楊子蘭， 楊惠娟

●數(shù)學(xué)研究

一類分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的可導(dǎo)性及連續(xù)性

楊子蘭1， 楊惠娟2

(1.云南大學(xué) 旅游文化學(xué)院 信息科學(xué)與技術(shù)系， 云南 麗江 674100； 2. 昭通學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 云南 昭通 657000)

通過應(yīng)用Taylor公式及導(dǎo)數(shù)極限定理，對(duì)一類分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的可導(dǎo)性及連續(xù)性展開探討，并進(jìn)行推廣，得到較好的結(jié)果.

泰勒公式； 麥克勞林公式； 連續(xù)性； 可導(dǎo)性

判斷函數(shù)的連續(xù)性及可導(dǎo)性是數(shù)學(xué)分析中的一個(gè)重要內(nèi)容之一.但是很少有文獻(xiàn)針對(duì)分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的可導(dǎo)性問題展開討論.本文通過對(duì)一類分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的可導(dǎo)性及連續(xù)性展開探討，并應(yīng)用Taylor公式及導(dǎo)數(shù)極限定理，證明該函數(shù)在分段點(diǎn)處的可導(dǎo)性，并對(duì)結(jié)論進(jìn)行推廣，得到較好的結(jié)果.

1 理論基礎(chǔ)準(zhǔn)備

定理1[1](帶有佩亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式)若函數(shù)f在點(diǎn)x0存在直至n階的導(dǎo)數(shù)，則有

定理2[1](帶有佩亞諾型余項(xiàng)的麥克勞林公式)若函數(shù)f在點(diǎn)x0=0處存在直至n階的導(dǎo)數(shù)，則有

定理3[2](導(dǎo)數(shù)極限定理)若函數(shù)f在點(diǎn)α的某鄰域U(α)內(nèi)連續(xù)，在U(α)-{α}內(nèi)可導(dǎo).若導(dǎo)函數(shù)在α存在極限，則函數(shù)f在點(diǎn)α也可導(dǎo)，而且f′(x)在α連續(xù).

2 一類分段函數(shù)的可導(dǎo)性及連續(xù)性

定理4[2]若函數(shù)f滿足f(0)=0，且存在f″(0)，則函數(shù)

證明： 當(dāng)x≠0時(shí)，由導(dǎo)數(shù)的定義有

(1)

因?yàn)?/p>

所以g在x=0處連續(xù).

因?yàn)閒(x)，f′(x)的帶有佩亞諾型余項(xiàng)的麥克勞林展開式分別為

和

帶入(1)式得

定理5 若函數(shù)f滿足f(0)=0，且存在f?(0)，則函數(shù)

證明： 當(dāng)x≠0時(shí)，由導(dǎo)數(shù)的定義有

(2)

因?yàn)閒(x)，f′(x)，f″(x)的帶有佩亞諾型余項(xiàng)的麥克勞林展開式分別為

帶入(2)式得

受到定理4、定理5的啟發(fā)，得到定理6、定理7：

定理6 若函數(shù)f滿足f(0)=0，且存在f(n+1)(0)，則函數(shù)

證明： 當(dāng)x≠0時(shí)，由導(dǎo)數(shù)的定義有

(3)

上式中規(guī)定f(0)(x)=f(x)

因?yàn)閒(x)，f′(x)，f″(x)，…，f(n)(x)的帶有佩亞諾型余項(xiàng)的麥克勞林展開式分別為

帶入(3)式得

定理7 若函數(shù)f滿足f(0)，且存在f(n+1)(0)，則函數(shù)

在x=0存在直至n階的導(dǎo)數(shù)，且有麥克勞林展開式為

證明： 由定理4、5、6知g在x=0處存在直至n階的導(dǎo)數(shù)，且

所以g在x=0處的麥克勞林公式為

由定理7可知函數(shù)g的麥克勞林公式可由函數(shù)f的麥克勞林展式除以x得到.

[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系. 數(shù)學(xué)分析(上冊(cè))第三版[M]. 北京：高等教育出版社，2001：134—136.

[2]謝惠民， 易法槐， 錢定邊， 等. 數(shù)學(xué)分析習(xí)題課講義[M]. 北京：高等教育出版社，2010：195、232.

The differentiability and continity of a class of piecewise functions at piecewise point

YANG Zi-lan1， YANG Hui-juan2

(1.Department of Information Science and Technology,Tourism and Culture College,Yunnan University， lijiang 674100, China; 2. School of Mathematics and Statistics, Zhaotong University, Zhaotong 657000, China)

The paper discusses differentiability and continity of a class of piecewise functions at piecewise point the continuity and the continuity of a class of piecewise function at the point of subsection by the application of the Taylor formula and the derivative limit theorem, and carries on the promotion, and gets better results.

Taylor formula; Maclaurin formula; Continuity; Differentiability

2016-06-14

云南省教育廳科學(xué)研究基金項(xiàng)目(2016ZDX152)；云南大學(xué)旅游文化學(xué)院院級(jí)項(xiàng)目(2015XY08).

楊子蘭(1985— )，女，云南楚雄人，講師，碩士，主要從事組合最優(yōu)化研究.

O172.1

A

2095-7408(2016)05-0011-04