劉靖賢，王永峰

(1.遼寧大學(xué) 哲學(xué)與公共管理學(xué)院，沈陽　110036； 2.沈陽工程學(xué)院 思政部，沈陽　110136)

?

邏輯悖論與固定點(diǎn)定理

劉靖賢1，王永峰2

(1.遼寧大學(xué) 哲學(xué)與公共管理學(xué)院，沈陽110036； 2.沈陽工程學(xué)院 思政部，沈陽110136)

摘要：羅素悖論的解決方案被劃分為兩大范疇：有類型限制的方案和無類型限制的方案。無類型限制方案的背景邏輯是多值邏輯或者不包含否定詞的經(jīng)典邏輯，它的一致性證明在實(shí)質(zhì)上是利用固定點(diǎn)定理構(gòu)造模型。在介紹克里悖論、莫紹揆悖論和吉爾莫爾悖論，回顧這些悖論的解決方案與布勞威爾固定點(diǎn)定理和塔斯基固定點(diǎn)定理之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)的基礎(chǔ)上，探討無類型限制方案在二階羅素悖論中的應(yīng)用，并且證明一系列相關(guān)結(jié)果。

關(guān)鍵詞：羅素悖論；克里悖論；布勞威爾固定點(diǎn)定理；塔斯基固定點(diǎn)定理；巴拿赫固定點(diǎn)定理

一、導(dǎo)言：羅素悖論

羅素1902年在弗雷格《算術(shù)基本規(guī)律》一書中發(fā)現(xiàn)了所謂的羅素悖論，這個(gè)悖論對(duì)20世紀(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究產(chǎn)生了深遠(yuǎn)影響，它表明樸素集合論的兩條公理導(dǎo)致矛盾。這兩條公理分別是概括公理(Comprehension Axiom)和外延公理(Axiom of Extensionality)。一般來說，這兩條公理被表述在一階邏輯中。一階概括公理是說，任何公式都定義一個(gè)集合，即

(C1) ?y?x(x∈y?φ(x))

一階外延公理是說，兩個(gè)集合相等當(dāng)且僅當(dāng)它們由相同的元素構(gòu)成，即

(E1)x=y??z(z∈x?z∈y)

根據(jù)(C1)，我們定義不屬于自身的集合r，即x∈r?x?x。然后，根據(jù)(E1)，不屬于自身這個(gè)集合屬于自身當(dāng)且僅當(dāng)它不屬于自身，即r∈r?r?r，矛盾。

羅素悖論之后，許多解決悖論的方案被提出，這些方案從總體上被劃分為兩大范疇：有類型限制理論(type theories)和無類型限制理論(type-free theories)。對(duì)于有類型限制理論來說，不允許自指集合存在，即不允許{x∶x∈x}存在。也就是說，不允許x∈x出現(xiàn)在概括公理右端定義集合的公式中，由此可以避免悖論，這方面以羅素的類型論為代表。而對(duì)于無類型限制理論來說，雖然允許{x∶x∈x}存在，但是不允許{x∶x?x}存在。也就是說，不允許否定出現(xiàn)在概括公理右端定義集合的公式中，從而也可以避免悖論。

二、克里悖論

然而，單純地消除否定似乎并不能避免悖論，克里悖論(Curry’sparadox)[1]表明，即使消除否定，也有可能推出悖論。定義特殊的集合c={x∶x∈x→⊥}，其中⊥表示永假。根據(jù)(C1)和(E1)得到

(3.1)c∈c?(c∈c→⊥)

而(3.1)的一個(gè)方向是

(3.2)c∈c→(c∈c→⊥)

由(3.2)經(jīng)過合并規(guī)則得到

(3.3)c∈c→⊥

而(3.1)的另一個(gè)方向是

(3.4)(c∈c→⊥)→c∈c

由(3.3)和(3.4)經(jīng)過分離規(guī)則得到

(3.5)c∈c

再由(3.3)和(3.5)經(jīng)過分離規(guī)則得到⊥。由此可見，在不使用否定的前提下，仍然從(C1)和(E1)推出不足道性?？死镢Ｕ摻o我們的啟示是：雖然消除了否定，但是蘊(yùn)涵和永假可以等價(jià)地定義否定，由此也可以導(dǎo)致悖論。因此，為了避免悖論，不能單純地消除否定，而是在特定的邏輯背景中對(duì)否定進(jìn)行某種限制。

三、無窮值邏輯

在經(jīng)典邏輯中，否定的推理強(qiáng)度來源于二值原則，而無類型限制理論在多值邏輯框架下對(duì)否定進(jìn)行限制。典型的多值邏輯是盧卡西維茨無窮值邏輯(簡記為L∞)，它的真值集是實(shí)數(shù)區(qū)間[0,1]，它的特指值是1。令D是論域，v是賦值，那么公式的語義規(guī)則是：

v(⊥) = 0

v(﹁φ)=1-v(φ)

v(φ→ψ)=min(1,1-v(φ)+v(ψ))

v(?xφ(x))=inf{φ(a):a∈D}

v(?xφ(x))=sup{φ(a):a∈D}

其中min和max分別是相對(duì)于實(shí)數(shù)序列的最小和最大，inf和sup分別是相對(duì)于實(shí)數(shù)序列的下確界和上確界。L∞的蘊(yùn)涵不是實(shí)質(zhì)蘊(yùn)涵，不能用否定和析取定義；事實(shí)上，對(duì)于L∞的蘊(yùn)涵來說，如下條件成立：

v(φ→ψ)=1iffv(φ)≤v(ψ)

無論如何，我們?cè)诒R卡西維茨無窮值邏輯中得到了弱于經(jīng)典邏輯的否定和蘊(yùn)涵，它們似乎為我們提供一個(gè)消解悖論的途徑。為了證明在無窮值邏輯中概括公理和外延公理不導(dǎo)致悖論，我們必須找到通過一條可靠的性質(zhì)來保證一致性。

四、布勞威爾固定點(diǎn)定理

在悖論的推導(dǎo)過程中，我們需要定義一個(gè)特殊集合，即a= {x:﹁x∈x}，由此推出一個(gè)矛盾等價(jià)式，即

(4.1)a∈a?﹁a∈a

如果我們把否定(﹁)看作一個(gè)一元真值函數(shù)(f)，把等值(?)看作真值之間的相等(=)，那么(4.1)在語義上相當(dāng)于

(4.2)v(a∈a)= f(v(a∈a))

也就是說，a∈a的語義值相等于﹁a∈a的語義值。如果(4.1)這樣的矛盾等價(jià)式不造成麻煩，那么必須允許(4.2)這樣的自返等式成立，即函數(shù)f有固定點(diǎn)。所謂固定點(diǎn)是指x這個(gè)點(diǎn)滿足自返等式 f (x)=x。因此，解決悖論的關(guān)鍵在于，所有出現(xiàn)在概括公理右端公式中的真值函數(shù)都應(yīng)該有固定點(diǎn)。也就是說，在定義集合的公式中，真值連接詞必須有固定點(diǎn)。由此可見，避免羅素悖論的問題被轉(zhuǎn)化為尋求固定點(diǎn)的問題。

數(shù)學(xué)中的固定點(diǎn)定理恰好告訴我們，什么樣的函數(shù)有固定點(diǎn)。最著名的固定點(diǎn)定理是布勞威爾固定點(diǎn)定理：在n維歐式空間中，閉球體上的連續(xù)映射至少有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。希爾伯特空間是n維歐氏空間的推廣，它相當(dāng)于無窮維的歐氏空間。對(duì)于希爾伯特空間來說，有如下固定點(diǎn)定理：在希爾伯特空間中，閉、有界、凸集上的非擴(kuò)張映射至少有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。其中，閉、有界、凸集是n維歐氏空間中閉球體的推廣，非擴(kuò)張映射是連續(xù)映射的推廣。

布勞威爾固定點(diǎn)定理告訴我們，連續(xù)函數(shù)都有固定點(diǎn)；我們根據(jù)語義規(guī)則可以驗(yàn)證盧卡西維茨無窮值邏輯的真值函數(shù)都是連續(xù)函數(shù)，所以它們都有固定點(diǎn)。因此，根據(jù)布勞威爾固定點(diǎn)定理，連續(xù)性可以保證一致性。在此基礎(chǔ)上，司寇侖(Skolem)于1957年證明[2]，在盧卡西維茨無窮值邏輯中，如果量詞不出現(xiàn)在定義集合存在的公式中，那么概括公理是一致的。后來，張(Chang)[3]和范斯達(dá)特(Fenstad)[4]又分別從不同角度驗(yàn)證了司寇侖的證明結(jié)果。

五、有窮值邏輯

20世紀(jì)70年代以來，關(guān)于無類型限制理論的研究又進(jìn)一步深入，盧卡西維茨無窮值邏輯被限制為有窮值邏輯。典型的有窮值邏輯是三值邏輯(簡記為L3)，它的真值集是{1,n,0}，其中n表示既不真也不假，它的特指值是1。否定的真值表如下：

?～?10nn01

合取的真值表如下：

?ψψ1n0?11n0nnn00000

析取的真值表如下：

?ψψ1n0?1111n1nn01n0

蘊(yùn)涵的真值表如下：

?→ψψ1n0?11n0n1nn0111

與無窮值邏輯的情形相同，全稱量詞和存在量詞分別被處理為無窮長的合取和析取。顯然，L3的否定和蘊(yùn)涵也弱于經(jīng)典邏輯的否定和蘊(yùn)涵。

如果對(duì)三值邏輯進(jìn)一步限制，那么我們回歸到經(jīng)典二值邏輯。在經(jīng)典邏輯中，為了消解悖論，不僅要消除否定而且要消除蘊(yùn)涵，即否定和蘊(yùn)涵不能出現(xiàn)在定義集合的公式中。其原因在于，經(jīng)典邏輯的蘊(yùn)涵是實(shí)質(zhì)蘊(yùn)涵，它是由否定和析取定義得到的，所以在消除否定的同時(shí)也消除了蘊(yùn)涵。

六、莫紹揆悖論

但是在有窮值邏輯中，我們又遇到莫紹揆悖論(Moh Shaw-Kwei’s paradox)[5]，這是克里悖論的擴(kuò)展。首先，遞歸地定義蘊(yùn)涵的度數(shù)：

其中→n表示n度蘊(yùn)涵。如下條件被稱為蘊(yùn)涵的n度吸收規(guī)則：

φ→n+1ψ ? φ→nψ

莫紹揆悖論與克里悖論類似，但在不足道性的推導(dǎo)過程中合并規(guī)則被替換為吸收規(guī)則。定義特殊的集合mn={x∶x∈x→n⊥}。根據(jù)(C1)和(E1)得到

(6.1) mn∈mn?(mn∈mn→n⊥)

而(6.1)的一個(gè)方向是

(6.2) mn∈mn→(mn∈mn→n⊥)

由(6.2)經(jīng)過n度吸收規(guī)則得到

(6.3)mn∈mn→n⊥

而(6.1)的另一個(gè)方向是

(6.4)(mn∈mn→n⊥)→mn∈mn

由(6.3)和(6.4)經(jīng)過分離規(guī)則得到

(6.5)mn∈ mn

再由(6.3)和(6.5)經(jīng)過分離規(guī)則得到⊥。莫紹揆證明，在盧卡西維茨無窮值邏輯中，n度吸收規(guī)則不成立，但是盧卡西維茨n值邏輯的蘊(yùn)涵滿足n-1度吸收規(guī)則。特別地，三值邏輯的蘊(yùn)涵滿足2度吸收規(guī)則。因此，雖然L3的蘊(yùn)涵不是實(shí)質(zhì)蘊(yùn)涵，但是為了避免悖論，也必須消除蘊(yùn)涵，即蘊(yùn)涵不能出現(xiàn)在定義集合的公式中。

七、吉爾莫爾悖論

即使蘊(yùn)涵不出現(xiàn)在定義集合的公式中，也不能直接消解悖論。這里涉及到概括公理和抽象公理的區(qū)分。概括公理是前面所說的(C1)，而抽象公理是

(A1)?x(x∈{x∶φ(x)}?φ(x))

從表面上看，概括公理和抽象公理類似，它們都定義與公式等價(jià)的集合的存在，但是它們的區(qū)別在于，對(duì)于抽象公理而言，需要在背景語言中增加抽象算子，即{∶}，但是對(duì)于概括公理來說，不需要在背景語言中增加抽象算子。雖然這兩個(gè)公理看起來是等價(jià)的，但是由于抽象公理在背景語言中增加了抽象算子，所以它的表達(dá)力強(qiáng)于概括公理。正是抽象算子的引入和抽象公理的表述，才使得由司寇侖所開創(chuàng)的在無窮值邏輯中消解悖論的研究最終得到證實(shí)。懷特(White)于1979年證明[6]，在盧卡西維茨無窮值邏輯中，抽象公理是一致的。

但是，抽象算子的強(qiáng)表達(dá)力也帶來消極影響，這種強(qiáng)表達(dá)力在等詞的幫助下導(dǎo)致新悖論的出現(xiàn)。這個(gè)悖論最早由吉爾莫爾(Gilmore)發(fā)現(xiàn)[7]，我們把這個(gè)悖論稱為吉爾莫爾悖論。定義特殊集合g={x∶{y∶x∈x}={y∶⊥}}。由抽象公理得到

g∈g?{y∶g∈g}=(y∶⊥}

再由外延公理得到

{y∶g∈g}={y∶⊥}??y(g∈g?⊥)

根據(jù)量詞的規(guī)則又得到

?y(g∈g?⊥)?(g∈g?⊥)

上式的右端等價(jià)于g?g，所以又得到一個(gè)矛盾等價(jià)式g∈g?g?g。吉爾莫爾悖論表明，即使多值邏輯的否定和蘊(yùn)涵不出現(xiàn)在定義集合的公式中，抽象算子和等詞仍然可以導(dǎo)致悖論。因此，在三值邏輯中，為了避免悖論，也必須找到通過一條可靠的性質(zhì)來保證一致性。相比而言，在無窮值邏輯中，作為真值集的實(shí)數(shù)區(qū)間是連續(xù)的，所以根據(jù)布勞威爾固定點(diǎn)定理，我們通過真值函數(shù)的連續(xù)性來保證一致性。然而，在三值邏輯中，真值集不再是連續(xù)的，我們無法通過真值函數(shù)的連續(xù)性來保證一致性，我們不得不轉(zhuǎn)向另一個(gè)固定點(diǎn)定理。

八、塔斯基固定點(diǎn)定理

我們的背景邏輯從無窮值邏輯轉(zhuǎn)向有窮值邏輯，真值集從連續(xù)轉(zhuǎn)向離散，為了消解悖論，我們需要從布勞威爾固定點(diǎn)定理轉(zhuǎn)向塔斯基固定點(diǎn)定理。前面我們用真值函數(shù)的連續(xù)性來保證一致性，現(xiàn)在我們用真值函數(shù)的單調(diào)性來保證一致性。

塔斯基固定點(diǎn)定理是說，如果D是有向完備偏序集，并且f是單調(diào)函數(shù)，那么f有一個(gè)固定點(diǎn)，也就是說，至少存在一個(gè)m∈D使得f(m)=m。讓我們來具體解釋上述定理中的基本概念。如果一個(gè)關(guān)系R滿足自返性、反對(duì)稱性和傳遞性，那么這個(gè)關(guān)系被稱為偏序關(guān)系。集合A與A上的偏序關(guān)系R構(gòu)成的序?qū)?A,R)稱為偏序集。如果任給偏序集A中元素a和b，存在A中元素c，使得Rac并且Rbc，那么A被稱為有向的。如果偏序集A的任何有向子集都有上確界，那么稱A是有向完備的。如果偏序集上的函數(shù)f滿足如下條件：

?a∈A?b∈A(Rab→Rf(a)f(b))

那么f是單調(diào)函數(shù)。

顯然，如果把三值邏輯的真值集看作T={1,2,3}，其偏序關(guān)系是≥T(其中3≥T2≥T1)，即

那么除否定和蘊(yùn)涵外，所有真值函數(shù)都是單調(diào)函數(shù)。如果把三值邏輯的真值集看作K={0,0.5,1}，其偏序關(guān)系是≥K(其中1≥K0.5并且0≥K0.5)，即

那么除蘊(yùn)涵外，所有真值函數(shù)都是單調(diào)函數(shù)。特別地，如果回歸到經(jīng)典的二值邏輯，那么除否定和蘊(yùn)涵外，所有真值函數(shù)也都是單調(diào)函數(shù)。因此，根據(jù)塔斯基固定點(diǎn)定理，單調(diào)性也可以保證一致性。在此基礎(chǔ)上，吉爾莫爾證明[7]，在三值邏輯中，如果定義集合的公式不包含蘊(yùn)涵，那么抽象公理是一致的。克里普克還把固定點(diǎn)定理應(yīng)用于說謊者悖論的研究[8]，他證明，在三值邏輯中，T模式是一致的。后來，費(fèi)弗曼(Feferman)系統(tǒng)地總結(jié)了吉爾莫爾和克里普克的證明[9]，這些證明在實(shí)質(zhì)上都訴諸于歸納方法。對(duì)于經(jīng)典二值邏輯來說，情形也類似，錫寧(Hinnion)證明[10]，如果定義集合的公式不包含否定和蘊(yùn)涵，那么抽象公理是一致的；福蒂(Forti)和錫寧又證明[11]，如果定義集合的公式不包含否定和蘊(yùn)涵，那么概括公理和外延公理是一致的。

事實(shí)上，塔斯基固定點(diǎn)定理中的有向完備偏序集恰好對(duì)應(yīng)于斯科特拓?fù)淇臻g。斯科特(Scott)在關(guān)于無類型限制λ演算的研究中使用逆極限方法證明了與塔斯基固定點(diǎn)定理類似的結(jié)果，雖然斯科特本人的目的是為程序語言提供語義域，這在理論計(jì)算機(jī)中被稱為域理論(Domain Theory)[12]，但是斯科特的證明結(jié)論把邏輯悖論的研究引入一個(gè)新的方向，即集合論拓?fù)淠Ｐ?Topological Model for Set Theory)和超宇宙(Hyperuniverse)[13]。

九、二階羅素悖論

以上我們回顧和梳理了利用固定點(diǎn)定理消解一階羅素悖論的歷史，下面我們把固定點(diǎn)定理的應(yīng)用推廣到二階邏輯中。事實(shí)上，弗雷格《算術(shù)基本規(guī)律》中的邏輯系統(tǒng)是高階的，其中概括公理和外延公理被表述在二階邏輯中。二階概括公理是說，任何公式都斷定一個(gè)的概念的存在，即

(C2) ?X?x(Xx?φ(x))

二階外延公理是說，兩個(gè)概念的外延相等當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)概念等價(jià)，即

(E2)εX=εY??x(Xx?Yx)

其中ε是外延算子，概念的外延不再是概念而是對(duì)象。我們用外延算子定義屬于關(guān)系，即

然后，與一階的情形類似，用屬于關(guān)系定義不屬于自身這個(gè)概念的外延，由此也可以從(C2)和(E2)推出矛盾。

從語義上看，二階羅素悖論也體現(xiàn)了康托的對(duì)角線定理。一方面，二階概括公理要求，如果一階變?cè)娜≈捣秶荄，那么二階變?cè)娜≈捣秶荄的冪集，即P(D)；而二階外延公理要求，存在二階變?cè)鸵浑A變?cè)g的一一對(duì)應(yīng)。但是，根據(jù)康托對(duì)角線定理，這兩個(gè)要求不能同時(shí)滿足。也就是說，不存在集合D與其冪集P(D)之間的一一對(duì)應(yīng)，即并非D≈P(D)。為了消解悖論，我們必須繞開康托定理的障礙。事實(shí)上，如果把P(D)限制為它的真子集P′(D)，即P′(D)?P(D)，那么有可能找到D和P′(D)之間的一一對(duì)應(yīng)。由此看來，固定點(diǎn)定理可以更為自然地應(yīng)用于二階羅素悖論的消解。如果把等數(shù)關(guān)系(≈)看作相等關(guān)系(=)，把P′數(shù)(f)，即P′把一個(gè)集合映射為這個(gè)集合的冪集的真子集，那么與求解等式f(x)=x類似，悖論的消解實(shí)質(zhì)上也是尋找函數(shù)P′的固定點(diǎn)，即D≈P′(D)。

十、余有窮拓?fù)淇臻g

為了消解羅素悖論，我們把二階概括公理限制為二階正概括公理，即

(PC2) ?X?x(Xx?φ(x)) ，其中否定和蘊(yùn)涵不出現(xiàn)在φ(x)中。

為了證明二階概括公理和二階外延公理的一致性，我們先給出一個(gè)簡單的模型。令N是自然數(shù)集，令Pcf(N) = {U?N∶U是N的有限子集}∪{?}；也就是說，Pcf(N)是自然數(shù)上余有窮拓?fù)淇臻g的所有閉集。令一階變?cè)?對(duì)象變?cè)?的取值范圍是N，二階變?cè)?概念變?cè)?的取值范圍是Pcf(N)。

顯然，存在自然數(shù)與其余有窮拓?fù)淇臻g閉集之間的一一對(duì)應(yīng)，即N≈Pcf(N)，所以上述模型滿足二階外延公理，即存在一階變?cè)投A變?cè)g的一一對(duì)應(yīng)。因?yàn)槲覀儗?duì)概念變?cè)娜≈捣秶M(jìn)行了限制，所以我們也對(duì)定義概念的公式進(jìn)行限制，即否定和蘊(yùn)涵不出現(xiàn)在定義概念的公式中，這樣的二階概括公理被稱為二階正概括公理。為了證明上述模型滿足二階正概括公理，我們對(duì)定義概念的公式進(jìn)行歸納。假定公式φ(x)定義的概念是{x:φ(x)}。

(10.3) 帶一階全稱量詞的公式?yφ(x,y)被處理為無窮長的合取。如果任給a∈N，φ(x,a)定義的概念都在Pcf(N)中，那么根據(jù)拓?fù)淇臻g的性質(zhì)(任意多個(gè)閉集的交集仍是閉集)，?yφ(x,y)定義的概念{x∶?yφ(x,y)}也在Pcf(N)中。

(10.4) 對(duì)于帶一階存在量詞的公式?yφ(x,y)，它定義的概念被看作有序?qū)Φ募蟵(x,y)∶φ(x,y)} 在投射p∶N×N→N下的像。余有窮拓?fù)淇臻g(co-finite topology)是緊致空間，而在緊致空間中投射p是閉映射，即把閉集映射為閉集。因此，如果有序?qū)Φ募蟵(x,y)∶φ(x,y)}在乘積空間中，即在Pcf(N)×Pcf(N)中，那么公式?yφ(x,y)定義的概念{x∶?yφ(x,y)}也在Pcf(N)中。

十一、二階吉爾莫爾悖論

上一節(jié)我們給出了一個(gè)簡單的模型，由此可窺探到二階正概括公理一致性證明的思路；然而，為了完成嚴(yán)格的證明，還有很多細(xì)節(jié)需要補(bǔ)充。特別地，我們還沒有考慮原子公式的情況，例如公式x=y定義的集合什么。與一階吉爾莫爾悖論類似，如果等詞出現(xiàn)在二階正概括公理右端的公式中，即出現(xiàn)在定義概念的公式中，那么仍然有可能導(dǎo)致悖論。另外，如果把二階概括公理限制為二階正概括公理，那么需要區(qū)分兩個(gè)不同版本的外延公理，即公理版本外延公理和模式版本外延公理。公理版本與(E2)相同，而模式版本是

(E2′) {x∶φ(x)}={x∶ψ(x)}??x(φ(x)?ψ(x))

對(duì)于公理版本來說，外延算子ε把一個(gè)概念F映為外延εF，而對(duì)于模式版本來說，外延算子{∶}把一個(gè)公式φ(x)映為外延{x∶φ(x)}。如果不限制二階概括公理，那么兩個(gè)版本的外延公理是等價(jià)的；原因在于，任何公式都定義概念，而任何概念都有外延，這相當(dāng)于說，任何公式都有外延。但是，如果對(duì)二階概括公理進(jìn)行限制，那么模式版本強(qiáng)于公理版本；原因在于，并非任何公式都定義概念，所以雖然任何概念都有外延，但并非任何公式都有外延。事實(shí)上，二階正概括公理與模式版本外延公理導(dǎo)致悖論，我們把這個(gè)悖論稱為二階吉爾莫爾悖論。根據(jù)模式版本外延公理，屬于關(guān)系被定義為：

根據(jù)二階正概括公理，對(duì)于任何正公式φ(y)，如下結(jié)論成立：

(∈)x∈{y∶φ(y)}?φ(x)

定義特殊的外延u={x∶{y∶x∈x}={y∶⊥}}。由(∈)得到

u∈u?{y∶u∈u}={y∶⊥}

再由模式版本外延公理得到

{y∶u∈u}={y∶⊥}??y(u∈u?⊥)

根據(jù)量詞的規(guī)則得到

?y(u∈u?⊥)?(u∈u?⊥)

上式的右端等價(jià)于u?u，所以得到一個(gè)矛盾等價(jià)式u∈u?u?u。

十二、巴拿赫固定點(diǎn)定理

二階吉爾莫爾悖論表明，二階正概括公理與模式版本外延公理是不一致的；然而，這并沒有排除二階正概括公理與公理版本外延公理的一致性。事實(shí)上，它們是一致的，這個(gè)一致性證明訴諸于另一個(gè)固定點(diǎn)定理，即范疇論版本的巴拿赫固定點(diǎn)定理。

巴拿赫固定點(diǎn)定理是說，如果M是完備度量空間，并且f∶M→M是壓縮函數(shù)，那么f有唯一的固定點(diǎn)，也就是說，存在唯一的m∈M使得f(m)=m。范疇論版本的巴拿赫固定點(diǎn)定理是說[14]，如果C是完備度量空間的類，Pcl是定義在C上的函子，即任給R∈C，Pcl(R)={A?R∶A是閉集}，那么Pcl有唯一的固定點(diǎn)。也就是說，存在唯一的R∈C使得R?Pcl(R)，其中?是等距同構(gòu)。事實(shí)上，我們不需要知道R的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，從緊致度量空間R到Pcl(R)的同胚足夠讓我們完成一致性證明。令一階變?cè)娜≈捣秶荝，二階變?cè)娜≈捣秶荘cl(R)。顯然，存在概念和外延(對(duì)象)之間的一一對(duì)應(yīng)，所以上述模型滿足公理版本外延公理。

為了證明上述模型滿足二階正概括公理，我們把二階邏輯看作一階多類理論。也就是說，既然存在R和Pcl(R)之間的一一對(duì)應(yīng)，令二階變?cè)娜≈捣秶荝′，R與R′基數(shù)相同但是種類不同，令從R′到Pcl(R)的同胚映射是h。為了證明正概括公理定義的概念都在Pcl(R)中，即這些概念都是空集，我們?nèi)匀皇w納于正公式。我們僅考慮原子公式和帶二階量詞的公式。對(duì)于原子公式來說，有6種情況：⊥、x=x、x=y、Xx、XεY或者XεX。

(12.1) 公式⊥定義的概念是空集，空集是閉集。

(12.2) 公式x=x定義的概念是大全集，大全集是閉集。

(12.3) 公式x=y定義的概念是{(x,y)∈R×R∶x=y}。根據(jù)拓?fù)淇臻g的性質(zhì)，在豪斯道夫空間中，{(x,y)∈R×R∶x=y}是閉集。因?yàn)槎攘靠臻g是豪斯道夫空間，所以x=y定義的概念是閉集。

(12.4) 公式Xx定義的概念是{(x,y)∈R×R′∶x∈h(y)}。李博特(Libert)證明[15] 36，如果h是連續(xù)函數(shù)，那么{(x,y)∈D×D∶x∈h(y)}是閉集。因?yàn)橥呤沁B續(xù)函數(shù)，所以Xx定義的集合是閉集。

(12.5) 公式Y(jié)εX定義的概念也是{(x,y)∈R×R′∶x∈h(y)}，情況與(1.4)類似。

(12.6) 公式XεX定義的概念是{(x,y)∈R×R′∶x∈h(y)}∩{(x,y)∈D×D∶x=y},這是兩個(gè)閉集的交集，根據(jù)拓?fù)淇臻g的性質(zhì)，這兩個(gè)集合的交集也是閉集。

(12.7) 帶二階全稱量詞的公式?Yφ(x,Y)被處理為無窮長的合取。如果任給a∈R′，φ(x,a)定義的概念都是閉集，那么根據(jù)拓?fù)淇臻g的性質(zhì)(任意多個(gè)閉集的交集仍是閉集)，?Yφ(x,Y)定義的概念{x∶?Yφ(x,Y)}也是閉集。

(12.8) 對(duì)于帶二階存在量詞的公式?Yφ(x,Y)，它定義的概念被看作有序?qū)Φ募蟵(x,y)∈R×R′∶φ(x,y)}在投射q∶R×R′→R下的像。在緊致度量空間中，投射q也是閉映射。因此，如果有序?qū)Φ募蟵(x,y)∈R×R′∶φ(x,y)}是乘積空間的閉集，那么?Yφ(x,y)定義的概念{x∶?Yφ(x,Y)}也是閉集。

十三、結(jié)束語

綜上所述，一階羅素悖論是由一階概括公理(C1)和一階外延公理(E1)導(dǎo)致的，羅素悖論的根源被歸結(jié)為自指和否定。相應(yīng)地，悖論的消解方案被劃分為有類型限制的方案和無類型限制的方案，前者相當(dāng)于限制了自指，而后者相當(dāng)于限制了否定。然而，克里悖論表明，因?yàn)樘N(yùn)涵和永假可以等價(jià)地定義否定，所以即使消除否定也不能避免悖論。為了限制否定，我們首先從經(jīng)典的二值邏輯轉(zhuǎn)向多值邏輯。在盧卡西維茨無窮值邏輯中，所有的真值函數(shù)都是連續(xù)函數(shù)，根據(jù)布勞威爾固定點(diǎn)定理，連續(xù)性保證了一致性，由此我們找到一條消解悖論的途徑。然后，我們又從無窮值邏輯轉(zhuǎn)向有窮值邏輯。但是，在有窮值邏輯中我們遇到莫紹揆悖論和吉爾莫爾悖論，前者是由于蘊(yùn)涵和永假出現(xiàn)在概括公理的右端而導(dǎo)致的，后者是由于等詞和抽象公理(A1)導(dǎo)致的。在三值邏輯中，除蘊(yùn)涵外所有的真值函數(shù)都是單調(diào)函數(shù)，而且在二值邏輯中，除否定和蘊(yùn)涵外所有的真值函數(shù)也都是單調(diào)函數(shù)。根據(jù)塔斯基固定點(diǎn)定理，單調(diào)性保證了一致性，由此我們也找到一條消解悖論的途徑。與一階羅素悖論相應(yīng)，我們還探求了無類型限制方案對(duì)二階羅素悖論的消解。二階羅素悖論是由二階概括公理(C2)和二階外延公理(E2)導(dǎo)致的。我們區(qū)分了公理版本外延公理和模式版本外延公理(E2′)。類似于吉爾莫爾悖論，我們證明二階正概括公理(PC2)與模式版本外延公理是不一致的。但是，利用范疇論版本的巴拿赫固定點(diǎn)定理，我們證明二階正概括公理與公理版本外延公理是一致的。

參考文獻(xiàn)：

[1]CURRY H B.The inconsistency of certain formal logics [J].Journal of symbolic logic，1942(7)：115-117.

[2]SKOLEM T.Bemerkungen zum komprehensionsaxiom [J].Mathematical logic quarterly，1957(3)：1-17.

[3]CHANG C C.The axiom of comprehension in infinite valued logic [J].Mathematica scandinavica，1963(13)：9-30.

[4]FENSTAD J E.On the consistency of the axiom of comprehension in the lukasiewicz infinite valued logic [J].Mathematica scandinavica，1964(14)：65-74.

[5]MOH Shaw-Kwei.Logical paradoxes for many-valued systems [J].Journal of symbolic logic，1954(19)：37-40.

[6]WHITE R W.The consistency of the axiom of comprehension in the infinite-valued predicate logic of lukasiewicz[J].Journal of philosophical logic，1979(8)：509-534.

[7]GILMORE P.The consistency of partial set theory without extensionality,Axiomatic set theory[J].Proceedings of symposia in pure mathematics，1974(13)：147-153.

[8]KRIPKE S.Outline of a theory of truth[J].Journal of philosophical logic，1975(72)：690-716.

[9]FEFERMAN S.Towards useful type-free theories[J].Journal of symbolic logic，1984(49)：75-111.

[10]HINNION R.Le paradoxe de Russell dans des versions positives de la theorie naive des ensembles[J].Comptes rendus de l’Académie des Science de Paris，1987(304)：307-310.

[11]FORTI M R.Hinnion.The consistency problem for positive comprehension principles [J].Journal of symbolic logic，1989(54)：1401-1418.

[12]ABRAMSKY S，JUNG A.Domain theory[C]//Handbook of logic in computer science，vol.3.Oxford:Clarendon Press，1995.

[13]ESSER O，LIBERT T.On topological set theory[J].Mathematical logic quarterly，2005(51)：263-273.

[14]AMERICA P，RUTTEN J.Solving reflexive domain equations in a category of complete metric spaces[J].Journal of computer and system sciences，1989(39)：343-375.

[15]LIBERT T.Models for a paraconsistent set theory[J].Journal of applied logic，2005(3)：15-41.

(責(zé)任編輯張佑法)

Logical Paradox and Fixed Point Theorem

LIU Jing-xian1, WANG Yong-feng2

(1.Philosophy and Public Management School, Liaoning University, Shenyang 110036, China;

2.Department of Ideological and Political Education, Shenyang Institute of Engineering, Shenyang 110136, China)

Abstract:Solutions to Russell’s paradox can be classified into two categories: type theories and type-free theories. The background logic of type-free theories is many-valued logic or classical logic without negation, and the consistency proof of type-free theories essentially relies on fixed point theorems to construct models. This paper introduced Curry’s paradox, Moh Shaw-Kwei’s paradox and Gilmore’s paradox, and it also reviewed their connection with Brower fixed point theorem and Tarski fixed point theorem. This paper also explored the application of fixed point theorem in second-order version of Russell’s paradox and verified related results.

Key words:Russell’s paradox；Curry’s paradox; Brower fixed point theorem；Tarski fixed point theorem；Banach fixed point theorem

文章編號(hào)：1674-8425(2016)01-0012-08

中圖分類號(hào)：B81

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

doi:10.3969/j.issn.1674-8425(s).2016.01.003

作者簡介：劉靖賢(1982—)，男，河北唐山人，副教授，博士，研究方向：邏輯哲學(xué)；王永峰(1979—)，男，新疆哈密人，講師，碩士，研究方向：科學(xué)技術(shù)哲學(xué)。

基金項(xiàng)目：國家社會(huì)科學(xué)基金青年項(xiàng)目“弗雷格哲學(xué)著作編譯研究”(15CZX035)

收稿日期：2015-12-14

引用格式：劉靖賢，王永峰.邏輯悖論與固定點(diǎn)定理[J].重慶理工大學(xué)學(xué)報(bào)(社會(huì)科學(xué))，2016(1):12-19.

Citation format：LIU Jing-xian, WANG Yong-feng.Logical Paradox and Fixed Point Theorem[J].Journal of Chongqing University of Technology(Social Science)，2016(1):12-19.