□徐周鈺

高中數(shù)學(xué)“錯題”的教育功能研究

□徐周鈺

隨著教學(xué)制度改革，教學(xué)內(nèi)容主要從以前的課本知識逐漸轉(zhuǎn)變?yōu)檠芯啃詫W(xué)習(xí)。尤其是高中數(shù)學(xué)教學(xué)對于學(xué)生的研究性要求很高，高中數(shù)學(xué)常會出現(xiàn)資料“錯題”，學(xué)生經(jīng)過學(xué)習(xí)找出這些錯題，便可從中考驗自己的數(shù)學(xué)知識掌握程度，體現(xiàn)出自己的研究精神。“錯題”對于老師和學(xué)生都是一種考驗，如何在學(xué)習(xí)過程中辨別這些“錯題”，針對這些錯題應(yīng)該從中總結(jié)出怎樣的經(jīng)驗將成為學(xué)生和教師學(xué)習(xí)的重點。文章針對高中數(shù)學(xué)“錯題”的相關(guān)情況進(jìn)行研究，為促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)、研究提供一些幫助。

錯題；高中數(shù)學(xué)；教育功能

為了適應(yīng)當(dāng)前教育改革的要求，教師在教學(xué)過程中不得不轉(zhuǎn)變角色，從以前的以“講”為主教學(xué)逐漸變?yōu)橐詫W(xué)生“學(xué)”為主體教學(xué)，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中應(yīng)投入更多研究，主要實現(xiàn)掌握學(xué)習(xí)方法，然后自己從事學(xué)習(xí)研究。由于教學(xué)模式的轉(zhuǎn)變，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中發(fā)揮的作用越來越大，高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中經(jīng)常會遇到一些資料上出現(xiàn)“錯題”的情況，如何識別這些錯題，并且從中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識將是檢驗學(xué)生學(xué)習(xí)水平的最好工具。因此，學(xué)生只有學(xué)習(xí)到一定程度，才能夠發(fā)現(xiàn)高中數(shù)學(xué)資料上的“錯題”，否則，就會跟著資料錯下去。下面將針對高中數(shù)學(xué)中的“錯題”教學(xué)作用和功能進(jìn)行分析，指出學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中發(fā)現(xiàn)錯題的重要性。

一、“錯題”在數(shù)學(xué)發(fā)展中的積極作用

錯題在數(shù)學(xué)發(fā)展史上給數(shù)學(xué)教學(xué)造成了很多阻礙，課堂上的錯題在教學(xué)中具有很高的借鑒價值和教學(xué)指導(dǎo)作用。數(shù)學(xué)家遇到的錯題對于其研究具有很好的指導(dǎo)作用，同時也為數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)新東西提供了研究對象。比如，費(fèi)馬為了找出素數(shù)的表達(dá)式，他提出了 Fn=22+1，當(dāng)n= 0，1，2，3，4…時，它們均為素數(shù)。于是便提出結(jié)論：當(dāng)n為任何非負(fù)整數(shù)時，用表達(dá)式Fn=22+1可以表示素數(shù)。

對于上述命題，很多數(shù)學(xué)家都投入過大量研究，表明該題屬于錯誤命題。當(dāng)n=5時，上式子中的值并不是素數(shù)，從而推翻了費(fèi)馬的猜想。縱觀數(shù)學(xué)發(fā)展史，其實就是從一個“錯題”到另外一個“錯題”的發(fā)展歷史，在不斷論證過程中實現(xiàn)數(shù)學(xué)的教與學(xué)，當(dāng)然也有一些科學(xué)家在“錯題”中不斷進(jìn)步，努力尋求真理，為數(shù)學(xué)發(fā)展做出了突出貢獻(xiàn)。

二、“錯題”在高中數(shù)學(xué)中的作用

1.可以加深學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)和理解

在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師可以為學(xué)生設(shè)置缺漏、創(chuàng)新疑點，通過學(xué)生自己鉆研探索和鞏固新知識。從“錯題”教學(xué)中，讓學(xué)生學(xué)會思考問題，積極培養(yǎng)他們的自主學(xué)習(xí)能力，為其今后的學(xué)習(xí)和研究打下基礎(chǔ)。

錯題1：已知f（sinx）=sin2x，則f（cosx）等于：（ ）

A.sin2x B.-sin2x C.±sin2x D.cos2x

針對這個錯題，一個學(xué)生使用兩種方法進(jìn)行解題，最后呈現(xiàn)出不同的答案，由此說明此題為錯題。

在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)此類錯誤時，教師就可在課堂上讓學(xué)生自己進(jìn)行研究，結(jié)果發(fā)現(xiàn)確實存在著兩個不同的答案，很顯然這種題目不正確，經(jīng)過不同解法取得的結(jié)果也應(yīng)該是一致的。錯題一般都具有一定的隱蔽性，通過學(xué)生自己尋找結(jié)果，這比教師直接告知結(jié)果效果要好。學(xué)生通過研究可以加深對題目的記憶和理解，有利于他們在學(xué)習(xí)過程中不斷開發(fā)自己的創(chuàng)新鉆研意識。

2.可以完善學(xué)生的認(rèn)知

數(shù)學(xué)教學(xué)尤其是新知識教學(xué)，教師需要根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)出錯規(guī)律來評估他們的學(xué)習(xí)知識點在什么位置，在學(xué)習(xí)中找出薄弱點，通過對“錯題”的分析和研究，使學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中實現(xiàn)知識的整合。

錯題2：曲線C：y2-4x2=1，試求斜率為2的直線與曲線C相交軌跡的中點。

假設(shè)：與曲線交于A、B兩點，其中A（x1，y1），B（x2，y2），終點為P（x，y）。一些學(xué)生解題時，設(shè)A、B在曲線C上，因此可以得出關(guān)系式子：y1-4x12=1…（1）；y2-由（1）-（2）得出從題意來看，直線斜率為2，即k=2；（x1+x2）/2=x；（y1+ y2）/2=y。根據(jù)計算，得出的相交軌跡為直線y=2x。但是采用另外一種解法則會出現(xiàn)不同的結(jié)果。通過列方程組求解，利用根與系數(shù)之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)斜率為2的支線與C曲線只有一個交點，沒有2個交點，說明此題其實是一個錯題。很多人利用中點弦求解都采用點差法，但卻忽略了一個問題，即對于題目的自身考慮，對于圖形結(jié)構(gòu)認(rèn)知不到位而出現(xiàn)差錯。

3.有利于培養(yǎng)學(xué)生的質(zhì)疑精神

學(xué)生在求知階段通過發(fā)現(xiàn)資料錯誤并進(jìn)行矯正，可以加深對知識本質(zhì)屬性的理解，弄清楚一些比較容易混淆的知識點，聯(lián)系知識點的本質(zhì)區(qū)別，使學(xué)生可以正確理解和掌握知識。很多學(xué)生對于高考題深信不疑，認(rèn)為高考題是不可能出現(xiàn)差錯的，但是實際情況卻并非如此。實踐證明，如果教師能夠根據(jù)學(xué)生學(xué)習(xí)的知識，然后結(jié)合高考數(shù)學(xué)中出現(xiàn)的有爭議的“錯題”進(jìn)行教學(xué)，常常會收到意想不到的效果。

例如，錯題3：已知數(shù)列Sn的｛an｝為前n項和，且試求｛an｝的通項公式，并證明數(shù)列｛an｝為等差或者等比數(shù)列。當(dāng)n≥2時，（an-1+1）2，可以得出（an-1）2=（an-1+1）2。即可以得出anan-1=2或者an=-an-1（n≥2）；當(dāng)an-an-1=2時，數(shù)列｛an｝為等差數(shù)列，且公差d=2，由以及S1=a1，得出a1=1。故，an=2n-1（n∈N*）；當(dāng)an=-an-1時，數(shù)列｛an｝成等比數(shù)列，且公比q=-1，因此得出an=（-1）n-1（n∈N*）。從上述解題來看，仔細(xì)一看存在著問題，通過列舉反例：a1=1，a2=-1，a3-a2=2，a4-a3=2，……因此，滿足條件的數(shù)列有很多，這道題目屬于錯題，如果讓這道題目變成正確題，就應(yīng)添加條件：an＞0。由此可見，通過錯題可以使學(xué)生加深對數(shù)列的認(rèn)識和理解，可以有效診治學(xué)生的數(shù)學(xué)思維頑疾，并增強(qiáng)其綜合運(yùn)用能力。

“錯題”不僅是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的難點問題，更是遺留給教育學(xué)者研究的寶貴財富。高中數(shù)學(xué)教學(xué)中通過“錯題”教學(xué)可以有效提升學(xué)生的各方面能力，對于整合學(xué)生的知識構(gòu)架具有非常重要的作用。學(xué)生發(fā)現(xiàn)“錯題”、解決“錯題”不僅是一種學(xué)習(xí)能力的體現(xiàn)，也是其學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)之后對于知識的綜合利用。本文針對“錯題”教學(xué)的功能研究，分析了其在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要作用，以案例方式向讀者呈現(xiàn)高中數(shù)學(xué)教學(xué)“錯題”以及提出解決方案。

[1]蘇春蓉.試論高中生數(shù)學(xué)錯題管理能力培養(yǎng)策略的實施[J].理科考試研究,2016,(1):25.

[2]沈愛華.探析高中數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生解題能力的培養(yǎng)[J].語數(shù)外學(xué)習(xí)(數(shù)學(xué)教育),2013,(12):167.

[3]施小山.高中數(shù)學(xué)解題失誤的分析及策略探究[J].語數(shù)外學(xué)習(xí)(高中數(shù)學(xué)教學(xué)),2014,(7):41.

[4]劉娜.淺論高中數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生解題能力的培養(yǎng)[J].新課程(中旬),2012,(10):101-102.

[5]戴偉平.如何做好高中數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)的策略探究[J].中學(xué)生數(shù)理化(學(xué)研版),2015,(3):76.

（編輯：朱澤玲）

G633.6

A

1671-0568（2016）36-0049-02

徐周鈺，江西省南昌市灣里區(qū)第一中學(xué)教師,校團(tuán)委書記。