耿　杰, 宋衛(wèi)東

(1.安徽工程大學(xué)機電學(xué)院, 安徽 蕪湖 241000; 2.安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)計算機科學(xué)學(xué)院, 安徽 蕪湖 241000)

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一類具有常旗曲率射影平坦的 Finsler 度量的構(gòu)造

耿杰1, 宋衛(wèi)東2

(1.安徽工程大學(xué)機電學(xué)院, 安徽 蕪湖 241000; 2.安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)計算機科學(xué)學(xué)院, 安徽 蕪湖 241000)

摘要：本文應(yīng)用 Hamel 定理構(gòu)造了一類具有常旗曲率射影平坦的 Finsler 度量, 推廣了沈忠民在文獻 [3] 中的其中一個結(jié)論.

關(guān)鍵詞：射影平坦；常旗曲率；Finsler度量；Minkowski范數(shù)

1引言及主要結(jié)論

由于有著廣泛的應(yīng)用背景,Finsler幾何越來越引起人們的關(guān)注,并取得了許多重要的成果.Finsler幾何中的一個基本問題是研究在開區(qū)域U?Rn中射影平坦的特征.Finsler度量在U上射影平坦是指其測地線為直線,這是Hilbert第四問題的一般情形[1].1903年,Hamel[2]證明了Finsler度量F=F(x,y)在U上是局部射影平坦的充要條件為

Fxkylyk=Fxl

(1)

Beltrami定理表明一個Riemann度量是局部射影平坦的當且僅當它具有常截面曲率.Finsler幾何中的旗曲率是Riemann幾何中截面曲率的自然拓廣.給定流形M上的一個芬斯勒度量F,旗曲率是切平面P和P中方向y的函數(shù)K=K(P,y).旗曲率只是切叢上的標量函數(shù)K=K(x,y),若K為常數(shù),則稱F具有常數(shù)旗曲率.芬斯勒幾何中的一個重要問題是研究和刻劃具有標量(常數(shù))旗曲率的芬斯勒度量,這也是芬斯勒幾何學(xué)家十分關(guān)注的一個熱點問題.

1929年,L.Berwald給出了這樣的一個定理:對于任意具有常旗曲率λ的射影平坦Finsler度量,那么函數(shù)

(2)

一定滿足條件

fxk=ffyk

(3)

其中P(x,y)為射影因子,F(x,y)為射影平坦;反之,則不真.

但是沈忠民在文獻[3]中證明了:當λ=1時,上述定理的逆命題是成立的,即如果存在函數(shù)

f(x,y)=P(x,y)+iF(x,y)

滿足條件

fxk=ffyk,

那么F(x,y)一定是具有常旗曲率為1的射影平坦Finsler度量,且P(x,y)為射影因子.

同時在文獻[3]中沈忠民給出了這樣的一個定理:

設(shè)H(x,y)=P(x,y)+iF(x,y),P(0,y)=φ(y),F(0,y)=ψ(y),如果函數(shù)H(x,y)滿足Hxk=HHyk,則F(x,y)為射影平坦Finsler度量,且F(x,y)為旗曲率為1,P(x,y)為射影因子.

在文獻[3]中沈忠民對H(x,y)的構(gòu)造作出了規(guī)定,即

H(x,y)=Φ(y+H(x,y)x),

(4)

其中Φ(y)=φ(y)+iψ(y),可以證明H(x,y)滿足Hxk=HHyk.

且在文獻[3]中沈忠民給出了一個具體滿足條件的例子.

本文推廣了文獻[3]中的條件,得到了相關(guān)的結(jié)論,并給出了詳細的推導(dǎo)過程.

其中

分別表示為射影因子和具有常旗曲率為1的射影平坦Finsler度量,且P(0,y)=φ(y),F(0,y)=ψ(y).式中的A,B,C,D,C′表示如下:

A=[(1+λ)|y|2cos(2α)+(1+λ)2|x|2|y|2-(1+λ)22]2+[(1+λ)|y|2sin(2α)]2,

B=(1+λ)|y|2cos(2α)+(1+λ)2|x|2|y|2-(1+λ)22,C=(1+λ)sin(2α),

C′=[cos(2α)+(1+λ)|x|2](1+λ),D=(1+λ)|x|4+(1+λ)|x|2cos(2α)+1.

注:當λ=0時,該定理就是文獻[3]中的結(jié)果.

2定理的證明

首先,我們有

(5)

令

(6)

得Φ(y)=φ(y)+iψ(y)=

(7)

所以根據(jù)式(4)得到

H(x,y)=Φ(y+H(x,y)x)=

(8)

對式(8)兩邊同時平方,化簡得

[ei2α+(1+λ)|x|2]H2(x,y)+2(1+λ)H(x,y)+(1+λ)|y|2=0.

(9)

由求根公式得

(10)

下面根據(jù)式(5)來求

的實部和虛部.

(11)

根據(jù)式(5)得

(12)

其中

A=[(1+λ)|y|2cos(2α)+(1+λ)2|x|2|y|2-(1+λ)22]2+[(1+λ)|y|2sin(2α)]2,

B=(1+λ)|y|2cos(2α)+(1+λ)2|x|2|y|2-(1+λ)22.

(13)

所以由式(10)(12)得到

(15)

令

D=(1+λ)|x|4+(1+λ)2|x|2cos(2α)+1.

即式(15)可簡化為

(16)

其次對式(16)通過化簡可轉(zhuǎn)化為

H(x,y)=P(x,y)+iF(x,y).

其中:

(17)

(18)

令

C=(1+λ)sin(2α),

C′=[cos(2α)+(1+λ)|x|2](1+λ).

所以得

(19)

(20)

在式(19)中

(21)

最后由式(19)(21)可以得到

(22)

所以即得

(23)

同理可以得到

(24)

參考文獻:

[1] HILBERT D. Mathematical Problems[J]. Bull Amer Math Soc,1902,8(10):437-479.

[2] HAMEL G. Uber die Geometrieen in denen die Geraden die Kürzesten sind[J]. Mathematische Annalen, 1903,57(2):231-264.

[3] SHEN Z. Projectively flat Finsler metrics of constant flag curvature[J]. Trans Amer Math Soc，2003，325:1713-1728.

[4] CHERN S S,SHEN Z.Riemann-Finsler Geometry[M]. Singapore:World Scientific,2005.

[5] 莫小歡.黎曼-芬斯勒幾何基礎(chǔ)[M].北京:北京大學(xué)出版社,2007.

[6] CHENG Y, SHEN Z. Finsler Geometry[M]. Beijing:Science Press,2012.

第15卷第1期2016年1月杭州師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)JournalofHangzhouNormalUniversity(NaturalScienceEdition)Vol.15No.1Jan.2016

A New Class of Projectively Flat Finsler Metrics with Constant Flag Curvature

GENG Jie1, SONG Weidong2

(1.Anhui Polytechnic University, Mechanical &Electrical College, Wuhu 241000, China; 2.College of

Mathematics and Computer Science, Anhui Normal University, Wuhu 241000, China)

Abstract:This paper constructs a class of projectively flat Finsler metric with constant flag curvature by Hamel theorem, and promotes a conclusion of Shen Zhongmin in the literature [3].

Key words:projectively flat; constant flag curvature; Finsler metric; Minkowski norm

文章編號:1674-232X(2016)01-0071-04

中圖分類號:O186MSC2010：53C60, 53A20

文獻標志碼:A

doi:10.3969/j.issn.1674-232X.2016.01.014

通信作者：宋衛(wèi)東(1958—),男,教授,主要從事微分幾何研究.E-mail:swd56@sina.com.

基金項目：安徽省教育廳自然科學(xué)基金重點項目(KJ2010A125).

收稿日期：2015-04-08