劉浩敏

(中國空空導(dǎo)彈研究院，河南 洛陽　471000)

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Weibull分布在航空武器項目經(jīng)費管理中的應(yīng)用研究

劉浩敏

(中國空空導(dǎo)彈研究院，河南 洛陽471000)

摘要：科學(xué)、合理的經(jīng)費估算可以為項目立項與經(jīng)費安排提供重要的決策參考；基于Weibull分布理論，首先提出了一種基于累計經(jīng)費約束的最小二乘分布參數(shù)估計法，給出了幾個常用的項目累計經(jīng)費約束條件；其次運用提出的方法，對其在航空制導(dǎo)武器項目經(jīng)費管理中的應(yīng)用進行了研究；最后對應(yīng)用情況進行了綜合分析。

關(guān)鍵詞：Weibull分布；累計經(jīng)費約束；最小二乘

本文引用格式：劉浩敏.Weibull分布在航空武器項目經(jīng)費管理中的應(yīng)用研究[J].兵器裝備工程學(xué)報，2016(1):102-105.

Citation format:LIU Hao-min.Study on Air-Borne Project Cost Management by Weibull Distribution [J].Journal of Ordnance Equipment Engineering,2016(1):102-105.

隨著新技術(shù)和新材料的廣泛應(yīng)用，加之技術(shù)難度大、系統(tǒng)復(fù)雜、不可遇見因素多，航空制導(dǎo)武器項目日益增長的研制成本和有限的經(jīng)費預(yù)算之間的矛盾越來越突出，如何科學(xué)、合理地估算出項目總研制經(jīng)費及其各年度的投資強度，對項目立項決策、經(jīng)濟性評估、合理分配有限經(jīng)費資源及對其進行有效管理具有重要意義[1-5]。

研究發(fā)現(xiàn)，Weibull分布模型在一定條件下能較好地描述大型項目時間與經(jīng)費之間的分布關(guān)系，即如果研制過程基本按計劃進行，無大的突發(fā)性變更和干擾，則在項目整個研制過程中，時間-經(jīng)費的分布表現(xiàn)為中間多、開始和結(jié)束時少的特點?；谶@種分布特性，國內(nèi)許多學(xué)者和項目管理人員對其在各類項目經(jīng)費管理中的應(yīng)用做了大量研究。徐哲等[6]對Weibull分布模型的特點、應(yīng)用范圍、參數(shù)估計方法等進行了較為詳細的理論研究，并對其在大型復(fù)雜系統(tǒng)研制經(jīng)費預(yù)估等方面做了應(yīng)用研究；郭基聯(lián)等[7]運用已有裝備項目的歷史數(shù)據(jù)對Weibull分布模型的參數(shù)估計方法進行了研究，并根據(jù)項目的特點，導(dǎo)出了分布參數(shù)的取值范圍，減小了主觀因素對參數(shù)估計的影響；胡葦[8]對Weibull分布模型在航天項目研制經(jīng)費管理中的應(yīng)用做了較為深入的研究，并對其應(yīng)用過程中存在的問題進行了具體分析；謝紅勝等[9-10]基于Weibull分布建立了水電設(shè)備費用模型，并據(jù)此解決了水電設(shè)備維護費用模型中的不確定性問題。

目前，Weibull分布模型在航天、兵器等領(lǐng)域項目經(jīng)費管理中已有較多應(yīng)用研究，但在航空制導(dǎo)武器項目方面的應(yīng)用較少。從目前我國航空制導(dǎo)武器項目經(jīng)費管理相對落后的現(xiàn)狀來看，有必要對其在航空制導(dǎo)武器項目經(jīng)費管理中的應(yīng)用進行研究。此外，通過對Weibull分布模型進行研究發(fā)現(xiàn)，只有當(dāng)時間趨于無窮大時其分布函數(shù)才會趨于1，即當(dāng)時間趨于無窮大時項目所有經(jīng)費才能執(zhí)行完畢，但在實際過程中，項目研制周期是有限的，其所有經(jīng)費必須在有限時間內(nèi)執(zhí)行完畢，或者說基本執(zhí)行完畢(99.5%以上)。分析Weibull分布模型在相關(guān)領(lǐng)域中的應(yīng)用發(fā)現(xiàn)，應(yīng)用Weibull分布模型給出的項目經(jīng)費分布在項目結(jié)束時往往還有大量經(jīng)費“待執(zhí)行”。

本文基于Weibull分布模型，對其在航空制導(dǎo)武器項目經(jīng)費管理中的應(yīng)用進行研究，提出基于累計經(jīng)費約束的最小二乘分布參數(shù)估計法，可解決運用傳統(tǒng)最小二乘法面臨的存在大量經(jīng)費“待支出”問題。最后，對Weibull分布模型在航空制導(dǎo)武器項目經(jīng)費管理中的應(yīng)用進行綜合分析。

1Weibull時間-經(jīng)費分布模型

Weibull時間-經(jīng)費概率分布函數(shù)的通用表達式為

(1)

其中，K為項目總研制經(jīng)費，表示投資規(guī)模；參數(shù)a決定了曲線的陡度，表示投資的急迫性；參數(shù)m決定了分布曲線的峰值位置，表示項目投資的最高點；參數(shù)r為位置參數(shù)，表示研制階段的起始點，一般取0表示研制周期的開始時刻，所以，通常情況下，Weibull時間-經(jīng)費分布函數(shù)的表達式為

(2)

在項目研制過程中，由于經(jīng)費實際上并不完全按照理論情況連續(xù)發(fā)生，所以其累積分布模型在實際過程中應(yīng)用的更多。Weibull時間-經(jīng)費的累計分布模型為

(3)

其中，F(xiàn)(t)為第t時期末累積發(fā)生的經(jīng)費總額。設(shè)第t時期所需的研制經(jīng)費為ΔF(t)，則

(4)

由式(3)和式(4)可以看出，如果知道參數(shù)m和a就可以確定總投資額為K的項目研制周期內(nèi)的投資強度分布和各個時間段內(nèi)的累計投資額。

2基于累計經(jīng)費約束的最小二乘分布參數(shù)估計

目前，較常用的參數(shù)估計方法有經(jīng)驗估計法、線性回歸法和高斯-牛頓迭代法等，但研究發(fā)現(xiàn)，通過此類方法估算出的參數(shù)確定的經(jīng)費分布在項目結(jié)束時往往還存在大量經(jīng)費“待支出”，總體精度較差。本文給出一種基于累計經(jīng)費約束的最小二乘參數(shù)估計法可以較好地解決此類問題。

2.1傳統(tǒng)最小二乘分布參數(shù)估計法

線性最小二乘法運用的對象是線性方程，顯然式(3)所描述的方程為典型的非線性方程，根據(jù)文獻[10]，式(3)可線性化為如下形式：

Y=A+BX

(5)

其中，Y=ln(ln(K/(K-F(t))))；A=lna；B=m；X=lnt。

假設(shè)已知關(guān)于變量X,Y的n對觀測數(shù)據(jù)(Xi,Yi)(n=1,2,…,n)，則根據(jù)線性最小二乘原理，在此有如下方程成立：

(6)

(7)

E為觀測值Yi和(A+BXi)之差的平方和，即誤差的平方和。求解上述方程即可得到參數(shù)A和B的最小二乘估計值。運用項目實際發(fā)生數(shù)據(jù)驗證發(fā)現(xiàn)，采用傳統(tǒng)最小二乘法擬合出的經(jīng)費分布曲線在項目結(jié)束時仍然還有較大部分的經(jīng)費“待支出”，總體擬合效果不理想。

2.2最小二乘分布參數(shù)估計法

研究發(fā)現(xiàn)，傳統(tǒng)最小二乘法對分布參數(shù)進行估計的基礎(chǔ)為已知的n對觀測數(shù)據(jù)，基于這n對觀測數(shù)據(jù)估算出的分布參數(shù)(或者說分布曲線)與觀測數(shù)據(jù)直接相關(guān)，也就是說，由這n對觀測數(shù)據(jù)在一定約束條件下(觀測值Yi和(A+BXi)之差的平方和最小)確定的分布曲線是觀測值的一種數(shù)學(xué)反映?；诖耍瑸榱耸狗植记€能有效反映項目結(jié)束時的狀態(tài)，我們可以在觀測樣本中增加期望的項目結(jié)束樣本信息，進而可實現(xiàn)對項目結(jié)束時的經(jīng)費支出情況進行約束。

1) 項目結(jié)束時累計支出經(jīng)費占總經(jīng)費比例為99.5%的約束條件為

lna+mlnT=ln(ln200)

(8)

2) 項目研制時間進行到一半時累計支出經(jīng)費占總經(jīng)費比例為50%(即時間過半、任務(wù)過半)的約束條件為

lna+mln(T/2)=ln(ln2)

(9)

3) 項目研制時間進行到t(0≤t≤T)時刻末時累計支出經(jīng)費占總經(jīng)比例為η(0≤η≤1)的約束條件為

(10)

3實例分析與應(yīng)用

下面以我國某航空制導(dǎo)武器項目為例，運用基于累計經(jīng)費約束的最小二乘分布參數(shù)估計法，從上述3個方面分別進行應(yīng)用研究。表1給出了我國某航空制導(dǎo)武器項目的歷史數(shù)據(jù)，本節(jié)后續(xù)的應(yīng)用研究將以此為依據(jù)。由于保密原因，數(shù)據(jù)進行了處理，但不影響研究結(jié)果的給出。

表1　某項目歷史數(shù)據(jù)

3.1事后評估應(yīng)用

根據(jù)表1給出的歷史數(shù)據(jù)，基于式(6)和式(7)式描述的傳統(tǒng)最小二乘法，很容易得出m值和a值分別為2.823 014和0.014 686。在傳統(tǒng)最小二乘法的基礎(chǔ)上，增加式(8)描述的累計經(jīng)費約束方程，可得出一組新的m值和a值分別為2.925 198和0.013 720。根據(jù)兩種方法確定的m值和a值，可以給出兩種方法確定的項目累計支出擬合值，詳見表2和圖1。

表2　兩種方法擬合數(shù)據(jù)對比

圖1　兩種方法擬合數(shù)據(jù)對比

從對比數(shù)據(jù)可以看出，在項目結(jié)束的第7年，采用傳統(tǒng)最小二乘法擬合的累計支出額為0.971 832，“待支出額”為0.028 168，而采用帶約束的最小二乘法擬合的累計支出額為0.982 896，“待支出額”僅為0.017 104，較傳統(tǒng)方法減小了0.011 064，累計擬合效果有了較大改善。

3.2事中預(yù)測應(yīng)用

仍然以表1給出的數(shù)據(jù)為例，假設(shè)項目目前進行到第4年末，前4年的累計支出數(shù)據(jù)已知，分別用傳統(tǒng)最小二乘法和帶約束的最小二乘法對后續(xù)三年的支出情況進行預(yù)測。經(jīng)計算，采用傳統(tǒng)最小二乘法給出的m值和a值分別為2.745 082和0.015 333，采用帶約束的最小二乘法給出的m值和a值分別為2.961 309和0.013 587，兩種方法給出的預(yù)測數(shù)據(jù)詳見表3和圖2。

表3　兩種方法預(yù)測數(shù)據(jù)對比

圖2　兩種方法擬合數(shù)據(jù)對比

從表3對比數(shù)據(jù)可以看出，在項目結(jié)束的第7年，傳統(tǒng)最小二乘法預(yù)測的累計支出值為0.959 337，“待支出額”達0.040 663，而帶約束的最小二乘法預(yù)測的累計支出值為0.986 730，“待支出額”僅為0.013 270，兩種方法預(yù)測的累計誤差額相差3倍之大。

3.3事前預(yù)估應(yīng)用

在實際項目管理過程中，往往會有“時間過半、任務(wù)過半”的進度要求。根據(jù)項目掙值管理理論，任務(wù)過半也即預(yù)算過半。若項目研制過程基本按計劃執(zhí)行，其時間和經(jīng)費分布服從Weibull分布，則“時間過半、任務(wù)過半”的Weibull理論實現(xiàn)就可以用約束式(9)來描述?；诖耍陧椖壳捌谝?guī)劃過程中，如果對項目開始年份和中間年份的經(jīng)費管理給出一定要求，比如項目第一年支出占項目總經(jīng)費的1%，中間年份累計支出占項目總經(jīng)費的50%等，就可以對項目整個研制周期內(nèi)的經(jīng)費安排情況進行初步預(yù)估。

為了對事前預(yù)估的效果做對比評估，本節(jié)仍然以前面給出的某項目為估算對象。假定在項目開始規(guī)劃過程中，第1年項目支出占總經(jīng)費的比例為1%，第4年累計支出占總經(jīng)費的50%，即“時間過半、任務(wù)過半”，第7年，也即項目結(jié)束年，累計支出占總經(jīng)費的99.5%。運用前面介紹的方法，我們可以得到一組m值和a值分別為2.997 390和0.013 385，并由此給出的各年度預(yù)估值和累計預(yù)估值分別見表4、圖3和表5、圖4。

表4　預(yù)估各年度數(shù)據(jù)與實際數(shù)據(jù)對比

圖3　預(yù)估各年數(shù)據(jù)與實際數(shù)據(jù)對比

從表4和表5對比數(shù)據(jù)可以看出，規(guī)劃(預(yù)估)的項目累計支出與實際累計支出總體相差較小，僅有1.04%，但各年度規(guī)劃(預(yù)估)額與實際支出額之間的差異較大，規(guī)劃的經(jīng)費支出峰值與實際相差1年。分析項目實際研制過程發(fā)現(xiàn)，在第3年和第4年期間，早期規(guī)劃的某關(guān)鍵技術(shù)沒有按照原計劃節(jié)點順利突破，某重大外場試驗因天氣原因沒有按時完成，進而導(dǎo)致其對應(yīng)的經(jīng)費沒有按照計劃(預(yù)算)執(zhí)行。也就是說，項目實際并沒有嚴(yán)格按照理論過程進行，其實際支出與規(guī)劃存在較大差異。

綜上分析，如果項目嚴(yán)格按照計劃開展，過程中沒有大的變更，運用基于累計經(jīng)費約束的最小二乘法對項目研制經(jīng)費進行預(yù)估能收到較好的效果，可以為項目決策者提供較有力的決策依據(jù)。

表5　預(yù)估各年累計數(shù)據(jù)與實際數(shù)據(jù)對比

圖4　預(yù)估各年累計數(shù)據(jù)與實際數(shù)據(jù)對比

3.4應(yīng)用綜合分析

從上述應(yīng)用研究結(jié)果可以看出，不論是傳統(tǒng)最小二乘法還是本文提出的帶約束最小二乘法給出的累計結(jié)果與實際值均存在一定偏差，從航空制導(dǎo)武器項目經(jīng)費管理實際情況來看，累計誤差在2%以內(nèi)是完全可以接受的。實際上，在項目經(jīng)費的具體管理過程中，一般允許留有一定的不可預(yù)計費，不同項目不可預(yù)見費比例不一樣，通常情況下可以按照項目總經(jīng)費的3%計算，研究結(jié)果中2%左右的誤差對應(yīng)的經(jīng)費額在實際應(yīng)用過程中可以按照不可預(yù)見費來考慮。

此外，對于大型復(fù)雜項目，不確定因素多，研制周期長，其研制過程往往不能完全按照事先計劃進行，其經(jīng)費投入也往往不是呈現(xiàn)為單峰值分布，而是雙峰值或多峰值分布。針對此類項目，可先把大型復(fù)雜項目分解為若干子項目，然后對各子項目采用上述方法分別進行研究，最后疊加即可得到整個項目的研究結(jié)果。

4結(jié)束語

針對傳統(tǒng)最小二乘參數(shù)估計法存在的問題，本文以Weibull時間-經(jīng)費分布模型為基礎(chǔ)，提出了基于累計經(jīng)費約束的最小二乘法，給出了幾種常用的期望累計經(jīng)費樣本約束條件。為了驗證本文所提方法的有效性，以某項目為例，從事后評估、事中預(yù)測和事前預(yù)估3個方面進行了應(yīng)用研究，研究結(jié)果表明，與傳統(tǒng)最小二乘法相比，本文提出的發(fā)放具有更好的項目累計經(jīng)費擬合效果和后續(xù)經(jīng)費預(yù)測效果，對我國航空制導(dǎo)武器項目經(jīng)費管理具有較大的指導(dǎo)意義和應(yīng)用價值。

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(責(zé)任編輯唐定國)

【后勤保障與裝備管理】

Study on Air-Borne Project Cost Management by Weibull Distribution

LIU Hao-min

(China Airborne Missile Academy, Luoyang 471000, China)

Abstract:Scientific and appropriate cost estimating of project can be used in making important strategic decision for project application and project budget planning. Firstly, based on the Weibull distribution theory, a new least squares parameter estimating method that was based on total cost constraint and some common constraint conditions about total cost constraint of project were presented. Secondly, the article discussed the application in the air-borne project using the theory presented. Finally, a comprehensive analysis was summed up.

Key words:Weibull distribution; total cost constraint; least squares

文章編號：1006-0707(2016)01-0102-05

中圖分類號：V219

文獻標(biāo)識碼：A

doi:10.11809/scbgxb2016.01.024

作者簡介：劉浩敏(1982—)，男，碩士，工程師，主要從事航空制導(dǎo)武器總體設(shè)計、航空制導(dǎo)武器項目經(jīng)費管理等研究。

收稿日期：2015-06-25；修回日期：2015-07-15