郭婷婷

（山西大學(xué)商務(wù)學(xué)院,山西太原030031）

一個(gè)（3＋1）維非線性發(fā)展方程的B?cklund變換和解

郭婷婷

（山西大學(xué)商務(wù)學(xué)院,山西太原030031）

通過(guò)運(yùn)用多維二元Bell多項(xiàng)式,文中給出（3＋1）維非線性發(fā)展方程的雙線性B?cklund變換,這樣可以避免Hirota雙線性方法中恒等式的選取.除此之外,文中還構(gòu)造出該非線性方程的N－波解.

雙Bell多項(xiàng)式；（3＋1）維非線性發(fā)展方程；雙線性表示；B?cklund變換

1 概述

孤立子理論中,對(duì)非線性發(fā)展方程求解是比較重要的研究問(wèn)題,經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期的努力,現(xiàn)有的構(gòu)造非線性方程精確解的方法有,Darboux變換法、對(duì)稱約化法、反散射法、雙線性方法［1］等.在研究過(guò)程中,為避免Hirota雙線性方法中變換的構(gòu)造,我們基于多維二元Bell多項(xiàng)式［2］,將非線性方程雙線性化,在以往研究低維非線性方程的基礎(chǔ)上,我們涉足高維的非線性演化方程雙線性表示的探討.

B?cklund變換［3］是1883年瑞典數(shù)學(xué)家B?cklund研究曲面時(shí)發(fā)現(xiàn)的,利用該變換,我們可以由非線性方程的已知解推導(dǎo)出新的孤子解.為了避免應(yīng)用Hirota雙線性方法推導(dǎo)B?cklund變換時(shí)恒等式的推導(dǎo)和選用,基于多維二元Bell多項(xiàng)式,我們推導(dǎo)出（3＋1）維非線性發(fā)展方程的雙線性B?cklund變換,這將為非線性方程求解提供便利的條件.

2 多維二元Bell多項(xiàng)式

定義1多維Bell多項(xiàng)式［4］定義：h＝h（z1,…,zk）是一個(gè)C∞的多變量函數(shù),bi≥0,i＝1,2,…,k是任意整數(shù)eh稱為多維Bell多項(xiàng)式.當(dāng)h＝h（x,y,t）時(shí),

定義2多維二元Bell多項(xiàng)式：

其中pl＝0,1,…,al,l＝0,1,…,k.

我們給出文中所用到的多維二元Bell多項(xiàng)式,

定理1多維二元Bell多項(xiàng)式與經(jīng)典的Hirota算子的關(guān)系［5］如下

當(dāng)F＝G時(shí),

這里給出文中所用的幾個(gè)恒等式,

定理2（線性疊加原理［6］）Q（y1,…,yk）是滿足Q（0,…,0）＝0的偶多項(xiàng)式,ξi＝l1,iy1＋…＋lk,iyk為N波變量,li,j為常數(shù),則指數(shù)波eξi的線性組合為雙線性方程的N－波解.求解雙線性方程Q（y1,…,yk）G·G＝0當(dāng)且僅當(dāng)

3 （3＋1）維非線性發(fā)展方程的雙線性表示

研究（3＋1）維非線性發(fā)展方程［7］

的雙線性表示,首先引入勢(shì)場(chǎng)變量v,使得

這樣非線性方程（9）將變形為（cv2z,t＋6c2v2xv3x＋cv5x）x＋3cv2x,2y＋3cv2x,2z＝0,

為得到雙線性表示需對(duì)x積分兩次并取積分常數(shù)為0,且取c＝1,則

根據(jù)（7）（8）式方程將變形為F－多項(xiàng)式

通過(guò)利用定理1和以下的變換,

我們可以得出（3＋1）維非線性發(fā)展方程的雙線性表示

4 （3＋1）維非線性發(fā)展方程的N－波解

我們考慮該非線性發(fā)展方程的N－波解,首先引入N波變量

ξi＝aix＋biy＋ciz＋dit,1≤i≤N和N波指數(shù)函數(shù)Fi＝eξi＝eaix＋biy＋ciz＋dit,1≤i≤N,依據(jù)定理2的充分必要條件,求N－波解需滿足以下關(guān)系式

求解方程（14）可以得出ai,bi,ci,di之間的關(guān)系如下

所以（3＋1）維非線性發(fā)展方程（9）存在N－波解

其中n2＋m2＝1,ai,ki為任意常數(shù).

5 （3＋1）維非線性發(fā)展方程的雙線性B?cklund變換

為確定（3＋1）維KdV方程雙線性的B?cklund變換,我們首先假設(shè)p＝2lnG1和p′＝2lnG2是方程（11）的兩個(gè)解,代入（11）式并做差得

取p－p′＝2u,p＋p′＝2v,方程（16）將化為

運(yùn)用定義2中公式（3）（4）,上式將轉(zhuǎn)化為

這里k（u,v）＝6u2xv2x－6uxv3x－6u2xu2x＝6Wronskian［Q2x（u,v）,Qx（u）］

現(xiàn)取Q2x（u,v）＝λQx（u）,則（18）式可化為Q多項(xiàng)式型的耦合系統(tǒng)

其中λ為任意常數(shù),結(jié)合定理1,我們獲得（3＋1）維非線性發(fā)展方程（9）的雙線性B?cklund變換

綜上,我們對(duì)（3＋1）維非線性發(fā)展方程進(jìn)行研究,給出該非線性方程的雙線性表示（13）和N－波解（15）,并給出其雙線性B?cklund變換（19）,這將為非線性方程求解奠定基礎(chǔ).

［1］Zhang Yu－feng,Tam Honwah and Zhao Jing.Higher－dimensional KdV equations and their soliton solutions［J］.Commun.Theor.Phys,2006,45（3）：411－413

［2］Hirota R.The direct method in soliton theory［M］.New York：Cambridge University Press,2004：30－35

［3］Guo Fukui,Feng Binlu,Guo Tingting.A Few Notes on Lax Integrability,Integrable Couplings and Computing Formula of the Constant r［J］.Journal of Applied Nonlinesr Dynamics,2012,1（4）：401－406

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［5］Fan,Engui,The integrability of nonisospectral and variable－coefficient KdV equation with binary Bell polynomials［J］.Physics Letters A,2011,375（3）：493－497

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［7］郭冠平.（3＋1）維非線性方程新的精確解［J］.四川師范大學(xué)學(xué)報(bào),2002,25（2）：159－163

The B?cklund Transformations and Solutions of a（3＋1）Dimensional Nonlinear Evolution Equation

GUO Tingting
（Business College of Shanxi University,Taiyuan 030031,China）

The approach can avoid selections of the transformations in the Hirota bilinear method.the bilinear B?cklund transformations of the（3＋1）dimensional nonlinear evolution equation are obtained using the multi dimensional binary Bell polynomials.The way can avoid the deduction of the identities in the Hirota bilinear method.In addition,the N－wave solutions of this nonlinear evolution equation are obtained.

binary Bell polynomials；（3＋1）dimensional nonlinear evolution equation；bilinear representation；B?cklund transformations.

1672－2027（2016）04－0001－03

O129.35

A

2016－06－21

山西大學(xué)商務(wù)學(xué)院科研基金（2016028）.

郭婷婷（1983－）,女,山西太原人,碩士,主要從事應(yīng)用數(shù)學(xué)孤立子理論研究.