李　偉，張金良

(河南科技大學 數學與統(tǒng)計學院, 河南 洛陽 471023)

?

變形Boussinesq方程組的精確解

李偉，張金良

(河南科技大學 數學與統(tǒng)計學院, 河南 洛陽 471023)

摘要：利用簡化齊次平衡方法，導出了從一個線性方程的解到變形Boussinesq方程組的解之間的非線性變換。借助于線性方程的解及非線性變換，求出了變形Boussinesq方程組的多重孤波解、有理函數解及關于空間變量的周期解等。

關鍵詞：變形Boussinesq方程組；簡化齊次平衡方法；非線性變換；多重孤波解；關于空間變量的周期解；有理函數解

0引言

本文討論如下形式的變形 Boussinesq方程組:

(1)

其中：u=u(x,t)為水平速度；H=H(x,t)為偏離液體平衡位置的高度。該方程組是一個描述色散波的模型。近年來，齊次平衡方法被廣泛用來導出非線性變換、精確解[1-6]以及自貝克隆變換[7-9]。文獻[1]用齊次平衡方法得出了變形Boussinesq方程組的單孤波解。簡化齊次平衡方法[10]的主要思想是用對數函數A(lnφ)取代原始齊次平衡方法中的待定函數f=f(φ)。本文利用該方法導出了一個線性方程的解到變形Boussinesq方程組的解之間的非線性變換，求出了變形Boussinesq方程組的多重孤波解、有理函數解及關于空間變量的周期解等。這說明利用簡化齊次平衡方法求解孤波方程可以得到更豐富的精確解。

1非線性變換

考慮方程組(1)中uux與Hx、(Hu)x與uxxx的齊次平衡 (2m+1=n+1,m+n+1=m+3?m=1,n=2)，按照簡化齊次平衡方法,可設方程組(1)的解具有下列形式：

(2)

其中：A和B為待定非零常數；φ=φ(x,t)為待定正函數。將式(2)代入方程組(1)的左端可得：

(3)

(4)

(5)

解方程組(5)得：

A=±2,B=2。

(6)

將式(6)代入式(2)得：

(7)

利用方程組(5)和式(6),式(3)和式(4)可簡化為：

(8)

(9)

只要φ=φ(x,t)滿足線性方程：

φt±φxx=0。

(10)

由式(7)~式(10)可得：若函數φ=φ(x,t)是線性方程(10)的一個解，將之代入式(7)，就可得到變形Boussinesq方程組(1)的解；式(7)與線性方程(10)一起構成了由線性方程(10)的解到變形Boussinesq方程組(1)的解之間的非線性變換，從而可借助線性方程(10)的解得到方程組(1)的解。

2變形Boussinesq 方程組的精確解

2.1　變形Boussinesq方程組的多重孤波解

為了解線性方程(10)，假設:

φ=φ(ξ)；ξ=kx+ωt+l,

(11)

其中：k,ω和l為待定常數。

將式(11)代入線性方程(10)得：

ωφ′±k2φ″=0。

(12)

解方程(12)得到如下解：

(13)

其中：k,ω和l為任意常數。

將式(13)代入式(7)得：

(14)

(15)

在文獻[1]的式(26)和式(25)中，令c=-ω/k,d=-ω2/k2,e=-ωl/k2,即可分別得到本文式(14)和式(15) (ω/k2的系數取負的情況)。

由于k,ω和l是任意常數，線性方程(10)的解具有線性可加性，可得線性方程(10)的解：

(16)

其中：ki,ωi和li為任意常數，i=1,2,…,N。

將式(16)代入式(7)得：

此解是方程組(1)的多重孤波解，在文獻[1]中沒有出現(xiàn)。

2.2　變形Boussinesq方程組的有理函數解及關于空間變量的周期解

為了得出線性方程(10)的解，假設：

(17)

其中：mi(x)為待定函數，i=0,1,…,N。

將式(17)代入線性方程(10)得：

(m1(x)±m(xù)″0(x))+(2m2(x)±m(xù)″1(x))t+…+(NmN(x)±m(xù)″N-1(x))tN-1±m(xù)″N(x)tN=0。

由于上式中1,t,…,tN線性無關,可知它們的系數為0，即:

m1(x)±m(xù)″0(x)=0，…，NmN(x)±m(xù)″N-1(x)=0； m″N(x)=0。

(18)

解方程組(18)得：

(19)

其中：aj為任意常數。

將式(17)和式(19)代入式(7)，可得方程組(1)的有理函數解：

此外，容易得出線性方程(10)有如下解：

(20)

(21)

(22)

將式(20)~式(22)分別代入式(7)得到方程組(1)的精確解為：

其中：(u4,Η4)和 (u5,Η5)為關于空間變量x的周期解； (u3、Η3)、 (u4,Η4)和 (u5,Η5)在文獻[1]中沒有出現(xiàn)。

3結論

本文運用簡化齊次平衡方法，得到了從一個線性方程的解到變形Boussinesq方程組的解之間的非線性變換。利用該非線性變換，變形Boussinesq方程組被線性化了。利用線性方程組的解，得到了變形Boussinesq方程組的多重孤波解、有理函數解及關于空間變量的周期解。本文所得到絕大部分解在文獻[1]中沒有出現(xiàn)，表明簡化齊次平衡方法是一種更簡潔高效的求解非線性發(fā)展方程精確解的方法，該方法也可用來求解其他非線性發(fā)展方程。

致謝：本文得到王明亮教授的指導，在此表示衷心感謝。

參考文獻：

[1]WANG M L.Solitary wave solutions for variant Boussinesq equations[J].Physics letters a,1995,199(3):169-172.

[2]WANG M L.Application of homogeneous balance method to exact solutions of nonlinear equation in mathematical physics[J].Physics letters a,1996,216:67-75.

[3]FAN E G.Two new applications of the homogeneous balance method[J].Physics letters a,2000,265(5):353-357.

[4]EL-WAKIL S A,ABULWAFA E M,ELHANBALY A,et al.The extended homogeneous balance method and its applications for a class of nonlinear evolution equations[J].Chaos,solitons & fractals,2007,33(5):1512-1522.

[5]ZHAO X Q,WANG L,SUN W J.The repeated homogeneous balance method and its applications to nonlinear partial differential equations[J].Chaos, solitons & fractals,2006,28(2):448-453.

[6]李向正,郝祥暉.簡化齊次平衡原則與Gerdjikov-Ivanov方程的精確解[J].河南科技大學學報(自然科學版),2015,36(1):82-85.

[7]KHALDALLAH M.Exact traveling wave solutions of the Boussinesq-Burger equation[J]. Mothematical and computer modelling,2009,49(3):666-671.

[8]ABDEL R A S,OSMAN E S, KHALFALLAH M.The homogeneous balance method and its application to the Benjamin-Bona-Mahoney (BBM) equation[J].Applied mathematics and computation,2010,217(4):1385-1390.

[9]王明亮,李志斌,周宇斌.齊次平衡原則及其應用[J].蘭州大學學報(自然科學版),1999,35(3):8-16.

[10]WANG M L,LI X Z.Simplified homogeneous balance method and its applications to the Whitham-Broer-Kaup model equations[J].Journal of applied mathematics and physics,2014,2(8):823-827.

文獻標志碼：A

中圖分類號：O175.2

DOI:10.15926/j.cnki.issn1672-6871.2016.02.019

文章編號：1672-6871(2016)02-0092-04

收稿日期：2015-12-03

作者簡介：李偉(1964-),女,河南偃師人,副教授,碩士,研究方向為非線性數學物理方程.

基金項目：國家自然科學基金項目(11171227);河南省科技攻關基金項目(132102310309)