施雪，薛團結

基于Gardner環(huán)的碼元同步技術研究

施雪，薛團結

針對全數(shù)字接收機中碼元同步問題,采用Gardner環(huán)實現(xiàn)時鐘同步。其中插值和Gardner算法是關鍵技術，詳細介紹了插值濾波器的原理和Gardner算法的來源。Gardner算法是獨立于載波相位的，每個符號只要兩個樣值就可以進行定時誤差估計，而插值器是基于多項式的濾波器，由信號采樣值計算出在最佳抽樣時刻的近似值，最后通過仿真表明線性插值器就能得到很好的效果，定時誤差的值可以發(fā)現(xiàn)定時是否準確。進而通過控制器調(diào)整重采樣時間，進行新的插值，獲得同步。

全數(shù)字接收機；碼元同步；Gardner環(huán)；插值

0 引言

碼元同步是全數(shù)字解調(diào)過程中的關鍵步驟，它的作用是將經(jīng)過匹配濾波之后的數(shù)據(jù)按照符號速率在最佳采樣點獲得數(shù)據(jù)的值。如果碼元同步錯誤或者不準確，將會影響信號接收的準確性。在傳統(tǒng)的接收機中，可以通過遲早門判斷出碼元信息超前或滯后的程度，將誤差信息經(jīng)過鎖相環(huán)反饋給壓控振蕩器，從而調(diào)整碼元位置，實現(xiàn)碼元同步，進而獲取最佳采樣點。但是這個方法在全數(shù)字接收機中是不能使用的，因為接收機中的A/D采樣時鐘是固定的，并且接收機的采樣時鐘與發(fā)送碼元速率獨立，那么就不能保證最佳采樣點能夠被采樣到。全數(shù)字接收機與傳統(tǒng)的無線電數(shù)字通信接收機的主要區(qū)別，在于數(shù)字通信接收機的模擬處理區(qū)引入了數(shù)字處理技術。基本的全數(shù)字接收機是在接收機的解調(diào)器前插入A/D變換器，把接收下變頻后的模擬信號變?yōu)閿?shù)字信號如圖1所示：

圖1 基本的無線電全數(shù)字接收

由于接收機的采樣速率和發(fā)送的符號速率是相互獨立的，最佳采樣點的值不能通過直接采樣得到，需要在非同步的采樣數(shù)據(jù)之間進行插值，來獲得同步的信號樣值。在全數(shù)字接收機中，通過定時誤差估值控制的內(nèi)插濾波器對得到的樣本值進行插值運算，從而得到信號在最佳采樣時刻的近似值。全數(shù)字接收機的定時恢復反饋式結構如圖2所示：

圖2 定時恢復環(huán)路

信號樣值x(mTs)是以固定的采樣間隔Ts得到的，插值器用這些信號樣值計算出插值，且在間隔Ti重樣得y(kTi)，數(shù)據(jù)選通器通過這些樣值計算出選通值。這個反饋環(huán)中的所有元素都是為同步做準備的，探測器檢測到誤差信號，誤差信號經(jīng)過環(huán)路濾波器，濾波器的輸出驅(qū)動控制器，本文主要研究插值器和誤差探測器。

1 環(huán)路結構

在數(shù)字通信中，信息是由連續(xù)的碼元傳遞的。這些碼元具有相同的持續(xù)時間。接收端接收這個碼元序列時，一般需要知道每個碼元的起止時刻，從而對碼元進行判決。用判決器對信號進行判決時，需要找到每個碼元最大值的采樣點位置。所以接收端必須要產(chǎn)生一個定時脈沖序列，且頻率和相位要與接收碼元一致來保證采樣判決時刻與信號碼元的最大值的位置保持一致，即最佳采樣點問題。采用一般的調(diào)整采樣時鐘的方式無法消除這個問題，必須用內(nèi)插的方法來對時鐘相位進行調(diào)整，從而找到最佳采樣點。

Ganrder算法是一種不需要先進行載波同步的定時誤差估計算法。這種方法是一種非判決指向方法，其基本思想是：提取出相鄰碼元最佳采樣點的幅度和極性變化信息，再加上相鄰碼元過渡點是否為零這一信息，就可以從采樣信號中提取出定時誤差。

在系統(tǒng)設計中Gardner環(huán)位于Costas載波同步鎖相環(huán)之后，主要由4部分組成：內(nèi)插器，誤差探測器，環(huán)路濾波器和控制器模塊。Gardner算法基本結構[3]以QPSK調(diào)制信號為例，如圖3所示：

圖3 Gardner環(huán)結構框圖

圖4 速率轉(zhuǎn)換模型

I.Q兩路信號的采樣點通過運算后，其每個符號將會產(chǎn)生一個定時錯誤樣點，通過誤差檢測模塊將定時錯誤序列通過環(huán)路濾波器后送給NCO，這里的NCO是遞減模塊，由NCO產(chǎn)生參數(shù)控制插值濾波器，使其進行重采樣時刻調(diào)整，從而達到信號的最佳采樣點的位置，完成整個符號的同步過程。

1.1 插值方程

如圖4所示：

圖4是一個虛擬的，模擬/數(shù)字混合速率轉(zhuǎn)換模型[2]，把樣值轉(zhuǎn)換成加權模擬脈沖序列，這些序列經(jīng)過連續(xù)的模擬插值濾波器，濾波器的脈沖響應為?I(t)。濾波器的輸出為式（1）：

由觀察可知y(t)≠x(t)，和大多數(shù)傳統(tǒng)的插值器相反，在這里沒必要恢復最初的信號x(t)波形。

現(xiàn)在以采樣間隔t=kTi重新采樣y(t),Ti與信號碼元是同步的。正常情況下TiTs?是無理數(shù)，采樣和符號速率是不行等的。新的樣值（插值）為式（2）：

盡管這個模型包括一個虛擬的DAC和模擬濾波器，但是式（2）中的插值可以完全數(shù)字化實現(xiàn)只要有以下3個條件：

（1）輸入序列{x(m)}，（2）插值濾波器的脈沖響應hI(t)，（3）輸入和輸出樣值的時間間隔mTs和kTi。這些數(shù)字化計算出的插值和模擬方法算出的值本質(zhì)是相同的。通過對式（2）重新設置，可以得到一個更有效的公式。重新設置m為信號索引，定義一個濾波器索引為式（3）：

其中int[z]表示不超過z的最大整數(shù)。同樣的定義一個基本指針mk和一個分數(shù)間隔uk為式（4）、（5）：

(0≤uk＜1) 定時關系如圖5所示：

輸入采樣時間

圖5 采樣時間關系

由公式（4）和（5）得m=mκ-i和(kTi-mTs)=(i+uk)Ts，且插值是在時刻kTi=(mk+uκ)Ts計算得到的。

等式（2）可重新寫為：y(kTi)=y[(mk+uk)Ts為式（6）：

式（6）是數(shù)字插值的基本方程。

1.2 插值濾波器

濾波器是實現(xiàn)插值的基礎，但插值濾波器在設計時,無須像常規(guī)濾波器設計那樣要體現(xiàn)濾波器的系數(shù)，插值濾波器的目的是插值運算輸出，無需真實的構建濾波器。在選擇插值濾波器系數(shù)時，需要注意以下兩點：（1）基本采樣點數(shù)及參與運算的樣點數(shù)應當是偶數(shù)；（2）要插值的點應當在基本采樣點中間。其中前者是讓濾波器具有線性相位，后者的約束是為了避免插值中的延時干擾。

可以作為插值濾波器的函數(shù)有無窮多種，其中一類是基于多相式的濾波器，即濾波器的脈沖響應是關于t的一個多項式，或者是關于t的一個分段多相式。一個N點{ti，x(i)}的經(jīng)典多相式插值可以通過拉格朗日插值表示，即為式（7）：

整個插值過程可以由圖6清晰看出。圖中表示的是信號的頻譜圖，由頻譜圖可以明顯的看出x(t)≠y(t)。

圖6 信號頻譜

圖6（a）是輸入信號x(t)的頻譜圖。圖6（b）是抽樣信號x(mTs)的頻譜圖，沒出現(xiàn)頻譜混疊。

圖6（c）展示了插值濾波器不理想時，信號y(t)的頻譜，其中殘留的鏡像頻譜清晰可見。以1/Ti的速率重采樣后，殘留的鏡像頻譜將于有用信號頻譜混疊。理性的插值濾波器能完全的抑制所有的1/2Ts以外的頻譜成份,因此任何實際的濾波器由于不完全的阻帶衰減會帶來信號失真。

在實際的調(diào)制解調(diào)器中，簡單的插值就會得到很好的結果，在大多數(shù)情況下兩點的線性插值就足夠了，因此本文使用線性插值濾波器。線性插值濾波器的系數(shù)為式（9）：

線性插值可由式（10）實現(xiàn)式（10）：

2 Gardner定時誤差模型

隨著在接收端用采樣來形成數(shù)字信號的普遍，數(shù)字信號處理器的性能也得到了提高，同時帶來了需要用與采樣點有關的算法來取代長期以來占據(jù)主導地位的連續(xù)時間方法的要求。一個經(jīng)典的I-Q接收調(diào)制解調(diào)器模型如圖7所示：

圖7 接收模型

數(shù)據(jù)濾波器在相乘器后面，通過濾波形成信號脈沖，降低噪聲，抑制多余的乘積項。我們并不詳述采樣點，僅是說明濾波器的數(shù)出只能是形如{yI()｝和{yQ()}的一對實序列，定時信息需要從這些序列中檢測出來。符號以間隔T同步的傳輸，每個序列中包含有符號的兩個樣值，并且序列中的樣值在時間上是一致的。兩個樣值中，一個是在選通點處得到，另一個是在兩個選通點的中間處得到的。

用r來表示符號數(shù)，那么第r的符號的選通值可以表示為yI(r)和yQ(r),為了形式上的統(tǒng)一，把位于第(r-1)個和r個選通值之間的樣值表示為和。定時誤差探測器是對樣值進行計算，對每個符號產(chǎn)生產(chǎn)生一個誤差樣值ut(r)。誤差探測器[3]的算法為式（1）：

誤差信號有正值也有負值。假如定時超前，無論第r和r-1個樣點的符號是相同還是相反，ut(r)＜0,如果定時滯后，ut(r)＞0。若定時準確，yI(r)和yI(r-1)將對應最大采樣值則正好采樣到零點，正交分量yQ(r)也將如此。此時定時誤差ut(r)等于零。yI(r)和yI(r-1)異號或者yQ(r)和yQ(r-1)異號，才能使用式(11)計算定時誤差。這些同步關系可以用圖8所示：

圖8 同步關系圖

如在圖8(a)中所示，當定時準確時，ut(r)=0;當定時超前時，如圖8(b)中所示，ut(r)＜0;當定時滯后時，如圖8(c)中所示，ut(r)＞0。

ut(r)與載波相位相互獨立，不需要在鎖定定時相位之前，先鎖定載波相位。Gardner算法可以用于在信號的額外帶寬約為信號帶寬的40%～100%，這一信號范圍是以衛(wèi)星通信為代表的。在更窄的帶寬下，會使噪聲性能變差。

Research on Symbol Synchronization Technology Based on Gardner Loop

Shi Xue, Xue Tuanjie
(Hohai University, Nanjing 211100, China)

Aiming at the problem of symbol synchronization in all-digital receiver, this paper employs the Gardner loop to realize timing synchronization. The interpolation and Gardner algorithm are the key technology. The paper introduces the theory of interpolation filter and origin of Gardner algorithm. The arithmetic is independent of carrier phase, and requires only two samples per symbol for timing-error estimation. The interpolator is a filter which is based on polynomials, and it figures out the approximation from samples in optimum time and comes true by simulation. The simulation indicates that linear interpolation gives excellent performance, and the value of timing-error can discover accuracy of timing. What’s more, it uses the value to adjust the resample time by controller. Then the interpolator will have a new interpolation to contribute to synchronization.

All-digital receiver; Symbol synchronization; Gardner loop; Interpolation

3 仿真與實現(xiàn)基于MATLAB實現(xiàn)了插值濾波器的仿真，如圖9所示：

TP311

A

1007-757X(2016)10-0051-03

施 雪（1988-），女，淮安人，河海大學碩士研究生，研究方向：數(shù)字信號接收同步技術研究，南京 211100

薛團結（1990-），男，河南鹿邑人，河海大學碩士研究生，研究方向：現(xiàn)代無線通信網(wǎng)絡和多天線傳輸技術，江寧 211100