可知性悖論及其解決方案探析
2016-02-26 00:40:50李小五
王 晶，李小五
(1.陜西師范大學(xué) 政治經(jīng)濟(jì)學(xué)院，西安 710119； 2.中山大學(xué) 邏輯與認(rèn)知研究所，廣州 510279)
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可知性悖論及其解決方案探析
王晶1，李小五2
(1.陜西師范大學(xué) 政治經(jīng)濟(jì)學(xué)院，西安710119； 2.中山大學(xué) 邏輯與認(rèn)知研究所，廣州510279)
摘要：可知性悖論是指，從反實(shí)在論接受的前提——可知性原則KP出發(fā)，能推出反實(shí)在論不能接受的結(jié)論——全知原則OMN。該悖論對(duì)反實(shí)在論提出嚴(yán)峻的挑戰(zhàn)?？芍糟Ｕ摦a(chǎn)生于Fitch-系統(tǒng)FS，其解決方案是通過弱化KP為RKP，建立推不出OMN的系統(tǒng)RKP。
關(guān)鍵詞：可知性悖論；反實(shí)在論；可知性原則；全知原則
可知性悖論又稱Fitch-悖論，自1963年F.B.Fitch(1908—1987，美國邏輯學(xué)家)提出后，受到學(xué)界的廣泛重視。具體地，可知性悖論指Fitch從反實(shí)在論的核心觀點(diǎn)“所有真命題可能是知識(shí)”(符號(hào)表示為A→◇KA)出發(fā)，推導(dǎo)出實(shí)在論的觀點(diǎn)“所有真命題是知識(shí)”(符號(hào)表示為A→KA)。此結(jié)論嚴(yán)重挑戰(zhàn)了反實(shí)在論的哲學(xué)立場，并且從“可能是知識(shí)”到“是知識(shí)”，模態(tài)詞“可能◇”消失，即A→KA的推出，對(duì)知識(shí)邏輯也提出了嚴(yán)峻的考驗(yàn)。因此，解決可知性悖論，不論對(duì)于哲學(xué)還是邏輯學(xué)都具有十分重要的意義。
一、可知性悖論的緣起
1963年，F(xiàn)itch在論文ALogicalAnalysisofSomeValueConcepts中提出定理5：
直觀表示：“存在命題A，A為真并且A不是知識(shí)”推出“存在命題A，A為真并且A不可能是知識(shí)”。該定理的等價(jià)式：
上述悖論被稱為Fitch-悖論，也被稱為可知性悖論(Knowability Paradox)[2]。Fitch曾表示，該悖論不是由匿名審稿人發(fā)現(xiàn)的。但J.Salerno在2006年仔細(xì)研究E.Nagel和A.Church來往的書信后，揭示了其確實(shí)是由匿名審稿人發(fā)現(xiàn)的。Salerno還認(rèn)為Church正是該匿名審稿人[3]。因此，不少學(xué)者也將其稱之為Church-Fitch-悖論。
(一)可知性原則KP的提出
語義反實(shí)在論(Semantic Anti-realism)作為實(shí)在論(Realism)的對(duì)立面，明確拒絕以戴維森(D.Davison，1917—2003，美國哲學(xué)家)為代表的實(shí)在論的意義理論(Meaning Theory)。并且，語義反實(shí)在論在反對(duì)意義理論的基礎(chǔ)上，形成了自己的立場和觀點(diǎn)。其中，最核心的是“真之概念受認(rèn)知上的限制”，*反實(shí)在主義者如達(dá)米特、賴特認(rèn)為語言的意義與語言共同體對(duì)相關(guān)表述的使用是直接相關(guān)的，一個(gè)語句的表達(dá)本質(zhì)上取決于它如何被使用。即，人們所描述的事態(tài)不可能原則上獨(dú)立于可能出現(xiàn)在語言共同體里的相關(guān)語境的使用。……這意味著，對(duì)于反實(shí)在論而言，真之概念是認(rèn)知上受限制的“The concept of truth is epistemically constrained”。以及“我們都是非全知者”。*“We are non-omniscient.”筆者稱其為反實(shí)在論的非全知觀點(diǎn)。代表人物有達(dá)米特(M.Dummett，1925—2011，英國哲學(xué)家)和賴特(C.Wright，1942—，英國哲學(xué)家)[4]。本文討論的反實(shí)在論正是語義反實(shí)在論。*大部分學(xué)者并不區(qū)分實(shí)在論和語義反實(shí)在論，并且在討論可知性悖論的時(shí)候也不做明確標(biāo)注。筆者認(rèn)為，出現(xiàn)這一現(xiàn)象的原因在于當(dāng)代反實(shí)在論的語義轉(zhuǎn)向。
語義反實(shí)在論從其立場和觀點(diǎn)出發(fā)，提出著名的反實(shí)在論論斷(Anti-realistic Thesis)，即“所有真命題是可知的”，簡記為ART。*關(guān)于ART，H.Rückert表達(dá)為“Every truth might possiblely be known”,B.Brogaard和J.Salerno表達(dá)為“All truths are knowable by somebody”，N.Tennant表達(dá)為“All truth are knowable”。表達(dá)不同但含義相同。ART是一個(gè)知識(shí)論論題。文獻(xiàn)中通常把它形式化為：
?A(A→◇KA)
(KP)
此公式通常記為KP，是Knowability Principle(可知性原則)的縮寫。顯然，KP正是定理5的等價(jià)式的前提。
其次，反實(shí)在論還強(qiáng)調(diào)，人的認(rèn)知能力有限，并且人對(duì)真命題的把握只能是部分，而不是全部。即“存在一個(gè)不是知識(shí)的真命題”。此論題在目前的相關(guān)文獻(xiàn)中通常被形式化為：
(Non-O)
(二)全知原則OMN的推出
Fitch通過KP推出結(jié)論(即定理5的結(jié)論)：
?A(A→KA)
(OMN)
上式意指“所有真命題都是知識(shí)”。這是一種全知的觀點(diǎn)，我們將其稱之為“全知原則”(Omniscient Principle)。從全知原則的表達(dá)形式OMN可得，它與反實(shí)在論的“非全知觀點(diǎn)(Non-O)”完全相悖。它的出現(xiàn)嚴(yán)重地挑戰(zhàn)了反實(shí)在論的哲學(xué)立場。
威廉姆森(T.Williamson，1955—，英國哲學(xué)家、邏輯學(xué)家)把全知原則OMN也稱作坍塌原則(Collapse Principle)，并強(qiáng)調(diào)該原則存在十分嚴(yán)重的問題[5]。原因在于，如果OMN成立，那么它蘊(yùn)涵：
1.存在知所有真命題的全知者
OMN等價(jià)于：
上式意指：“不存在命題A，A為真并且A不是知識(shí)。”但由于人的認(rèn)知能力的局限性，并不是所有真命題都為人所知，如人吸入的氧原子數(shù)量等這類命題。
2.知識(shí)概念坍塌為真之概念(The concept of knowledge collapses with the concept of truth)
凡刻畫知識(shí)的系統(tǒng)，最基礎(chǔ)的公理有
KA→A
(FAC)
再加上OMN，則有
A?KA
上式意指“知識(shí)概念等同真之概念”，或簡單地說，知識(shí)等同真。如此，能推出A?KA的系統(tǒng)將坍塌為經(jīng)典的命題邏輯。即是說，若知識(shí)和真等同，則不再需要知識(shí)邏輯了。
(2)修正KP的后件，代表學(xué)者有Williamson和J.Van Benthem。Williamson修正后件Kp為～～Kp，意指“并非不知A”，其中“～”是直覺主義的否定[9]。因此，我們把p→～～Kp稱作“直覺主義可知性原則”。Van Benthem修正后件為
(3)修正KP的前后件，代表學(xué)者有D.Edgington和M.Jago。Edgington通過增加一個(gè)新的事實(shí)算子A(actually)，把KP修正為Ap→◇KAp[11]。Jago修正KP為類型論可知性原則pn→◇K(m)pn， 對(duì)于某個(gè)m≥n[12]。
上述三類方案，部分得以解悖，部分未獲成功。如C.Massimiliano已論證，類型論不能解決可知性悖論[13]。Van Benthem提出的方案雖未能解悖，但提供了研究可知性悖論的新視角——?jiǎng)討B(tài)認(rèn)知的視角。
本文將進(jìn)一步探討可知性悖論產(chǎn)生的原因，提出解悖方案。具體地，本文將給出基本系統(tǒng)BS和Fitch-系統(tǒng)FS，并證明BS不會(huì)導(dǎo)致悖論，但FS會(huì)導(dǎo)致。然后，通過弱化KP為推理規(guī)則RKP，建立系統(tǒng)RKP，進(jìn)而論證RKP不會(huì)推出OMN，即RKP不會(huì)導(dǎo)致可知性悖論。
二、公理系統(tǒng)BS和FS
A.Costa-Leite(瑞士納沙泰爾大學(xué)邏輯所研究員)指出，可知性悖論由雙模態(tài)語言表述，并認(rèn)為：“如果有兩個(gè)非互相定義的模態(tài)算子，那么當(dāng)形式化可知性悖論時(shí)，只包含單一模態(tài)的邏輯是不能勝任的?！盵14]因此，刻畫可知性悖論的邏輯是既包含真勢模態(tài)◇又包含知識(shí)模態(tài)K的雙模態(tài)邏輯。Fitch-系統(tǒng)FS也正是這樣的邏輯。為了把問題說清楚，我們首先定義基本系統(tǒng)BS。
(一)基本系統(tǒng)BS
定義1令A(yù)tom:={p1,…,pn,…}是非空的可數(shù)多個(gè)原子公式的集合。
(1)帶知識(shí)模態(tài)算子K的語言LK定義為所有下列公式的集合：
(2)帶真勢模態(tài)算子◇和知識(shí)模態(tài)算子K的語言L◇K定義為所有下列公式的集合：
縮寫定義
(1) □A:=﹁◇﹁A
(2) T:=(p1∨﹁p1)
(3) ⊥:=﹁T
說明：◇稱為存在型算子，□和K稱為全稱型算子。另外，◇和□又稱為真勢模態(tài)(算子)，K又稱為知識(shí)模態(tài)(算子)。真勢模態(tài)是客觀模態(tài)，知識(shí)模態(tài)是主觀模態(tài)。
稱S是一個(gè)公理系統(tǒng)，當(dāng)且僅當(dāng)S是由若干公理(模式)和推理規(guī)則組成。
令S是一個(gè)公理系統(tǒng)，X是一個(gè)公式或推理規(guī)則。
下面我們用S+X表示，把X作為公理模式或推理規(guī)則加入S得到的新系統(tǒng)。
人作為完全獨(dú)立的有機(jī)整體，各系統(tǒng)間復(fù)雜交互聯(lián)系、相互作用，其功能實(shí)現(xiàn)是一體化自主調(diào)控的復(fù)雜過程，需要用整體的、聯(lián)系的、全面的觀點(diǎn)來理解[3-4]。呼吸、血液循環(huán)是生命的基礎(chǔ)。心血管系統(tǒng)與呼吸系統(tǒng)、血液系統(tǒng)關(guān)系密切，心血管系統(tǒng)的肺循環(huán)直接關(guān)系到呼吸系統(tǒng)的功能，血容量異常或血液凝固功能障礙也可影響呼吸功能。例如，血容量過高可引起肺水腫，血液凝固功能異常可引起下肢深靜脈血栓形成，血栓脫落后造成肺動(dòng)脈栓塞，影響肺換氣。同時(shí)，心血管系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和功能的完整性是維持正常血液循環(huán)的前提。當(dāng)心血管結(jié)構(gòu)和功能異常時(shí)會(huì)導(dǎo)致血液成分、血液流變學(xué)、血細(xì)胞形態(tài)與功能的改變，進(jìn)而促進(jìn)心血管系統(tǒng)疾病的發(fā)生[5]。
定義2由L◇K表述的公理系統(tǒng)BS由下面的公理(模式)和推理規(guī)則組成：
(Taut) 所有重言式的代入例
(FAC) KA→A
(MP) A,A→B/B
(RN◇) ﹁A/﹁◇A
說明：FAC表示知識(shí)的事實(shí)性(Factivity)，D表示知識(shí)對(duì)合取的可分配性(Distributivity)。MP和RN◇是推理規(guī)則。MP讀作“B follows from A and A→B”。RN◇類似可讀。
我們稱BS為基本系統(tǒng)。BS是一個(gè)相當(dāng)小的知識(shí)系統(tǒng)，小到刻畫知識(shí)算子的推理規(guī)則都沒有。
注意：用Taut和MP構(gòu)成的系統(tǒng)就是由L◇K表述的經(jīng)典命題演算PC。
證明：
D
1，F(xiàn)AC，命題邏輯的導(dǎo)出規(guī)則
2，命題邏輯的導(dǎo)出規(guī)則
3，RN◇
證畢。
定理1OMN不是BS的定理。
證明：用消模態(tài)算子方法來證明。
定義所有公式的集合上的消模態(tài)函數(shù)-如下：
(p)-= p，對(duì)所有原子公式p
(﹁A)-=﹁A-
(◇A)-=A-
(KA)-=⊥
顯然，上述消模態(tài)函數(shù)對(duì)每一個(gè)公式從外往內(nèi)消去所有的模態(tài)。
證得：
(1) 若A是BS的公理，則A-是重言式。
(2) (﹁A)-/(﹁◇A)-是經(jīng)典命題邏輯的導(dǎo)出規(guī)則。
據(jù)(1)和(2)，證得:
(3) 若A是BS的定理，則A-是重言式。
另一方面，
(A→KA)-=A-→⊥
當(dāng)A是原子公式p時(shí)，顯然，A-→⊥不是重言式，所以
(4) (A→KA)-不是重言式。
假設(shè)A→KA是系統(tǒng)BS的定理，據(jù)(3)，(A→KA)-是重言式，與(4)矛盾。
證畢。
說明：據(jù)定理1可知，把D，F(xiàn)AC和RN◇加入經(jīng)典命題演算PC不會(huì)導(dǎo)致OMN。當(dāng)然，把BS當(dāng)作是刻畫知識(shí)的邏輯是非常貧乏的。一般文獻(xiàn)中的知識(shí)邏輯還需對(duì)其加以擴(kuò)充。
(二)Fitch-系統(tǒng)FS
下面給出F.Fitch推出可知性悖論的全過程：
假設(shè)
1，D
2，F(xiàn)AC
1，3，歸謬法
4，RN◇
KP
5，6，否定后件律
(8) A→KA
7，等價(jià)置換
證畢[1]。
我們把以上論證稱之為Fitch-論證。
值得注意的是，F(xiàn)itch-論證中的(1)～(4)是一個(gè)有前提的推演。接下來，我們給出公理化系統(tǒng)FS，使得OMN成為FS的一個(gè)定理，即從系統(tǒng)FS無前提地推出OMN。為紀(jì)念Fitch，我們稱FS:=BS+KP為Fitch-系統(tǒng)。
定理2OMN是FS的定理。
證明：
基本定理
KP
2，等價(jià)置換
1，3，MP
(5) A→KA
4，等價(jià)置換
證畢。
我們稱系統(tǒng)S1是系統(tǒng)S2的實(shí)(proper)子系統(tǒng)，當(dāng)且僅當(dāng)，S1的所有定理是S2的定理，但存在S2的定理不是S1的定理。
定理3BS是FS的實(shí)子系統(tǒng)。
證明：據(jù)定理1，OMN不是BS的定理，但據(jù)定理2，OMN是BS+KP的定理，所以KP也不是BS的定理。證畢。
通過以上論述，我們可以很明顯地得出：導(dǎo)致可知性悖論產(chǎn)生的并非基本系統(tǒng)BS，而是在BS基礎(chǔ)上加入可知性原則KP得到的Fitch-系統(tǒng)FS。
三、解悖方案：弱化KP為RKP
從定理1(BS推不出OMN)和定理2(FS:=BS+KP推出OMN)可以看出，KP是推出OMN的關(guān)鍵。這也正是目前相關(guān)文獻(xiàn)大部分以修正KP為主的原因。接下來我們將證明修正KP為推理規(guī)則RKP得到的新系統(tǒng)RKP推不出OMN。
(一)KP的肯定前件型弱化
定義3由L◇K表述的公理系統(tǒng)RKP 由BS再加以下推理規(guī)則組成：
(RKP) A/◇KA。
說明：A.Costa-Leite在其論文FusionsofModalLogicsandFitch’sParadox中提到該推理規(guī)則，但他使用的系統(tǒng)跟RKP不一樣，其無D公理，相較RKP多出公理
□(A→B)→(□A→□B)
和推理規(guī)則
A/□A[16]
具體不再詳述。但可以看出Costa-Leite給出的系統(tǒng)比本文給出的系統(tǒng)大。
我們稱推理規(guī)則RKP是KP的肯定前件型弱化；系統(tǒng)RKP可稱為系統(tǒng)FS的肯定前件型弱化系統(tǒng)。
若RKP的前提A是系統(tǒng)RKP的定理，則RKP意指“證明了的命題是可知的”。這比KP所意指“所有真命題是可知的”要合理一些。當(dāng)然，“證明了的”不見得指當(dāng)下主體證明了的。若RKP的前提A不是系統(tǒng)RKP的定理，則RKP意指“給與的命題是可知的”。這也沒有不合理之處。
定理4OMN不是RKP的定理。
證明：只需要構(gòu)造OMN的RKP-反模型。
定義M = (W,R□,RK,V)如下：
W = {w,u}
R□= {(w,u),(u,w)}
RK= {(w,w),(u,u),(w,u)}
V(p) = {w}
上述模型可圖示如下，其中虛線表示R□。
(2) M是RKP-模型。
接下來證明：
(3) M是OMN的反模型。
據(jù)V(p)={w}，則:
再據(jù)wRKu，有wKp。證畢。
定理5RKP推不出KP，從而RKP是FS的實(shí)子系統(tǒng)。
證明：據(jù)定理4，RKP推不出OMN，所以RKP推不出KP。證畢。
但有趣的是，將KP的逆否進(jìn)行弱化是能夠推出OMN的。下面，我們給出詳細(xì)的論證過程。
(二)KP的否定后件型弱化
定義4由L◇K表述的公理系統(tǒng)WFS由BS再加下面的推理規(guī)則組成：
(RKP*) ﹁◇KA/﹁A
說明：RKP*是KP的弱化，故它是系統(tǒng)FS的導(dǎo)出規(guī)則，WFS是FS的子系統(tǒng)。
定理6WFS=BS+RKP*是FS的實(shí)子系統(tǒng)。
證明：從KP易證RKP*，所以WFS是FS的子系統(tǒng)。
另一方面，為了證明KP不是系統(tǒng)WFS的定理，據(jù)文獻(xiàn)[15]的反模型引理3.4.2，只需要構(gòu)造KP的WFS-反模型。
定義M = (W,R□,RK,V)如下：
W = {w,u}
R□= {(w,u),(u,w)}
RK= {(w,w),(u,u)}
V(p) = {w}
上述模型可圖示如下：
因?yàn)镽K是自返的，所以易見MFAC。
先證M對(duì)WFS保真：
為此，只需要證：
據(jù)(2)容易證明
(3) M是WFS-模型。
下面予以證明：
(4) M是KP的反模型。
據(jù)V(p)={w}，則:
再據(jù)uRKu，有uKp。再據(jù)wR□u，有w◇Kp。證畢。
下面證明，雖然WFS是FS的實(shí)子系統(tǒng)，但仍然可以推出OMN。
定理7OMN是WFS的定理。
證明：
基本定理
1，RKP*
(3) A→KA
3，命題邏輯導(dǎo)出規(guī)則
證畢。
說明：RKP*是KP的否定后件型弱化，系統(tǒng)WFS是FS的否定后件型弱化系統(tǒng)。從推出OMN的角度來說，這樣的弱化不起作用。加之，RKP*意指“所有不可能是知識(shí)的為假”，這一論斷太強(qiáng)，不符合反實(shí)在論的立場和觀點(diǎn)。
根據(jù)定理4和定理6，則有
推論WFS≠RKP
根據(jù)上述論證我們得到，把ART形式化為KP是有問題的。原因如下：
第一，公理D、FAC和推理規(guī)則RN◇均合理，由此形成的基本系統(tǒng)BS推不出OMN。
第二，F(xiàn)itch-系統(tǒng)FS:=BS+KP推得出OMN。
不僅如此，ART也不能形式化為RKP*，因?yàn)閾?jù)定理7，把RKP*加入基本系統(tǒng)BS仍可推出OMN。然而，據(jù)定理4和5，RKP推不出OMN，也推不出KP。如此，把ART形式化為RKP沒有問題。并且，從簡潔的角度，把“所有真命題是可知的”(ART)處理為“所有給與的是可知的”(RKP)也無不妥。系統(tǒng)RKP有可能是最簡潔、最符合反實(shí)在論觀點(diǎn)的系統(tǒng)，它既可以避免全知原則OMN的推出，又捍衛(wèi)了反實(shí)在論的哲學(xué)立場。
四、結(jié)束語
本文通過對(duì)可知性悖論的分析，在遵從Fitch論證的基礎(chǔ)上，給出基本系統(tǒng)BS和Fitch-系統(tǒng)FS，并提出解悖方案——修正KP為RKP。最后，通過模型論的方法證明了OMN不是系統(tǒng)RKP的定理。即，證明了這一修正方案不會(huì)導(dǎo)致可知性悖論。
筆者的目標(biāo)是，找到新可知性原則XKP替代KP，使下列要求得以滿足：
要求1BS+XKP推不出OMN，從而推不出KP。
要求2BS+XKP能推出YKP，其中表述BS+YKP的語言與表述BS+XKP的語言相同(同種)，且BS+YKP推不出OMN使得YKP是現(xiàn)有文獻(xiàn)提到的可知性原則。
要求3XKP是一個(gè)簡單而又合理的可知性原則。
要求1是最起碼的，可稱為基本要求。
要求2可稱為最強(qiáng)性要求。它要求推出所有現(xiàn)存推不出OMN的同種可知性原則。
然后，證得BS+XKP有完全性和可靠性(最好有框架可靠性定理和框架完全性)。
XKP有可能是如下一些形式：
(1)◇A→◇KA
(2)K◇A→◇KA
(3)K◇A→K◇KA
(5)K◇A→K◇KA
(6)◇(A→◇KA)
(7)OA→O◇KA
(OKP)
在(7)中的O是□，◇，K，k(﹁K﹁)，(A的真宣告是可能的)…構(gòu)成的符號(hào)串。通常我們引入關(guān)于O的單調(diào)規(guī)則，故從KP能推出OKP。至于OKP是否推出OMN，需逐一進(jìn)行考察。
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(責(zé)任編輯張佑法)
Research on Knowability Paradox and Its Solution
WANG Jing1, LI Xiao-wu2
(1.College of Politics and Economics, Shaanxi Normal University, Xi’an 710119, China;
2.Institution of Logic and Cognition, Sun Yat-Sen University, Guangzhou 510279, China)
Abstract:Knowability paradox means that deducing omniscient principle (OMN): the anti-renlism cannot accept from knowability principle (KP): precondition of accepting anti-realism, which poses a severe challenge to anti-realism. This paradox arises in Fitch system FS. In order to solve it, we modified knowability principle to a new principle which was called RKP, so that a new system RKP will be built. It was proved that RKP will not deduce omniscient principle.
Key words:knowability paradox; anti-realism; knowability principle; omniscient principle
文章編號(hào)：1674-8425(2016)01-0020-07
中圖分類號(hào)：B815.9
文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A
doi:10.3969/j.issn.1674-8425(s).2016.01.004
作者簡介：王晶(1984—)，女，四川閬中人，講師，邏輯學(xué)博士，研究方向：認(rèn)知邏輯和邏輯哲學(xué)；李小五(1958—)，男，河北淶水人，中山大學(xué)邏輯與認(rèn)知研究所教授，廈門大學(xué)哲學(xué)系客座教授，博士生導(dǎo)師，研究方向：動(dòng)態(tài)認(rèn)知邏輯、條件句邏輯及人工智能邏輯。
基金項(xiàng)目：國家社會(huì)科學(xué)基金重大項(xiàng)目“當(dāng)代知識(shí)論的系列研究”(14ZDB012)；2015年中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金項(xiàng)目“基于雙模態(tài)邏輯的可知性悖論解決方案研究”(15SZYB25)
收稿日期：2015-12-14
引用格式：王晶，李小五.可知性悖論及其解決方案探析[J].重慶理工大學(xué)學(xué)報(bào)(社會(huì)科學(xué))，2016(1):20-26.
Citation format：WANG Jing, LI Xiao-wu.Research on Knowability Paradox and Its Solution[J].Journal of Chongqing University of Technology(Social Science)，2016(1):20-26.
