王立冬，王　翔，劉　恒

(1.大連民族大學(xué) a理學(xué)院；b環(huán)境與資源學(xué)院，遼寧 大連116605；

2.大連理工大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，遼寧 大連 116024)

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漸近平均偽軌跟蹤性質(zhì)、弱specification性質(zhì)和分布混沌

王立冬1a,2，王翔1b,2，劉恒1a,2

(1.大連民族大學(xué) a理學(xué)院；b環(huán)境與資源學(xué)院，遼寧 大連116605；

2.大連理工大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，遼寧 大連 116024)

摘要：證明了有漸近平均偽軌跟蹤性質(zhì)的非平凡緊致動(dòng)力系統(tǒng)具有一致分布混沌或者按序列分布混沌。此外，在具有漸近平均偽軌跟蹤性質(zhì)系統(tǒng)中的分布混沌在測(cè)度中心是一致和稠密的，即有一個(gè)不可數(shù)的一致分布混沌集是由這樣的點(diǎn)組成，它們的軌道閉包包含測(cè)度中心。作為一個(gè)推論，具有弱specification性質(zhì)的系統(tǒng)也有類似的結(jié)果。

關(guān)鍵詞：漸近平均偽軌跟蹤；弱specification性質(zhì)；分布混沌；按序列分布混沌

最近，在具有specification性系統(tǒng)中的分布混沌已被深入研究[1-5]。最新的一個(gè)成果是，具有Specification性的系統(tǒng)一定具有一致稠密的分布混沌，且若它有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，可表現(xiàn)出稠密不變的一致分布混沌[5]。

既然弱specification性和AASP都比specification性質(zhì)弱，那么就有這樣一個(gè)問題：它們中任何一個(gè)是否具有分布混沌？盡管文獻(xiàn)[6]中證明了具有AASP和兩個(gè)周期點(diǎn)的系統(tǒng)一定具有李約克混沌，但距離這個(gè)問題的答案還很遠(yuǎn)。

本文對(duì)這個(gè)問題做出了正面的解答，帶有AASP(或者弱specification性質(zhì))的非平凡系統(tǒng)如果有兩個(gè)弱周期點(diǎn)，則具有一致分布混沌。

1預(yù)備知識(shí)

設(shè)(X,d)是一個(gè)至少有兩個(gè)點(diǎn)的緊致度量空間。f:X→X是連續(xù)映射。

f的測(cè)度中心記為M(f), 是所有不變測(cè)度的所有支撐集并的閉包。易知，X-M(f)對(duì)任何不變測(cè)度都是零測(cè)度集。如果對(duì)于任意ε>0 存在正整數(shù)M使得對(duì)所有n≥1,#{i;0≤i

0=j1≤k1

存在點(diǎn)z∈X 使得下列條件成立：

(1)d(fi(z),fi(ym))<δ 對(duì)于所有m≤s以及i,(jm≤i≤km) 成立；

(2)fn(z)=z, n=ks+Nδ;

就稱f有specification性。

定義2[8-9]如果S?X 包含至少兩個(gè)點(diǎn)，對(duì)于任意x,y∈S 且x≠y 時(shí)滿足：

就稱S 是一個(gè)分布混沌集。如果f有一個(gè)不可數(shù)分布混沌集，稱f分布混沌。

2漸近平均偽軌跟蹤的非平凡系統(tǒng)

本節(jié)證明如果一個(gè)具有AASP的非平凡系統(tǒng)(或者弱specification性)有至少兩個(gè)幾乎周期點(diǎn)，那么它具有一致分布混沌，否則它具有按序列的分布混沌。

由引理1， 存在稠密度為零的集合J1,J2?+滿足當(dāng)m?J1時(shí)并且當(dāng)m?J2時(shí)。

令J=J1∪J2，則J也是稠密度為零的集合，這樣對(duì)于m?J都有

對(duì)所有滿足tni≤m

=1。

假設(shè)i足夠大且滿足tki≥K則對(duì)于滿足tki≤m

因此

對(duì)所有滿足tki≤m

=0。

因此，對(duì)所有

推論1假設(shè)f有弱specification性并且有一個(gè)具有全支撐集的不變測(cè)度，那么f具有傳遞一致分布混沌。

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[11]WALTERSP.AnIntroductiontoErgodicTheory[M].NewYork:Springer-verlag, 2000: 43.

(責(zé)任編輯鄒永紅)

Asymptotic average shadowing property, almost

specification property and distributional chaos

WANG Li-dong1,2,WANG Xiang2,3,LIU Heng1,2

(1.School of Science, Dalian Minzu University, Dalian Liaoning 116605, China;

2.School of Mathematical Science, Dalian University of Technology, Dalian Liaoning 116024, China;

3. School of Environment and Resource, Dalian Minzu University, Dalian Liaoning 116605, China;)

Abstract:It is proved that a non-trivial compact dynamical system with asymptotic average shadowing property displays uniformly distributional chaos or distributional chaos in a sequence. Moreover, distributional chaos in a system with asymptotic average shadowing property can be uniform and dense in the measure center, that is, there is an uncountable uniformly distributionally scrambled set consisting of such points that the orbit closure of every point contains the measure center. As a corollary, the similar results hold for the system with almost specification property.

Key words:asymptotic average shadowing property; almost specification property; distributional chaos; distributional chaos in a sequence

中圖分類號(hào)：O189

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：2096-1383(2016)01-0043-04

作者簡介：王立冬(1955-)，男，吉林德惠人，教授，博士，學(xué)校特聘教授，博士生導(dǎo)師，主要從事拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)研究。

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué) (11271061)；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金資助項(xiàng)目(DC201502050201)。

收稿日期：2015-11-19；最后修回日期：2015-11-27