王　草，鄒阿鳴，張　龍，李全旺

(清華大學(xué)　土木工程學(xué)院，北京　100084)

?

考慮車載歷史信息的既有橋梁可靠度更新方法

王草，鄒阿鳴，張龍，李全旺

(清華大學(xué)土木工程學(xué)院，北京100084)

摘要：基于貝葉斯更新理論，提出了考慮車載歷史的既有橋梁可靠度更新方法。該方法考慮了結(jié)構(gòu)承載力的衰減和荷載隨機過程的不確定性，并給出了顯式公式。本文對一座既有橋梁進行可靠度分析，并通過與Monte Carlo模擬結(jié)果對比，證實了本文方法的準確性。隨后利用本文提出的方法，分析了橋梁可靠度的更新對車載歷史和承載力衰減過程的敏感性。結(jié)果表明，車載大小和承載力衰減程度對可靠度的更新效果有顯著影響。當(dāng)車載歷史中包含超載現(xiàn)象或橋梁承載力明顯劣化時，更新后的可靠度更能反映既有橋梁真實的可靠度水平，而不考慮車載歷史則會明顯低估橋梁的可靠度水平。

0引言

對于既有橋梁，自然老化、車輛載荷增加以及使用過程中的碰撞損傷等因素會導(dǎo)致結(jié)構(gòu)承載力的降低，從而影響其正常運營[1]。通常出于經(jīng)濟性的考慮，對所有危橋采取構(gòu)件更換、加固等措施是不現(xiàn)實的；可取的做法是先對橋梁進行安全評價，以此作為后續(xù)制訂維護、修復(fù)、管理措施的依據(jù)[2]。以概率統(tǒng)計為基礎(chǔ)的結(jié)構(gòu)可靠度分析，著眼于結(jié)構(gòu)在服役過程中的承載力及荷載的不確定性，并基于實測和統(tǒng)計，為結(jié)構(gòu)的安全性提供定量的評估。這一理論已成為既有橋梁狀態(tài)評估和工程決策的基礎(chǔ)[3]。

在對橋梁進行安全評估時，可以通過檢測、試驗等手段獲得關(guān)于該橋梁的有效信息。利用這些信息，結(jié)合相應(yīng)的計算技巧，可以有效提高評估結(jié)果的準確性。Law和Li[4]、Zhu和Wu[5]、Okasha等[6]的研究中利用了橋梁的健康監(jiān)測數(shù)據(jù)來更新橋梁可靠度計算中的相關(guān)參數(shù)，進而更新可靠度的評估結(jié)果。但是這些方法中涉及到復(fù)雜的數(shù)學(xué)運算，且需要考慮到橋梁體系可靠度的整體效應(yīng)，目前難以在實踐中推廣應(yīng)用。橋梁荷載試驗[7-8]是一種常見的橋梁承載力評估方法，它能夠直接確定橋梁的承載能力是否滿足既定要求。然而，由于該方法成本昂貴，應(yīng)用往往受到限制。Hall于1988年[9]提出將橋梁在服役過程中的車載歷史看作該橋的試驗荷載，并基于貝葉斯更新模型，給出了考慮歷史車載信息的橋梁承載力更新方法。雖然該方法忽略了結(jié)構(gòu)承載力的劣化，但為隨后利用既有橋梁歷史信息更新其承載力的研究和工程實踐奠定了基礎(chǔ)。此后，Stewart等[1]基于Monte Carlo模擬，研究了考慮結(jié)構(gòu)劣化時，車載歷史信息以及荷載試驗對橋梁可靠度的更新效果。然而該方法需要多次重復(fù)模擬，計算代價巨大。因此，有必要尋求一種簡便的方法來利用橋梁歷史荷載信息對其可靠度進行更新。

本文基于貝葉斯更新理論，提出考慮歷史車載信息的既有橋梁可靠度分析方法。該方法考慮了結(jié)構(gòu)承載力的衰減和荷載過程的不確定性，并利用已有車載信息來更新橋梁的可靠度。本文方法給出了可靠度更新方法的顯式公式，方便在實踐中推廣應(yīng)用。

1結(jié)構(gòu)可靠度

橋梁結(jié)構(gòu)在時間段(0,T]內(nèi)的可靠度，L(0,T)，是指結(jié)構(gòu)承受的荷載在時間(0,T]內(nèi)不超過其承載能力的概率[10]。假設(shè)在t1,t2, … ，tn時刻分別發(fā)生了一次車載事件，對應(yīng)的荷載效應(yīng)分別記作S1,S2，…，Sn，則有：

(1)

式中，Pr{}表示括號中事件的發(fā)生概率；R1,R2，…，Rn分別表示t1,t2,…，tn時刻結(jié)構(gòu)的承載力。

對劣化結(jié)構(gòu)進行可靠度分析時，需要考慮到承載力的時變特征。通?？梢杂檬?2)來描述結(jié)構(gòu)承載力的衰減：

(2)

式中，R(t)為t時刻結(jié)構(gòu)的承載力；R0為初始承載力；g(t)為衰減函數(shù)。g(t)可由實測數(shù)據(jù)擬合或者機理研究等手段獲得。Enright等[11]研究了RC結(jié)構(gòu)由于鋼筋銹蝕引起的結(jié)構(gòu)承載力劣化，給出了如式(3)所示的衰減函數(shù)：

(3)

式中，k1和k2為與時間t無關(guān)的參數(shù)；Tinitial表示劣化起始時間。這些參數(shù)的取值為：

(4)

對應(yīng)于這3種退化類型，圖1給出了40 a內(nèi)衰減函數(shù)g(t)隨時間t的變化規(guī)律。在40 a的時間里，慢速、中速、退化對應(yīng)的承載力分別下降1.5%，17.5%和30.5%。在后文的算例分析中，將會利用這3種衰減模型來描述混凝土結(jié)構(gòu)承載力的衰減。

圖1　衰減函數(shù)隨時間的變化Fig.1　Relationship between attenuation function and time

一般情況下，結(jié)構(gòu)承受的荷載過程具有隨機性。為了考慮荷載過程的隨機性，用平穩(wěn)Poisson過程來描述荷載的發(fā)生，Poisson強度為λ(即在單位時間里平均有λ次荷載發(fā)生)。假定各荷載效應(yīng)獨立同分布，累積密度函數(shù)記作FS(s)，如圖2所示，則式(1)變?yōu)閇10]：

(5)

式中fR0(r)為初始承載力R0的概率密度函數(shù)；N=g(t)。

圖2　承載力衰減和荷載過程的隨機性Fig.2　Stochastic loading process and resistance deteriorating process

現(xiàn)考慮該結(jié)構(gòu)從建成后T1時刻開始，后續(xù)T時間內(nèi)的可靠度為L(T1,T1+T)。

首先，將式(5)改寫為：

(6)

這表明，若λ，fR0(r)和FS(s)保持恒定，則結(jié)構(gòu)在時間段(0,T]內(nèi)的可靠度只取決于結(jié)構(gòu)在此時間段內(nèi)的承載力大小以及此時間段的始末時刻。因此，根據(jù)式(6)：

(7)

注意到式(7)給出的結(jié)構(gòu)可靠度考慮了結(jié)構(gòu)承載力的衰減，但沒有涉及在T1時刻之前的歷史荷載信息。在下一節(jié)中將討論如何利用車載歷史信息對結(jié)構(gòu)可靠度進行更新。

2考慮車載歷史的可靠度更新方法

貝葉斯更新方法是處理后驗概率問題的重要手段[12]。對于事件A和事件B，由貝葉斯公式，有

(8)

式中，A|B表示已知事件B發(fā)生時事件A發(fā)生；AB表示事件A和B同時發(fā)生。

現(xiàn)在考慮利用結(jié)構(gòu)的服役歷史信息來更新結(jié)構(gòu)的可靠度。假設(shè)某結(jié)構(gòu)已正常服役時間為T1，考慮其在隨后的T時間內(nèi)正常服役的可靠度，Lu(T1,T+T1)。

令事件A表示結(jié)構(gòu)在時間段(T1,T+T1]內(nèi)正常服役，事件B表示結(jié)構(gòu)在時間段(0,T1]內(nèi)正常服役，則：

(9)

注意到式(9)給出的是利用歷史荷載信息更新后的結(jié)構(gòu)可靠度，區(qū)別于式(7)給出的不考慮歷史荷載信息的可靠度。

將式(8)代入式(9)中，有：

(10)

式中，Pr(B)=L(0,T1)，在式(5)中已經(jīng)給出；Pr(AB)=L(0,T+T1)，且：

(11)

式中，N=g(t)將式(11)和式(5)代入式(10)中，

(12)

式(12)即為本文提出的考慮歷史荷載信息的既有橋梁可靠度更新公式。公式中包含兩重積分，可利用簡單的黎曼積分進行計算。需要指出的是，一些積分技巧(比如Simpson積分法等[13])可以大大提高積分的計算效率。根據(jù)計算得到的Lu(T1,T+T1)，可進一步給出對應(yīng)的可靠度指標βu(T1,T+T1)：

(13)

式中，φ-1()表示標準正態(tài)分布的累積密度函數(shù)反函數(shù)。類似地，對于式(7)中的L(T1,T+T1)，對應(yīng)的可靠度指標為：

(14)

3算例分析

本節(jié)通過算例說明式(12)的準確性，并通過對比式(7)和式(12)，討論結(jié)構(gòu)可靠度的更新效果對車載強度、承載力衰減程度等因素的敏感性。

圖3　某預(yù)應(yīng)力混凝土橋(單位：cm) Fig.3　A prestressed concrete bridge(unit:cm)

某預(yù)應(yīng)力混凝土空心板橋已服役20 a，如圖3所示。混凝土強度為C40；預(yù)應(yīng)力筋采用φs12.7鋼絞線，7根為一束，每塊板各7束。普通鋼筋為HRB 335，每塊板配置5φ12[14]。根據(jù)規(guī)范[15]，計算得空心板跨中截面抗彎承載力為567.86 kN·m，結(jié)構(gòu)自重引起的跨中彎矩為222.66 kN·m?？紤]到初始承載力的不確定性，參考相關(guān)研究[10, 16]，認為其服從對數(shù)正態(tài)分布，變異系數(shù)為0.15，則可得到初始抗彎承載力的概率密度函數(shù)fR0(r)：

(15)

假定該橋梁承載力的衰減可以用式(3)和式(4)來描述(中速衰減)。根據(jù)規(guī)范[17]，計算得該橋梁承受的一年一遇(λ=1)最大車載引起的空心板跨中截面彎矩服從極值I型分布，均值為 51.75 kN·m，標準差為18.59 kN·m，則其累積密度函數(shù)為FS(s)為：

(16)

式中s的單位為kN·m。

考慮到該橋梁處在重車密集的公路上，在服役過程中承受的實際車載遠大于規(guī)范荷載[18]，本文另外假設(shè)了兩種車載效應(yīng)，其引起的空心板跨中截面彎矩效應(yīng)如表1所示。

表1　各車載模型引起的板跨中截面彎矩

注：變異系數(shù)為標準差與均值的比值。

考慮從當(dāng)前時刻(T1=20 a)開始后若干年內(nèi)該橋梁的可靠度，年最大車載效應(yīng)假設(shè)為車載1。令式(12)中的T=1, 2, … ,15 a，可分別計算得該橋從當(dāng)前時刻開始，后續(xù)1, 2, … 15 a內(nèi)的可靠度Lu(T1, T+T1)， 進而由式(13)計算得各種情況對應(yīng)的可靠度指標，如圖4所示。為了說明歷史荷載對橋梁可靠度的更新效果，由式(7)計算出不考慮歷史荷載情況下的可靠度L(T1, T+T1)， 將對應(yīng)的可靠度指標繪制于圖4中。從中可以看到，考慮歷史荷載信息可以顯著提高橋梁可靠度的評估結(jié)果。

圖4　后續(xù)時間T內(nèi)的橋梁可靠度指標Fig.4　Bridge reliability indices for subsequent T years

為了說明式(12)的準確性，利用Monte Carlo模擬的方法重新計算考慮歷史車載作用時，該橋梁在后續(xù)T年內(nèi)的可靠度。具體步驟為：

(1)令變量COUNT1=0，COUNT2=0。

(2)隨機生成初始抗彎承載力R0的一個樣本值r0，服從式(15)所示的對數(shù)正態(tài)分布。

(3)隨機生成一個Poisson數(shù)m，均值為λ×(T+T1)；然后生成m個在(0,T+T1]上均勻且獨立同分布的時刻t1

(4)對應(yīng)于ti時刻，i= 1, 2,…,m，根據(jù)車載效應(yīng)累積密度函數(shù)，分別生成一個車載效應(yīng)樣本值si，其累積密度函數(shù)如式(16)所示。

(5)如果對于所有的i=1,2,…,n， 均有r0×g(ti)-D≥si(D表示恒荷載)，則說明橋梁在(0,T1]時間段內(nèi)安全，令變量COUNT1增加1，然后進行下一步；否則，返回步驟(2)。

(6)如果對于所有的i=n+1,n+2,…,m，均有r0×g(ti)-D≥si，則說明橋梁在時間段(T1,T+T1]內(nèi)安全，令變量COUNT2增加1。

(7)重復(fù)步驟(2)～(6)多次，則COUNT2/COUNT1的比值趨近于Lu(T1,T+T1)。

對于每個T值，分別通過100萬次的蒙特卡洛數(shù)值模擬，得到Lu(T1,T+T1)模擬解對應(yīng)的可靠度指標如圖4所示。從圖中可見，Monte Carlo模擬的結(jié)果與式(12)的計算結(jié)果完全重合，由此證明了本文公式的正確性。

為了討論車載效應(yīng)大小對橋梁可靠度更新的影響，分別考慮規(guī)范荷載，車載1和車載2這3種情況，利用式(12)計算出橋梁更新后的可靠度，并與利用式(7)計算出的可靠度進行對比，對比結(jié)果如圖5所示。從圖中可以看到，車載效應(yīng)越大，則橋梁的可靠度越小，但可靠度的更新效果也越明顯。以βu(20, 35)為例，車載1對應(yīng)的可靠度指標由更新前的1.86升至1.93，而車載2對應(yīng)的可靠度指標由1.23更新至1.44。這說明超載車輛在引起橋梁更大服役風(fēng)險的同時，也對橋梁可靠度的評估有著明顯的提升作用，更新后的結(jié)構(gòu)可靠度更能反映既有橋梁真實的可靠度水平，而不考慮車載歷史則會低估橋梁的可靠度水平。另外可以看到，如果歷史荷載是規(guī)范荷載，可靠度的更新效果不明顯。這說明，在對橋梁進行可靠度評估時，如果實際車載不高于規(guī)范荷載，則考慮或不考慮歷史信息得到的可靠度結(jié)果接近。

圖5　考慮不同車載作用時的可靠度指標Fig.5　Reliability indicies considering different vehicle loads

圖6　考慮不同衰減程度時的可靠度指標Fig.6　Reliability indicies considering different deteriorating degrees

考慮橋梁承載力的衰減程度對后續(xù)服役期內(nèi)可靠度的影響。分別考慮如式(3)和式(4)所示的3種衰減速度，年最大車載效應(yīng)為車載1。分別由式(12)和式(7)計算得到考慮/不考慮車載歷史的結(jié)構(gòu)態(tài)可靠度，對應(yīng)可靠度指標如圖6所示。從圖中可以看到，橋梁承載力衰減越快，結(jié)構(gòu)的可靠度水平越低，但歷史荷載信息對可靠度的更新效果越好。這表明，在對既有橋梁進行安全評估時，利用車載歷史更新后的可靠度更能反映橋梁的真實可靠度水平，特別是在橋梁承載力退化嚴重的情況下；而在退化不嚴重的情況下，考慮/不考慮歷史荷載信息得到的可靠度評估結(jié)果比較接近。

4結(jié)論

本文提出了考慮車載歷史的既有橋梁可靠度更新方法，并結(jié)合算例，討論了承載力衰減、車載大小對可靠度更新效果的影響，得到如下結(jié)論：

(1)本文給出了考慮車載歷史的既有橋梁可靠度更新的顯式公式，并結(jié)合算例表明了該公式的準確性。

(2)車載大小影響既有橋梁在后續(xù)服役期內(nèi)的可靠度水平。車載越大，可靠度越小，但對可靠度的更新效果越明顯。而在規(guī)范荷載水平下，利用車載歷史更新后的可靠度與不考慮車載歷史的可靠度結(jié)果基本一致。

(3)橋梁承載力衰減程度對既有橋梁可靠度有顯著影響。承載力衰減越嚴重，可靠度越小，但歷史荷載信息對可靠度的更新效果越明顯。在橋梁承載力緩慢退化情況下(每年減少0.05%)，考慮/不考慮歷史荷載信息得到的可靠度比較接近。

(4)利用車載歷史信息更新后的可靠度更能反映既有橋梁真實的可靠度水平。在實際車流存在超載現(xiàn)象，或者橋梁承載力劣化明顯的情況下，應(yīng)當(dāng)對橋梁進行可靠度更新，以獲得更為真實的評估結(jié)果，避免不必要的加固和限行。

參考文獻：

References:

[1]STEWART M G，VAL D V. Role of Load History in Reliability-based Decision Analysis of Aging Bridges [J]. Journal of Structural Engineering，1999，125(7)：776-783.

[2]李全旺，王草，張龍. 考慮結(jié)構(gòu)劣化和荷載歷史的既有橋梁承載力更新 [J]. 清華大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2015，55(1)：8-13.

LI Quan-wang，WANG Cao，ZHANG Long. Updating for Bearing Capacity of Existing Bridges Considering Structural Deterioration and Loading History[J]. Journal of Tsinghua University：Science and Technology Edition，2015，55(1)：8-13.

[3]李全旺，李春前，孫健康. 基于結(jié)構(gòu)可靠性理論的既有橋梁承載能力評估[J]. 工程力學(xué)，2010，27(增2)：142-151.

LI Quan-wang, LI Chun-qian, SUN Jian-kang. Reliability Based Capacity Assessment of Existing Bridges [J]. Engineering Mechanics，2010，27(S2)：142-151.

[4]LAW S S，LI J. Updating the Reliability of a Concrete Bridge Structure Based on Condition Assessment with Uncertainties [J]. Engineering Structures，2010，32(1)：286-296.

[5]ZHU J S，WU J H. Study on System Reliability Updating through Inspection Information for Existing Cable-stayed Bridges [J]. Advanced Materials Research，2011(250/251/252/253): 2011-2015.

[6]OKASHA N M，F(xiàn)RANGOPOL D M，ORCESI A D. Automated Finite Element Updating Using Strain Data for the Lifetime Reliability Assessment of Bridges [J]. Reliability Engineering & System Safety， 2012，99：139-150.

[7]FABER M H，VAL D V，STEWART M G. Proof Load Testing for Bridge Assessment and Upgrading [J]. Engineering Structures，2000，22(12)：1677-1689.

[8]JTG/T J21—2011,公路橋梁承載能力檢測評定規(guī)程 [S].

JTG/T J21—2011, Specification for Inspection and Evaluation of Load-bearing Capacity of Highway Bridge[S].

[9]HALL W B. Reliability of Service-proven Structures [J]. Journal of Structural Engineering，1988，114(3)：608-624.

[10]MORI Y，ELLINGWOOD B R. Reliability-based Service-life Assessment of Aging Concrete Structures [J]. Journal of Structural Engineering，1993，119(5)：1600-1621.

[11]ENRIGHT M P，F(xiàn)RANGOPOL D M. Service-life Prediction of Deteriorating Concrete Bridges [J]. Journal of Structural Engineering，1998，124(3)：309-317.

[12]BECK J L，KATAFYGIOTIS L S. Updating Models and Their Uncertainties. I: Bayesian Statistical Framework [J]. Journal of Engineering Mechanics，1998，124(4)：455-461.

[13]李慶揚，王能超，易大義. 數(shù)值分析 [M]. 北京：清華大學(xué)出版社，2008.

LI Qing-yang，WANG Neng-chao，YI Da-yi. Numerical Analysis [M]. Beijing：Tsinghua University Press，2008.

[14]易建國. 橋梁計算示例集：混凝土簡支梁 (板) 橋 [M]. 北京：人民交通出版社，1991.

YI Jian-guo. Illustrative Examples of Bridge Calculation for Concrete Simply Supported Beam (Plate) Bridges [M]. Beijing：China Communications Press，1991.

[15]JTG D62—2004， 公路鋼筋混凝土及預(yù)應(yīng)力混凝土橋涵設(shè)計規(guī)范 [S].

JTG D62—2004, Code for Design of Highway Reinforced Concrete and Prestressed Concrete Bridges and Culverts [S].

[16]ELLINGWOOD B. Development of a Probability Based Load Criterion for American National Standard A58：Building Code Requirements for Minimum Design Loads in Buildings and Other Structures [M]. Washington, D.C.：US Department of Commerce，1980.

[17]GB/T 50283—1999,公路工程結(jié)構(gòu)可靠度設(shè)計統(tǒng)一標準 [S].

GB/T 50283—1999, Unified Standard for Reliability Design of Highway Engineering Structures[S].

[18]孫曉燕，王海龍. 超載運營下服役鋼筋混凝土橋梁疲勞損傷研究 [J]. 應(yīng)用基礎(chǔ)與工程科學(xué)學(xué)報, 2008，16(5)：733-740.

SUN Xiao-yan，WANG Hai-long. Fatigue Damage Analysis on Existing Reinforced Concrete Bridge under Overloading [J]. Journal of Basic Science and Engineering，2008，16(5)：733-740.

關(guān)鍵詞：橋梁工程；既有橋梁；貝葉斯更新；可靠度；車載歷史；劣化

A Method for Updating Reliability of Existing Bridges Considering Historical Vehicular Loading InformationWANG Cao, ZOU A-ming, ZHANG Long, LI Quan-wang

(School of Civil Engineering, Tsinghua University, Beijing 100084, China)

Abstract：Based on the Bayesian updating theory, a new method for updating the structural reliability of in-service aging bridges is proposed. The structural resistance deterioration and the uncertainties associated with the stochastic traffic loading process are taken into account in the proposed method, and an explicit formula is presented. The reliability analysis for an illustrative existing bridge is carried out, with which the accuracy of the proposed method is verified through a comparison with the result by Monte Carlo simulation method. Further, the sensitivity of the structural reliability updating to traffic load history and resistance deterioration process is analyzed using the proposed method. It shows that (1) traffic load and resistance degradation have significant effects on the reliability updating effect of existing bridges; (2) if over-weighted vehicles are observed in the traffic load history or the resistance has remarkable degradation, the updated reliability is a more reasonable indicator of bridge performance, while ignoring the traffic load history information will result in an underestimated reliability.

Key words：bridge engineering; existing bridge; Bayesian updating; reliability; traffic load history; deterioration

文獻標識碼：A

文章編號：1002-0268(2016)02-0067-06

中圖分類號：U445.7

doi:10.3969/j.issn.1002-0268.2016.02.011

作者簡介：王草(1993-)，男，江蘇沭陽人，碩士.(wangcao12@tsinghua.org.cn)

基金項目：交通運輸部重大專項 (2013 328 49A 090)

收稿日期：2015-03-30