《鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范》（GB 50017—2003）[11]中的方法，利用子結(jié)構(gòu)模型，推導(dǎo)無側(cè)移半剛性連接箱式模塊化框架柱的計算長度系數(shù)方程，給出計算長度系數(shù)的簡化計算公式，并通過對比有限元分析結(jié)果驗證該簡化計算公式的精確性。同時，本文還將分析無側(cè)移半剛性連接箱式模塊化框架柱計算長度系數(shù)的影響因素。

1分析假定

普通半剛性連接框架與半剛性箱式模塊化框架見圖1。由圖1可知，箱式模塊化框架結(jié)構(gòu)形式與普通鋼框架差異較大，因此在箱式模塊化鋼框架的設(shè)計中不能完全套用普通鋼框架的設(shè)計方法，而應(yīng)考慮箱體間連接節(jié)點對框架柱穩(wěn)定性的影響。

圖1普通半剛性連接框架與半剛性連接箱式模塊化框架

Fig.1Common Frame and Modular with Semirigid

Connection Frame with Semirigid Connection Frame參考《鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范》（GB 50017—2003）[11]中關(guān)于普通無側(cè)移鋼框架柱計算長度系數(shù)的有關(guān)假定以及文獻[7]中針對梁、柱半剛性連接無側(cè)移鋼框架柱穩(wěn)定性分析的有關(guān)假定，本文采用以下分析假定：

（1）子框架模型中所有桿件材料均為完全彈性。

（2）所有梁、柱均為等截面形式。

（3）梁內(nèi)軸力較小，可以忽略。

（4）同層中各柱將同時屈曲，不考慮同層各柱之間的相互影響。

（5）子框架模型中所有柱穩(wěn)定函數(shù)一致。

（6）子框架屈曲時，各梁近端及遠(yuǎn)端的轉(zhuǎn)角大小相等，方向相反，即各梁按單向曲率彎曲。

（7）同一模塊內(nèi)梁、柱連接為剛性連接，不同模塊間連接為半剛性連接。

（8）不同模塊間連接節(jié)點的半剛性性能用具有一定轉(zhuǎn)動剛度的轉(zhuǎn)動彈簧模擬。

（9）子框架模型中上下相鄰柱變形曲線相似，即各柱柱端轉(zhuǎn)角對應(yīng)成比例。

包含無側(cè)移半剛性連接箱式模塊化框架的任一柱CD及所有與柱CD相連構(gòu)件的子框架模型如圖2（a）所示，其中，P為子框架所受軸壓力，θ為節(jié)點轉(zhuǎn)角，bi（i=1，2，3，4），cj（j=1，2，3）分別為各梁、柱編號。根據(jù)分析假定（4），同層中各柱變形相同，故柱MN與柱CD不會產(chǎn)生相對轉(zhuǎn)動，柱MN對柱CD的穩(wěn)定系數(shù)沒有影響，可將無側(cè)移模塊化子框架模型簡化，如圖2（b）所示，其中，θA，θB，θC，θD，θE，θF，θG，θH，θI，θJ均為轉(zhuǎn)角，R1，R2均為半剛性節(jié)點的轉(zhuǎn)動剛度。該子框架模型與傳統(tǒng)的三柱子框架模型類似[8]，包括柱c2[圖2（b）中的柱CD]，2根約束柱c1，c3，4根約束梁b1，b2，b3，b4。相同模塊內(nèi)梁、柱均為剛性連接，相鄰模塊間為半剛性連接。

圖2無側(cè)移箱式模塊化子框架模型及其簡化模型

Fig.2Subassemblage Model for Nonsway Modular

Frame and Its Simplification Model2轉(zhuǎn)角位移方程

由于半剛性連接箱式模塊化框架中模塊內(nèi)梁、柱均為剛性連接，節(jié)點的半剛性性能只在不同模塊間體現(xiàn)，故針對單個構(gòu)件而言，構(gòu)件的轉(zhuǎn)角位移方程與普通多層多跨鋼框架相同。

按照分析假定（3），框架梁只承受端彎矩作用，如圖3（a）所示，其轉(zhuǎn)角位移方程為[2]

MA=kbLb（4θA-2θB）（1）

式中：MA為梁A端彎矩；kb為子框架梁抗彎剛度；Lb為子框架梁跨度。

由分析假定（6）可知，梁發(fā)生單向曲率彎曲變形，即θA=θB[圖3（a）]，則梁A端彎矩可表示為

MA=2kbLbθA（2）

無側(cè)移子框架中框架柱受軸力及端彎矩共同作用，如圖3（b）所示，其中，MB為梁B端彎矩，Lc為子框架柱長度），此時框架梁、柱的轉(zhuǎn)角位移方程可用穩(wěn)定函數(shù)表示為[2]

MA=kcLc（siiθC+sijθD）（3）

MB=kcLc（sjiθC+sjjθD）（4）

sii=sjj=kLcsin（kLc）-（kLc）2cos（kLc）2-2cos（kLc）-kLcsin（kLc）（5）

sij=sji=（kL）2c-kLcsin（kLc）2-2cos（kLc）-kLcsin（kLc）（6）

k=Pkc（7）

圖3無側(cè)移箱式模塊化框架梁、柱單元轉(zhuǎn)角位移模型

Fig.3Slopedeflection Model of Beam Element and

Column Element for Nonsway Modular Frame式中：kc為子框架柱抗彎剛度；sii，sij，sji，sjj均為穩(wěn)定函數(shù)。

柱計算長度系數(shù)μ可表示為

μ=πkLc（8）

將式（8）代入式（5），（6），可得由柱計算長度系數(shù)μ表示的穩(wěn)定函數(shù)[8]為

sii=sjj=（π/μ）sin（π/μ）-（π/μ）2cos（π/μ）2-2cos（π/μ）-（π/μ）sin（π/μ）（9）

sij=sji=（π/μ）2-（π/μ）sin（π/μ）2-2cos（π/μ）-（π/μ）sin（π/μ）（10）3柱計算長度系數(shù)的計算方程

根據(jù)分析假定，子框架屈曲時各梁、柱的轉(zhuǎn)角如圖2（b）所示，其中，柱CD為目標(biāo)柱，柱CD端轉(zhuǎn)角分別為θC，θD，梁CH兩端轉(zhuǎn)角θC=θH，梁DI兩端轉(zhuǎn)角θD=θI；假定半剛性節(jié)點的轉(zhuǎn)動剛度為R1，R2，節(jié)點內(nèi)彎矩分別為MB，ME，則柱AB的B端轉(zhuǎn)角θB=θC-MB/R1，梁BG兩端轉(zhuǎn)角θB=θG=θC-MB/R1；同理，柱EF的E端轉(zhuǎn)角θE=θD-ME/R2，梁EJ兩端轉(zhuǎn)角θE=θJ=θD-ME/R2；由分析假定（9）可知，柱AB的A端轉(zhuǎn)角θA=（θC-MB/R1）θD/θC，柱EF的F端轉(zhuǎn)角θF=（θD-ME/R2）θC/θD。

引入構(gòu)件線剛度i′，則有

i′=k0L（11）

式中：k0為構(gòu)件抗彎剛度；L為構(gòu)件長度。

當(dāng)子框架屈曲時，各桿件端部的轉(zhuǎn)角位移方程可表示為

MBG=2ib1（θC-MBR1）（12）

MCH=2ib2θC（13）

MDI=2ib3θD（14）

MEJ=2ib4（θD-MER2）（15）

MBA=ic1[sii（θC-MBR1）+sij（θD-MBθDR1θC）]（16）

MCD=ic2（siiθC+sijθD）（17）

MDC=ic2（siiθD+sijθC）（18）

MEF=ic3[sii（θD-MER2）+sij（θC-MER2θCθD）]（19）

式中：ib1，ib2，ib3，ib4分別為梁b1，b2，b3，b4的線剛度；ic1，ic2，ic3分別為柱c1，c2，c3的線剛度。

由節(jié)點B的平衡條件可得

MB=MBA+MBG（20）

將式（12），（16）代入式（20），有

MB=R1θC[（siiic1+2ib1）θC+sijic1θD]R1θC+（siiic1+2ib1）θC+sijic1θD（21）

由節(jié)點C的平衡條件可得

MB+MCH+MCD=0（22）

將式（13），（17），（21）代入式（22），有

（siiR1ic1+2R1ib1+2R1ib2+2siiic1ib2+

4ib1ib2+siiR1ic2+s2iiic1ic2+2siiib1ic2）θ2C+

（sijR1ic1+2sijib2ic1+2siisijic1ic2+sijR1ic2+

2sijib1ic2）θCθD+s2ijic1ic2θ2D=0（23）

同理，由節(jié)點E的平衡條件可得

ME=MEF+MEJ（24）

將式（15），（19）代入式（25），有

ME=R2θD[（siiic3+2ib4）θD+sijic3θC]R2θD+（siiic3+2ib4）θD+sijic3θC（25）

由節(jié)點D的平衡條件可得

ME=MDI+MDC=0（26）

將式（14），（18），（25）代入式（26），有

（siiR2ic3+2R2ib4+2R2ib3+2siiib3ic3+

4ib3ib4+siiR2ic2+s2iiic2ic3+2siiib4ic2）θ2D+

（sijR2ic3+2sijic3ib3+2siisijic2ic3+sijR2ic2+

2sijib4ic2）θCθD+s2ijic2ic3θ2C=0（27）

引入框架梁對框架柱的約束系數(shù)Ki（i=1，2，3，4）及半剛性節(jié)點對框架柱的約束系數(shù)Ji（i=1，2，3，4），有

K1=ib1ic1，K2=ib2ic2，K3=ib3ic2，K4=ib4ic3（28）

J1=R1ic1，J2=R1ic2，J3=R2ic2，J4=R2ic3（29）

將式（28），（29）代入式（23），（27），有

（siiJ2+2J2K1+2J1K2+2siiK2+4K1K2+

siiJ1+s2ii+2siiK1）θ2C+（sijJ2+2sijK2+

2siisij+sijJ1+2sijK1）θCθD+s2ijθ2D=0（30）

（siiJ3+2J3K4+2J4K3+2siiK3+4K3K4+

siiJ4+s2ii+2siiK4）θ2D+（sijJ3+2sijK3+

2siisij+sijJ4+2sijK4）θCθD+s2ijθ2C=0（31）

式（30），（31）為只含二次項的二元二次方程組，可采用因式分解進行簡化，令

（θC+α1θD）（α2θC+α3θD）=0（32）

將式（32）代入式（30），有

α2=siiJ2+2J2K1+2J1K2+2siiK2+4K1K2+

siiJ1+s2ii+2siiK1（33）

α1α3=s2ij（34）

α1α2+α3=sijJ2+2sijK2+

2siisij+sijJ1+2sijK1（35）

同理，令

（α4θC+θD）（α5θC+α6θD）=0（36）

將式（36）代入式（31），有

α6=siiJ3+2J3K4+2J4K3+2siiK3+4K3K4+

siiJ4+s2ii+2siiK4（37）

α4α5=s2ij（38）

α4α6+α5=sijJ3+2sijK3+

2siisij+sijJ4+2sijK4（39）

聯(lián)立式（32），（36），并引入邊界條件0.5<μ<1，可得滿足條件的屈曲方程為

detα2α3

α5α6=0（40）

將計算所得α1，α2，…，α6代入式（40），有

{s2ii+2[J2K1+（J1+2K1）K2]+sii[J1+J2+

2（K1+K2）]}{s2ii+2[J4K3+（J3+2K3）K4]+

sii[J3+J4+2（K3+K4）]}-14s2ij[2sii+J1+J2+

2（K1+K2）+[J21+2J1（J2+2K1-2K2）+（J2-

2K1+2K2）2]1/2[2sii+J3+J4+2（K3+K4）+

[J23+2J3（J4+2K3-2K4）+（J4-2K3+

2K4）2]1/2=0（41）

將式（9），（10）代入式（41），即可得到關(guān)于柱計算長度系數(shù)μ的計算公式。4柱計算長度系數(shù)的簡化計算公式

對于梁、柱剛接無側(cè)移多層多跨框架柱，各國較為通用的實用柱計算長度系數(shù)公式為[8]

μ=0.64K1K2+1.4（K1+K2）+31.28K1K2+2（K1+K2）+3（42）

柱計算長度系數(shù)公式最早于1966年被法國鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范所采用[12]。1978年，歐洲鋼結(jié)構(gòu)協(xié)會將其列入了歐洲鋼結(jié)構(gòu)規(guī)范。Dumonteil[13]指出該公式不僅足夠精確，而且便于電算。中國規(guī)范[14]也將該公式作為確定框架柱計算長度系數(shù)的推薦公式。

對于無側(cè)移半剛性連接箱式模塊化子框架，當(dāng)半剛性連接轉(zhuǎn)動剛度很大時，可認(rèn)為節(jié)點剛接，此時柱的計算長度系數(shù)可采用式（42）計算，其中

K1=ib1+ib2ic1+ic2（43）

K2=ib3+ib4ic2+ic3（44）

式（43），（44）為無側(cè)移半剛性連接箱式模塊化框架柱的邊界條件，當(dāng)半剛性連接轉(zhuǎn)動剛度R1，R2足夠大時，無側(cè)移半剛性連接箱式模塊化框架柱計算長度系數(shù)的簡化計算公式應(yīng)該能回歸到式（42）的形式。

根據(jù)上述分析，無側(cè)移半剛性連接箱式模塊化框架柱計算長度系數(shù)的簡化計算公式如下

μ=0.64K′1K′2+1.4（K′1+K′2）+31.28K′1K′2+2（K′1+K′2）+3（45）

K′1=J2K1+（J1+α）K2J2+J1+α（46）

K′2=J3K4+（J4+α）K3J3+J4+α（47）

式中：K′1，K′2均為修正的柱端約束參數(shù)；α為待定常數(shù)。

當(dāng)半剛性連接轉(zhuǎn)動剛度R1，R2足夠大時，可認(rèn)為節(jié)點剛接，此時R1，R2為等階無窮大，式（46），（47）可退化為式（43），（44）。

通過式（41）得到的柱計算長度系數(shù)方程為超越方程，可通過數(shù)學(xué)軟件求出其數(shù)值解；通過實用柱計算長度系數(shù)公式求得的柱計算長度系數(shù)為μ′，采用最小二乘法，使得μ′與μ相對誤差最小，可求得待定常數(shù)α的取值為0.2。針對幾種常見Ki，Ji（i=1，2，3，4）值，μ，μ′及其相對誤差見表1。實用柱計算長度系數(shù)公式所得值與理論公式所得值相對誤差均值為-1.19%。表1柱計算長度系數(shù)的理論值、實用公式值與有限元值對比

Tab.1Comparison of Effective Length Factors of Columns Between Theoretical Results， Simplified Formulas

Results and Finite Element Results編號影響因素K1K2K3K4J1J2J3J4μμ′μ″μ′-μμ/%μ″-μμ/%10.20.60.60.60.750.750.750.750.861 80.855 40.819 8-0.740 8-4.870 720.40.60.80.20.504.005.002.000.880 60.877 30.842 1-0.370 0-4.376 030.60.40.81.04.000.250.753.000.834 20.836 70.799 70.296 6-4.138 5 40.80.40.62.03.002.005.001.000.774 50.774 50.723 0-0.001 7-6.644 0 51.00.41.50.22.005.001.004.000.781 60.775 70.733 9-0.758 5-6.099 7 61.50.41.00.65.001.004.000.250.839 60.836 30.810 7-0.394 7-3.447 3 72.00.81.52.50.502.000.750.250.711 10.698 80.676 6-1.734 2-4.847 482.50.42.02.50.250.753.002.000.736 40.693 60.735 7-5.818 4-0.088 9注：μ″為有限元模型所得柱計算長度系數(shù)。5柱計算長度系數(shù)的數(shù)值驗證

為驗證無側(cè)移半剛性連接箱式模塊化框架柱穩(wěn)定分析的正確性，采用有限元分析軟件SAP2000建立如圖4（a）所示的5層框架模型，層高為3 m，長邊方向跨度為6 m，短邊方向跨度為2.4 m，梁、柱最大劃分長度為0.1 m。梁采用槽鋼截面，柱采用方鋼管截面，底部柱腳剛接。文獻[7]在梁、柱半剛性連接無側(cè)移框架柱的計算長度系數(shù)推導(dǎo)中考慮了半剛性節(jié)點的非線性彎矩轉(zhuǎn)角關(guān)系模型，指出豎向荷載作用下節(jié)點內(nèi)部可能已經(jīng)存在較大轉(zhuǎn)角，使得半剛性節(jié)點的實際剛度小于初始剛度。對于模塊化鋼框架，在豎向荷載作用下，上下相鄰模塊間的相對轉(zhuǎn)角很小，半剛性連接內(nèi)的彎矩可忽略不計，故本文直接采用半剛性節(jié)點的初始剛度進行計算。模塊間連接采用線性彈簧模擬，約束彈簧X，Y，Z方向的平動自由度以及彈簧X，Y方向的轉(zhuǎn)動剛度按實際連接節(jié)點的初始剛度取值。毛磊[15]針對一種常用的模塊箱體連接節(jié)點進行了節(jié)點試驗，得到該種節(jié)點的初始轉(zhuǎn)動剛度為4 930 kN·m·rad-1，有限元模型中按照該值進行計算。約束框架頂層柱柱頂節(jié)點沿X，Y方向的轉(zhuǎn)動自由度與平動自由度，約束框架底層柱柱底節(jié)點沿X，Y方向的轉(zhuǎn)動自由度與沿X，Y，Z方向的平動自由度，使得整個框架的屈曲主要集中在中間3層。為模擬無側(cè)移條件，約束各梁、柱節(jié)點沿X，Y方向的平動自由度。在框架頂層柱頂端施加單位豎向荷載，對框架進行特征值屈曲分析，分析時剛度采用零初始條件零預(yù)應(yīng)力狀態(tài)，特征值收斂容差為1×10-9。

模型屈曲變形如圖4（b）所示。從圖4（b）可見，框架的1階屈曲模態(tài)與理論推導(dǎo)中所假設(shè)的子框架變形模態(tài)基本一致，且符合理論推導(dǎo)中的各分析假定。由有限元軟件所得柱計算長度系數(shù)μ″及其與μ的相對誤差見表1。有限元模型所得結(jié)果與理論公式所得結(jié)果的相對誤差均值為-4.31%。

圖4有限元模型及其屈曲變形

Fig.4Finite Element Model and Its Buckling Deformation從圖4和表1可以看出，各柱實際變形與理論假設(shè)并不完全一致，且有限元模型所得柱計算長度系數(shù)較理論值普遍偏小，這是由于理論計算采用的子框架模型假設(shè)各柱變形曲線相似，同時整個分析模型上下完全對稱。有限元模型中框架頂層、底層柱遠(yuǎn)端約束，且頂柱、底柱約束并不完全相同，這導(dǎo)致了整個模型并非完全上下對稱，各柱實際變形與理論假設(shè)并不完全一致，使得理論計算模型中假定的框架邊界約束條件弱于有限元模型。6柱計算長度系數(shù)的影響因素

通過定性分析可知，框架柱計算長度系數(shù)除了受到半剛性節(jié)點對柱約束系數(shù)J1，J2，J3，J4的影響以外，還受到框架梁對框架柱約束系數(shù)比值K1/K2，K4/K3的影響。當(dāng)K1/K2，K4/K3均為1時，子框架各柱的柱端約束系數(shù)相同，此時子框架屈曲時各柱的柱端轉(zhuǎn)角相同，半剛性節(jié)點內(nèi)的彎矩為0，此時柱計算長度系數(shù)不隨半剛性連接節(jié)點剛度變化而改變，其簡化計算公式（45）很好地反映了這一特性。通常無側(cè)移半剛性連接箱式模塊化框架中K1/K2，K4/K3并不為1，此時節(jié)點轉(zhuǎn)動剛度將會對柱的計算長度系數(shù)產(chǎn)生影響。

由子框架的對稱性可知，K4/K3對柱計算長度系數(shù)的影響與K1/K2完全相同，故假設(shè)J1=J2=J3=J4，K1=K3=K4=1，僅改變J1及K2，以研究在不同K1/K2取值情況下J1對框架柱計算長度系數(shù)μ的影響，所得結(jié)果如圖5所示。

圖5不同K1/K2情況下μ隨J1的變化曲線

Fig.5μJ1 Curves Under Different K1/K2 Cases從圖5可知：

（1）當(dāng)K1/K2=1時，柱計算長度系數(shù)μ不隨J1的變化而變化，這與定性分析結(jié)果一致。

（2）當(dāng)K1/K2<1時，柱計算長度系數(shù)μ隨J1的變大而變大并逐漸趨于穩(wěn)定。這是由于當(dāng)K1/K2<1時，節(jié)點對柱c2的彎矩方向與柱c2變形方向相同，該彎矩使柱c2的臨界荷載變小，μ值增大，且該彎矩隨節(jié)點轉(zhuǎn)動剛度的增大而逐漸增大。反之，當(dāng)K1/K2>1時，μ隨J1的變大而變小并逐漸趨于穩(wěn)定。

（3）目前在模塊化建筑的設(shè)計中常忽略模塊間連接節(jié)點的轉(zhuǎn)動剛度，將其按照鉸接節(jié)點計算，這種方法可能導(dǎo)致柱計算長度系數(shù)偏小，從而高估柱的穩(wěn)定承載力。7結(jié)語

（1）無側(cè)移半剛性連接箱式模塊化框架與普通鋼框架及梁、柱半剛性連接鋼框架有較大差別，針對無側(cè)移半剛性連接箱式模塊化鋼框架的穩(wěn)定計算不能直接套用傳統(tǒng)的計算方法，而應(yīng)采用本文提出的方法進行計算。

（2）本文提出的實用柱計算長度系數(shù)公式與理論解擬合精度較高，能夠較好地替代理論計算方法，簡化無側(cè)移半剛性連接箱式模塊化框架柱的穩(wěn)定計算過程。

（3）有限元模型所得計算長度系數(shù)較理論值普遍偏小， 這是由于有限元模型中子框架頂層、底層柱遠(yuǎn)端約束與分析模型并不完全相同導(dǎo)致的。有限元模型所得柱計算長度系數(shù)與理論解的相對誤差均值為-4.31% ，在合理范圍內(nèi)，證明了理論分析的正確性。

（4）柱計算長度系數(shù)除了受到半剛性節(jié)點剛度變化影響外，還受到上下相鄰模塊框架梁對框架柱約束系數(shù)比值K1/K2，K4/K3的影響；設(shè)計中若忽略模塊間連接節(jié)點的轉(zhuǎn)動剛度，將其按照鉸接節(jié)點計算可能會導(dǎo)致柱計算長度系數(shù)偏小，從而高估柱的穩(wěn)定承載力。參考文獻：

References：[1]DOUGLAS A B L，SANDBANK H.A History of Prefabrication[M].New York：Arno Press，1972.

[2]CHEN W F，LUI E M.Stability Design of Steel Frames[M].Boca Raton：CRC Press，1991.

[3]陳紹蕃.鋼結(jié)構(gòu)穩(wěn)定設(shè)計指南[M].2版.北京：中國建筑工業(yè)出版社，2004.

CHEN Shaofan.Guide for Stability Design of Steel Structures[M].2nd ed.Beijing：China Architechture & Building Press，2004.

[4]AISC.Manual of Steel Constructionload and Resistance Factor Design[M].3rd ed.Chicago：AISC，1994.

[5]HELLESLAND J，BJORHOVDE R.Restraint Demand Factors and Effective Lengths of Braced Columns[J].Journal of Structural Engineering，1996，122（10）：12161224.

[6]WHITE D W，HAJJAR J F.Buckling Models and Stability Design of Steel Frames：A Unified Approach[J].Journal of Constructional Steel Research，1997，42（3）：171207.

[7]KISHI N，CHEN W F，GOTO Y，et al.Effective Length Factor of Columns in Flexibly Jointed and Braced Frames[J].Journal of Constructional Steel Research，1998，47（1）：93118.

[8]陳驥.鋼結(jié)構(gòu)穩(wěn)定理論與設(shè)計[M].2版.北京：科學(xué)出版社，2003.

CHEN Ji.Stability of Steel Structures Theory and Design[M].2nd ed.Beijing：Science Press，2003.

[9]李國強，王靜峰.無側(cè)移半剛性連接組合框架的穩(wěn)定分析：（Ⅱ）連接轉(zhuǎn)動剛度和算例分析[J].力學(xué)季刊，2006，27（4）：628634.

LI Guoqiang，WANG Jingfeng.Stability Analysis for Nonsway Composite Frames with Semirigid Joints — Part 2 Connection Rotation Stiffness and Examples Analysis[J].Chinese Quarterly of Mechanics，2006，27（4）：628634.

[10]王靜峰，李國強.無側(cè)移半剛性連接組合框架的穩(wěn)定分析：（Ⅰ）柱的有效長度系數(shù)方程[J].力學(xué)季刊，2006，27（3）：481488.

WANG Jingfeng，LI Guoqiang.Stability Analysis for Nonsway Composite Frames with Semirigid Joints：Part Ⅰ.Equation of Column Effective Length Factor[J].Chinese Quarterly of Mechanics，2006，27（3）：481488.

[11]GB 50017—2003，鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范[S].

GB 50017—2003，Code for Design of Steel Structures[S].

[12]HELLESLAND J.Review and Evaluation of Effective Length Formulas[R].Oslo：University of Oslo，1994.

[13]DUMONTEIL P.Simple Equations for Effective Length Factors[J].Engineering Journal，1992，29（3）：111115.

[14]JGJ 99—98，高層民用建筑鋼結(jié)構(gòu)技術(shù)規(guī)程[S].

JGJ 99—98，Technical Specification for Steel Strucure of Tall Buildings.

[15]毛磊.箱式建筑箱體拼接節(jié)點受力性能研究[D].上海：同濟大學(xué)，2015.

MAO Lei.Research on Joint Mechanical Behavior of Container Architecture[D].Shanghai：Tongji University，2015.