韓 艷， 胡曉飛， 劉 秀

(昭通學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 云南 昭通 657000)

●數(shù)學(xué)研究

錐度量空間中c距離下擴(kuò)張映射的新不動(dòng)點(diǎn)定理

韓 艷， 胡曉飛， 劉 秀

(昭通學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 云南 昭通 657000)

在c-距離下的錐度量空間中研究有關(guān)擴(kuò)張映射的不動(dòng)點(diǎn)存在問(wèn)題, 且分別去掉了錐的正規(guī)性和映射的連續(xù)性, 所得結(jié)論改進(jìn)并推廣了原有的一些重要結(jié)論.

錐度量空間； c-距離； 擴(kuò)張映射

1 預(yù)備知識(shí)

最近許多學(xué)者研究討論并指出錐度量空間，或者是tvs-錐度量空間是度量空間的推廣，見(jiàn)文[1,4,5].但是大部分都是研究錐度量空間中壓縮映射的不動(dòng)點(diǎn)定理，有關(guān)擴(kuò)張映射的不動(dòng)點(diǎn)定理相對(duì)較少，文[2]在完備的錐度量空間中要求連續(xù)的條件下討論了一個(gè)擴(kuò)張映射的不動(dòng)點(diǎn)定理.文[3,6,7]在錐度量空間中引入了一個(gè)新的概念，即c-距離，它是對(duì)w-距離(文[10])的一個(gè)推廣.緊接著，文[8,9]討論了有關(guān)錐度量空間中c-距離下多個(gè)壓縮映射的不動(dòng)點(diǎn)定理. 在本文中, 我們繼續(xù)在錐度量空間中, 分別去掉映射連續(xù)性和錐的正規(guī)性這兩個(gè)條件下，進(jìn)一步探討c-距離下擴(kuò)張映射的不動(dòng)點(diǎn)定理, 最終結(jié)論改進(jìn)和推廣了原有的一些結(jié)論.

設(shè)E是實(shí)Banach空間,θ是E中零元,P是E中非空閉凸集,稱P是E中的錐,若

(i)x∈P且λ≥0則λx∈P;

(ii)x∈P且-x∈P, 則x=θ.

設(shè)P是E中的錐,≤是由P定義的半序, 即?x,y∈E,y-x∈P,則x≤y. 錐P稱為正規(guī)錐,如果存在常數(shù)K>0, 使得θ≤x≤y(?x,y∈E)蘊(yùn)含‖x‖≤K‖y‖, 其中K為正規(guī)常數(shù). 用x?y表示y-x∈intP.

定義1.1[1]設(shè)X是一個(gè)非空集合. 若映射d:X×X→E滿足

(i)θ≤d(x,y)對(duì)一切x,y∈X.d(x,y)=θ當(dāng)且僅當(dāng)x=y;

(ii)d(x,y)=d(y,x) ?x,y∈X;

(iii)d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y) ?x,y,z∈X.

則稱d是X的一個(gè)錐度量.(X,d)稱為錐度量空間.

定義1.2[1]設(shè)(X,d)為錐度量空間,x∈X且{xn}n≥1是X中的一個(gè)序列. 則

(i) 若對(duì)任意的c∈intP, 存在正整數(shù)N, 使得對(duì)所有的n,m>N,d(xn,xm)?c,則稱{xn}n≥1Cauchy列;

(ii) 若對(duì)任意的c∈intP, 存在正整數(shù)N, 使得對(duì)所有的n>N,d(xn,x)?c,則稱{xn}n≥1為收斂列;

(iii) 若X中的每個(gè)Cauchy列都收斂, 則(X,d)為完備的錐度量空間.

定義1.3[6]設(shè)(X,d)為錐度量空間, 映射q:X×X→E滿足下列條件:

(i) ?x,y∈X,θ≤q(x,z);

(ii) ?x,y,z∈X,q(x,z)≤q(x,y)+q(y,z);

(iii) ?x∈X若存在u=ux∈P使得q(x,yn)≤u, 且序列{yn}收斂到一點(diǎn)y∈X, 則有d(x,y)≤u;

(iv)對(duì)任意c∈E且c?θ存在e∈E且e?θ, 使得當(dāng)q(z,x)?e,q(z,y)?e時(shí)有d(x,y)?c,則稱q為X上的c-距離.

引理1.1[6]設(shè)(X,d)是錐度量空間,q為X上的c-距離,{xn},{yn}是X中的序列.設(shè)x,y,z∈X,{un}是錐P中收斂到 的一個(gè)序列, 則下列結(jié)論成立:

(i) 若q(xn,y)≤un且q(xn,z)≤un,則y=z;

(ii) 若q(xn,yn)≤un且q(xn,y)≤un, 則{yn}收斂到一點(diǎn)z∈X;

(iii) 若對(duì)任意的m>n有q(xn,xm)≤un, 則{xn}是X中的一個(gè)Cauchy列;

(iv) 若q(y,xn)≤un, 則{xn}是X中的一個(gè)Cauchy列.

引理1.2[4]錐度量空間中收斂序列的極限是唯一的.

2 主要結(jié)果

定理2.1 設(shè)(X,d)為完備的錐度量空間,q為X上的c-距離, 設(shè)連續(xù)映射f∶X→X是滿射與映射α,β,γ是X上的非負(fù)實(shí)值函數(shù)滿足如下條件:

(1) ?x∈X,α(x)≥α(fx)，β(x)≥β(fx),γ(x)≥γ(fx)

且α(x)+β(x)+γ(x)>1,β(x)<1

(2) 對(duì)任意的x,y∈X,

(2.1)

則映射f存在一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)x*∈X,并且迭代序列{fnx}收斂到不動(dòng)點(diǎn)x*．

證明 ?x0∈X, 因?yàn)閒是滿射,故?x1∈X使得x0=fx1, 依次類推,定義{xn}如下：xn=fxn+1,n=0,1,2….由(2. 1)式得

即得

(2.2)

由(2.2)式知, 對(duì)任意的m>n≥1, 根據(jù)三角不等式得

于是由k∈(0,1), 根據(jù)引理1.1(iii)得{xn}是(X,d)中的Cauchy列.

由X的完備性知, 存在x*∈X使得當(dāng)n→∞時(shí)有xn→x*, 又根據(jù)映射f的連續(xù)性,得fxn→fx*, 即xn-1→fx*. 根據(jù)引理1.2,有fx*=x*,故x*為映射f的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn),同并且迭代序列{fnx}收斂到x*．

推論2.2[11]設(shè)(X,d)為完備的錐度量空間,q為X上的c-距離,設(shè)連續(xù)映射f∶x→X是滿射與映射k∶X→(1,+∞)滿足如下條件:

(1) ?x∈X,k(x)≥k(fx);

(2) 對(duì)?x,y∈X,

q(fx,fy)≥k(x)q(x,y)

則f有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)x*∈X, 迭代序列{fnx}收斂到不動(dòng)點(diǎn)．

推論2.3 設(shè)(X,d)為完備的錐度量空間,q為X上的c-距離,設(shè)連續(xù)映射f∶x→X是滿射滿足如下條件:?x,y∈X, 有常數(shù)α,β,γ滿足α+β+γ>1，β<1使得

則映射f有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)x*∈X，并且迭代序列{fnx}收斂到不動(dòng)點(diǎn)x*．

定理2.4 設(shè)(X,d)為完備的錐度量空間,P是正規(guī)常數(shù)為K的正規(guī)錐.q為X上的c-距離,設(shè)映射f∶x→X是滿射與映射α,β,γ是X上的非負(fù)實(shí)值函數(shù)滿足如下條件:

(1) ?x∈X，α(x)≥α(fx),β(x)≥β(fx),γ(x)≥γ(fx),

且α(x)+β(x)+γ(x)>1,β(x)<1

(2) 對(duì)任意的x,y∈X,

(2.3)

(3) ?y∈X,fy≠y時(shí),0

則映射f有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)x*∈X, 并且迭代序列{fnx}收斂到不動(dòng)點(diǎn)x*．

證明 ?x0∈X,因?yàn)閒是滿射, 所以?x1∈X使得x0=fx1,依次類推, 定義{xn}如下：xn=fxn+1,n=0,1,2…

類似于定理2.1可得，對(duì)任意的m>n≥1, 有

(2.4)

(2.5)

而P是正規(guī)常數(shù)為K的正規(guī)錐由(2.5)式得

(2.6)

由(2.4)式知對(duì)任意的m>n≥1,有

(2.7)

若fx*≠x*,則在(2.6)和(2.7)中令m=n+1有

矛盾. 故有fx*=x*,即x*為f的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn), 并且迭代序列{fnx}收斂到不動(dòng)點(diǎn)x*．

推論2.5[11]設(shè)(X,d)為完備的錐度量空間,P是正規(guī)常數(shù)為K的正規(guī)錐.q為X上的c-距離, 設(shè)映射f∶X→X是滿射與映射k∶X→(1,+∞)滿足如下條件:

(1) ?x∈X,k(x)≥k(fx)

(2) 對(duì)任意的x,y∈X,

q(fx,fy)≥k(x)q(x,y)

(3) ?y∈X,fy≠y時(shí),0

則f有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)x*∈X, 迭代序列{fnx}收斂到不動(dòng)點(diǎn)．

推論2.6 設(shè)(X,d)為完備的錐度量空間,q為X上的c-距離, 設(shè)映射f∶X→X,是滿射滿足如下條件:

(1) 對(duì)任意的x,y∈X, 存在常數(shù)α,β,γ滿足α+β+γ>1，β<1使得

(2) ?y∈X,fy≠y時(shí),0

則f有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)x*∈X, 迭代序列{fnx}收斂到不動(dòng)點(diǎn)．

注 文[3, 5, 6]中的許多結(jié)果都要求映射的非減性,本文中的結(jié)論均不要求映射的非減性.同時(shí)定理2.1,推論2.2,2.3不要求錐的正規(guī)性,定理2.4, 推論2.5—2.6不要求映射的連續(xù)性，系數(shù)上由原來(lái)的一個(gè)增加到三個(gè)，改進(jìn)了文[11]. 此外, 若在本文的定理中令E=,P=[0,+∞),可相應(yīng)得到有關(guān)度量空間中許多有意義的不動(dòng)點(diǎn)理論.

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Fixed point theorems under c-distance of expanding mappings in cone metric spaces

HAN Yan， HU Xiao-fei， LIU Xiu

(School of Mathematics and Statistics, Zhaotong University, Zhaotong 657000, China)

In this paper, some fixed point results for c-distance in cone metric spaces for expanding mappings are obtained. Then, we deleted the normal cone and the continuity of the mappings in the theorems, respectively. The results generalize and improve some well-known comparable results.

Cone metric space; c-distance; Fixed point

2016-08-09

云南省應(yīng)用基礎(chǔ)研究項(xiàng)目(青年項(xiàng)目)(2016FD082)；昭通學(xué)院校級(jí)科學(xué)研究課題(2016xj32).

韓艷(1986— )，女，湖北黃岡人，講師，碩士，主要從事非線性分析研究.

O177.91

A

2095-7408(2016)05-0015-04