王 璐

(昆明理工大學(xué) 理學(xué)院，云南 昆明 650500)

基于四階微分全變差的圖像去噪模型

王 璐

(昆明理工大學(xué) 理學(xué)院，云南 昆明 650500)

針對現(xiàn)有全變差(TV)方法效果不太理想，在去除噪聲的時(shí)候不能較好地保護(hù)圖像的邊緣信息，而且恢復(fù)圖像易出現(xiàn)“階梯效應(yīng)”和“塊效應(yīng)”的問題，文中提出了一種基于四階微分全變差的圖像去噪模型。首先論述了傳統(tǒng)全變差模型去噪方法及其高階微分方程去噪方法各自的優(yōu)缺點(diǎn)；然后將帶有邊緣指標(biāo)的全變差模型與四階微分理論相結(jié)合，得到了一個新的帶有邊緣指標(biāo)的自適應(yīng)全變差去噪模型，并引入差分方程去定義模型中的變量。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該模型能較好地抑制噪聲、保留邊緣特征和衰減圖像的“階梯效應(yīng)”，并能較好地避免圖像的“塊效應(yīng)”。

圖像去噪；全變差；四階微分；邊緣保真；塊狀效應(yīng)

0 引 言

在各類圖像系統(tǒng)中，由于圖像的傳送和轉(zhuǎn)換，如成像、復(fù)制、掃描、傳輸、顯示等，總要造成圖像的降質(zhì)，最典型的表現(xiàn)為圖像失真，有噪聲等。去噪成為圖像復(fù)原的經(jīng)典話題，然而在去噪的過程中不可避免地會導(dǎo)致圖像邊緣的模糊，而圖像的重要信息往往存在于高頻(邊緣,細(xì)節(jié))區(qū)，傳統(tǒng)的濾波去噪很難有效地處理這類問題。

因此，尋找既能有效去除噪聲又能保持圖像邊緣特征的方法成為研究的重點(diǎn)[1]。

1 總變分模型

針對噪聲圖像，u0表示退化圖像，u表示原圖像，假定退化模型為：

u0=Ru+n

(1)

其中：u0表示退化圖像；u表示原圖像；n表示一個10倍的隨機(jī)干擾信號的加性噪聲；R表示確定性退化的線性算子，通常是卷積算子，這里R=I。

該去噪問題是一個典型的病態(tài)問題。數(shù)學(xué)上解決病態(tài)問題的一個常用方法是正則化方法，即加入一個正則項(xiàng)，使其呈良態(tài)。

1992年，Rudin等[2]從圖像復(fù)原的角度出發(fā)，對模型提出了基于能量極小化和變分(TotalVariation，TV)法的偏微分方程算法。該算法運(yùn)用偏微分方程的各向異性擴(kuò)散方程對圖像進(jìn)行去噪。與傳統(tǒng)濾波去噪不同，各向異性擴(kuò)散方程的優(yōu)點(diǎn)[3]在于它的各向異性，即在不同的方向和區(qū)域，對于圖像的平滑程度也不同，它與圖像的局部結(jié)構(gòu)有關(guān)。在灰度變化較大的區(qū)域或方向上，擴(kuò)散作用較小；在灰度變化較小或孤立噪聲區(qū)域，采用較強(qiáng)的平滑處理，以達(dá)到抑制噪聲的目的。所以，各向異性擴(kuò)散方法在圖像邊緣檢測、抑噪與邊緣保留、分割等方面都得到了廣泛應(yīng)用。

然而，傳統(tǒng)的TV模型有三大缺點(diǎn)：計(jì)算的復(fù)雜度高、邊緣信息的不穩(wěn)定性和恢復(fù)圖像出現(xiàn)的“階梯效應(yīng)”。為了能夠更好地保留邊緣信息，Gilboa等在2003年提出了一種新的模型。該模型在傳統(tǒng)TV模型的基礎(chǔ)上，把傳統(tǒng)正則參數(shù)變形為自適應(yīng)的正則參數(shù)，使得保真項(xiàng)隨著像素值的變化而發(fā)生相應(yīng)的變化[4]。為了降低恢復(fù)圖像的“階梯效應(yīng)”，Blomgren等提出了一種在遠(yuǎn)離邊緣的區(qū)域可使ROF模型更凸的模型，即給梯度正則項(xiàng)添加了和梯度大小有關(guān)的指數(shù)項(xiàng)，使得模型在恢復(fù)圖像的過程中滿足圖像的線性[5]。自適應(yīng)正則項(xiàng)和保真項(xiàng)的提出為圖像去噪又開辟了一條新的途徑，在模型[6]中同時(shí)包含了自適應(yīng)的正則項(xiàng)和保真項(xiàng)：

EATV=∫Ω(|

其中，p(D):R+→[1,2]，λ(D)∈[0,k]。

在邊緣區(qū)，正則項(xiàng)近似于TV范數(shù)用來保護(hù)邊緣區(qū)；在平滑區(qū)，正則項(xiàng)近似于L2范數(shù)，保真項(xiàng)的權(quán)重較小，有利于圖像去噪。

為了衰減“階梯效應(yīng)”，提高邊緣的穩(wěn)定性，一些文獻(xiàn)中用高階差分算子代替TV范數(shù)。與一階梯度正則項(xiàng)不同，高階微分能恢復(fù)圖像中潛在的分段常量區(qū)域，有效地恢復(fù)圖像的平滑性并有效降低圖像的“階梯效應(yīng)”[7-14]。在這種情況下，提出了合并二階差分和TV范數(shù)作為正則項(xiàng)模型[7,10-11]：

E=∫Ω(|Δf(x)|+λ(u-u0)2)dxdy

(3)

其中，Δf(x)=fxx+fyy，分別為f對x的二階導(dǎo)數(shù)和對y的二階導(dǎo)數(shù)。

也可以直接使用二階正則項(xiàng)構(gòu)造圖像去噪模型[9,13]。然而，利用二階導(dǎo)數(shù)對圖像去噪后，圖像會出現(xiàn)“塊效應(yīng)”，如果圖像強(qiáng)度函數(shù)是二維時(shí)，圖像的各向異性擴(kuò)散是導(dǎo)致恢復(fù)圖像出現(xiàn)“塊效應(yīng)”的重要因素[12]。這樣，在視覺上，恢復(fù)圖像就會呈現(xiàn)不好的效果。另外，計(jì)算機(jī)識別圖像時(shí)，很有可能在視覺上出現(xiàn)系統(tǒng)性的錯誤，實(shí)際上是原始圖像中平滑區(qū)不同塊的分界，而被誤認(rèn)為是圖像的邊緣區(qū)。這樣對于這些分段平面圖像噪聲的移除和邊緣的保護(hù)仍有缺陷。然而四階差分項(xiàng)在避免圖像“塊狀效應(yīng)”的同時(shí)也能夠很好地實(shí)現(xiàn)噪聲消除和邊緣保護(hù)。

綜上所述，對于圖像去噪，這些高階正則項(xiàng)模型在去噪的過程中，在保護(hù)邊緣和降低圖像的“階梯效應(yīng)”方面優(yōu)于單純的TV正則項(xiàng)模型。

文中模型利用高階微分對于圖像去噪的優(yōu)勢，采用四階微分方程做正則項(xiàng)來對圖像進(jìn)行去噪，并在模型中引入自適應(yīng)的正則項(xiàng)和保真項(xiàng)。數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明，該模型在移除噪聲和保護(hù)邊緣的同時(shí)，能有效地避免圖像的塊狀效應(yīng)，衰減恢復(fù)圖像出現(xiàn)的“階梯效應(yīng)”。

2 高階全變差去噪模型

全變差模型為：

E(u)=?Ωf(|pu|)dxdy

(4)

則全變差模型可寫為：

(5)

其Euler方程為：

式(5)化為梯度穩(wěn)定形式即為：

在計(jì)算過程中，當(dāng)t達(dá)到一定的值時(shí)，恢復(fù)圖像在去除噪聲和邊緣的保護(hù)上達(dá)到一個最優(yōu)值。

3 改進(jìn)的四階去噪模型

3.1 邊緣指標(biāo)

邊緣指標(biāo)是根據(jù)梯度模的大小來區(qū)分邊緣區(qū)域和平滑區(qū)域的，它的缺點(diǎn)是不能考慮到圖像中不連續(xù)的情況，因而不能很好地對邊緣區(qū)進(jìn)行恢復(fù)。而與一階導(dǎo)數(shù)相比，二階導(dǎo)數(shù)不僅可以考慮不連續(xù)情況，而且對邊緣信息更敏感，所以使用二階導(dǎo)數(shù)可有效地區(qū)分出圖像的邊緣區(qū)域和平滑區(qū)域。下面引入一個體現(xiàn)邊緣指標(biāo)的參數(shù)，即差分曲率的定義：

D=||uηη|-|uξξ||

因?yàn)檫吘墔^(qū)域梯度模值大，而平滑區(qū)域梯度模值小，所以上式通過二階導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，對邊緣指標(biāo)進(jìn)行分析(見表1)：

表1 差分曲率特征分析

這樣就可以有效地區(qū)分圖像的邊緣區(qū)域、平坦區(qū)域和噪聲區(qū)域，從而更好地達(dá)到保護(hù)邊緣的目的。

3.2 四階全變差去噪模型及其模型求解

利用差分曲率對圖像去噪的優(yōu)勢，定義兩個自適應(yīng)參數(shù)：

則含有自適應(yīng)差分曲率的模型為：

(6)

則模型(6)對應(yīng)的Euler方程為：

(7)

在對Euler方程求解時(shí)，可把方程轉(zhuǎn)化為偏微分穩(wěn)定形式進(jìn)行求解，方程(7)的穩(wěn)定形式為:

(8)

其中，h表示差分方程的步長。

邊界條件為：

4 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

文中仿真平臺軟件環(huán)境為Matlab7.14；硬件環(huán)境為英特爾i3-2350M@2.30GHz，內(nèi)存2GB。

為驗(yàn)證去噪模型及其算法的有效性，將文中方法與ROF去噪法、一階自適應(yīng)TV(ATV1)去噪法、二階自適應(yīng)TV(ATV2)去噪法進(jìn)行比較。以峰值性噪比和結(jié)構(gòu)相似度作為衡量指標(biāo)。選取Lena圖像和Flower圖像，噪聲類型為加性10倍的隨機(jī)干擾噪聲。

文中模型參數(shù)為：k=2，迭代步長Δt=1×0.02，迭代次數(shù)n=50，圖像迭代的精度tol=10-4。

圖1和圖2分別是Lena圖像和Flower圖像的去噪結(jié)果；表2和表3為算法對比結(jié)果。

圖1 Lena圖像的4種去噪結(jié)果

表2 算法比較結(jié)果(Lena圖像)

圖2 Flower圖像的4種去噪結(jié)果

算法PSNRSSIM噪聲圖17.72550.3387TV21.94170.5518ATV123.16270.7318ATV223.21160.7338文中模型23.36000.7360

由恢復(fù)圖像特征及其峰值信噪比、結(jié)構(gòu)相似度可知，運(yùn)用TV模型去噪時(shí)，圖像的細(xì)節(jié)部分被破壞，而且恢復(fù)圖像存在“階梯效應(yīng)”；運(yùn)用線性ATV模型去噪時(shí)，圖像邊緣信息保護(hù)比較好，由于圖像像素值存在分段常量，使得恢復(fù)圖像仍存在“階梯效應(yīng)”和“塊效應(yīng)”；而運(yùn)用文中模型不僅可以有效地去除噪聲，保護(hù)圖像邊緣，更減弱了恢復(fù)圖像非線性的結(jié)構(gòu)模式，并避免了圖像的“塊效應(yīng)”，證明該模型是有效的。

5 結(jié)束語

文中提出了一個四階差分自適應(yīng)正則序列去解決圖像加噪聲后的非線性問題，并結(jié)合邊緣指標(biāo)區(qū)分出了圖像的平滑區(qū)、邊緣區(qū)和噪聲區(qū)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，與其他模型相比，此模型和算法在圖像去噪過程中能獲得更好的恢復(fù)結(jié)果。

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Image De-noising Model Based on Total Variation of Fourth-order Differential

WANG Lu

(Faculty of Science,Kunming University of Science and Technology,Kunming 650500,China)

The effect of the existing Total Variation (TV) method for image denoising is not ideal while removing noise,it is not well protection of the edge information of image and easy to appear the "staircase effect" and "blocky effect" when recovering the image.Aiming at this problem,a new method of image denoising based on TV of fourth-order differential is proposed in this paper.First,the advantages and disadvantages of the traditional image denoising methods of TV and higher order differential equations are discussed respectively.Then,combined the denoising model of TV with fourth-order differential theory,a new adaptive ATV model with the edge indicator is obtained,and a rational differential mask in eight directions is drawn.The experimental results show that this method can reduce the noise well,and preserve edge features better,and reduce the influence of the "staircase effect",avoiding the "blocky effect" of the image.

image denoising;total variation;fourth-order differential;edge fidelity；blocky effect

2015-06-20

2015-09-22

時(shí)間：2016-02-18

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11461037)；昆明理工大學(xué)人才基金(2008-72)；昆明理工大學(xué)研究生核心課程項(xiàng)目

王 璐(1990-)，女，碩士研究生，研究方向?yàn)閿?shù)字圖像處理。

http://www.cnki.net/kcms/detail/61.1450.TP.20160218.1638.088.html

TP391.41

A

1673-629X(2016)03-0085-04

10.3969/j.issn.1673-629X.2016.03.020