閔立清, 曹靜, 王紀俊, 朱宇光

(1.常州工學院 計算機信息工程學院,江蘇 常州 213002;2.江蘇大學理學院,江蘇 鎮(zhèn)江 212013)

一種三階自治電路系統(tǒng)動力學行為的分岔算法及仿真

閔立清1, 曹靜2, 王紀俊2, 朱宇光1

(1.常州工學院 計算機信息工程學院,江蘇 常州 213002;2.江蘇大學理學院,江蘇 鎮(zhèn)江 212013)

自治電路系統(tǒng)有兩種最為常見的分岔模式，即靜態(tài)分岔和Hopf分岔。在一定的條件下，系統(tǒng)的平衡點可以通過這兩種分岔模式改變其運動狀態(tài)。基于分岔理論，分析了平衡點分岔的條件，給出了相應的分岔集，得出了相關算法；通過數(shù)值計算驗證了分岔集的存在性；并應用Multisim軟件設計搭建了實驗電路。

自治;電路系統(tǒng);分岔;算法;仿真

0 引 言

自蔡氏電路中的混沌現(xiàn)象被揭示以來，非線性電路的理論和實驗研究引起了各國學者的廣泛關注，成為當前電路研究中的熱點課題之一[1-2]。各種非線性電路被設計出來，學者通過建立數(shù)學模型，結合實驗方法對其中的復雜動力學行為進行了大量的研究工作，揭示了許多諸如環(huán)面破裂、間歇、超混沌、混沌危機等復雜特性[3-7]。本文在前人的研究基礎上，提出只含乘積項的三階非線性電路系統(tǒng)，從分岔理論分析和數(shù)值仿真兩個方面對其基本動力學特性進行研究，并設計該混沌系統(tǒng)的電路仿真實驗加以驗證。

1 分岔算法

三維自治電路系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下[8-9]：

(1)

為了深入分析本文中的三維自治電路系統(tǒng)，首先求解這個系統(tǒng)的平衡點，令式(1)的右邊等于零，得到兩個平衡點分別為[10]：

為了求得系統(tǒng)的狀態(tài)方程(1)的Jacobian矩陣，把系統(tǒng)在平衡點E0=(0,0,0)處進行線性化，得到其Jacobian矩陣為[11]：

(2)

由Jacobian矩陣(2)可以求得系統(tǒng)的特征多項式：

f(λ)=λ3+(b-c)λ2+(1-bc)λ+b=0

(3)

平衡點失穩(wěn)存在兩種可能的方式，相應的臨界條件分別被稱為簡單分岔集和Hopf分岔集，這樣可以定義兩種形式的分岔集。

通過(3)式可得其簡單分岔集S0：

b=0

(4)

相應Hopf分岔集H0：

F(b,c)=(b-c)(1-bc)-b=0

(5)

(6)

相應的簡單分岔集為S1：

b=0

(7)

Hopf分岔集為H1：

(8)

其中S0、H0與平衡點E0有關，S1、H1與平衡點E1有關。

從以上分岔集的解析式可知，參數(shù)平面可被劃分為不同的區(qū)域，系統(tǒng)在各區(qū)域內的動力學行為將通過分岔相互轉化。接下來我們通過數(shù)值計算，考察平衡點的分岔情況。圖1是以(b-c)參數(shù)平面為例，經(jīng)龍哥庫塔法計算得到的系統(tǒng)在不同參數(shù)條件下的相軌跡。由此我們可以看到，系統(tǒng)由平衡點經(jīng)Hopf分岔演化為周期運動。

2 數(shù)值模擬

為了探討系統(tǒng)的狀態(tài)方程(1)中的各種運動模式，揭示系統(tǒng)更為復雜的動力學行為，我們對該系統(tǒng)進一步進行數(shù)值模擬，以刻畫其相應的演化過程。平衡點經(jīng)過Hopf分岔后進入周期運動后將有可能出現(xiàn)混沌現(xiàn)象，系統(tǒng)的運動將穩(wěn)定到一個吸引子上，這就是系統(tǒng)的狀態(tài)方程(1)的混沌吸引子。圖2(a)—(d)給出了隨著參數(shù)b和c取不同值時的x-z平面上的相圖。根據(jù)以上相圖可知，系統(tǒng)動力學行為由周期運動進入加周期分岔，圖2給出了系統(tǒng)周期增加的歷程。

圖1 隨著參數(shù)b和c 變化時系統(tǒng)的相圖

3 電路仿真

根據(jù)系統(tǒng)的相圖發(fā)現(xiàn)當取a=1.0，b=0.4，c=0.33時系統(tǒng)明顯地表現(xiàn)出豐富的動力學特征。所以在本節(jié)的電路設計中參數(shù)分別取以上值采用線性電阻、線性電容、運算放大器(LM741)、模擬乘法器(AD633)來設計實現(xiàn)系統(tǒng)的狀態(tài)方程(1)的電路，如圖3所示。其中運算放大器用來進行電路的加減運算，模擬乘法器則用來實現(xiàn)系統(tǒng)中的非線性項。

圖2 系統(tǒng)在不同參數(shù)條件下的相圖

首先，對系統(tǒng)電路方程進行線性變換以避免乘法器和運算放大器出現(xiàn)飽和失真，將狀態(tài)量做了10倍的縮小變換。由于乘法器AD633的增益為0.1，因此，得到的電路方程如下：

圖3 系統(tǒng)(1)的電路實現(xiàn)圖

(9)

由電路的基本理論以及各個組件的特性，得其數(shù)學方程為：

(10)

令C1=C2=C3=10 nF，Rf1=Rf2=Rf3=10 kΩ，R3=R4=R6=R7=10 kΩ，可得：

R11=100 kΩ，R12=1 kΩ，R21=1 000 kΩ,R22=250 kΩ，R31=100 kΩ，R32=300 kΩ。

圖3即為基于系統(tǒng)的狀態(tài)方程(1)的電路設計圖，并根據(jù)基爾霍夫等定律給出了相應的元器件參數(shù)。這個電路可以采用Multisim10.0這款軟件來模擬搭建，通過這款軟件，運用各種元器件我們可以搭建所設計的實際電路，進行相應參數(shù)的設置，并可以模擬觀測在電路系統(tǒng)中出現(xiàn)的一些復雜動力學特性。

4 結束語

本文圍繞一類三維非線性自治光滑系統(tǒng)，基于分岔理論和數(shù)值計算探討了系統(tǒng)的動力學行為。通過對系統(tǒng)平衡點的分岔分析給出了該電路系統(tǒng)在參數(shù)平面上的分岔集和相應的相圖等，得到了系統(tǒng)倍周期分岔的演化過程。并在此非線性系統(tǒng)的基礎上設計了相應的電子電路，給出了具體元器件參數(shù)，證明了在一定程度上該非線性電路系統(tǒng)的可實現(xiàn)性。

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A Bifurcation Algorithm and Simulation of Kinetic Behavior of a 3rd-order Autonomous Circuit System

Min Liqing1, Cao Jing2, Wang Jijun2，Zhu Yuguang1

(1. School of Computer Information & Engineering, Changzhou Institute of Technology,Changzhou Jiangsu 213002, China;2. School of Science, Jiangsu University, Zhenjiang Jiangsu 212013, China)

There are two most common bifurcation modes for the autonomous circuit system, namely static bifurcation and Hopf bifurcation. Under certain conditions, the system balance point can change its motion state through these two bifurcated modes. Based on the bifurcation theory, this paper analyzes the conditions for the bifurcation of the balance point, presents corresponding bifurcation sets, and obtains related algorithms. Existence of the bifurcation set is verified through numerical calculation. An experimental circuit is designed and set up by using Multisim software.

autonomy;circuit system;bifurcation algorithm;simulation

本文受基金項目1江蘇省高校自然科學研究面上項目(11KJD520002)，基金項目2常州市科技計劃項目(CC20120030)資助

10.3969/j.issn.1000-3886.2016.05.011

TP31

A

1000-3886(2016)05-0034-02

閔立清(1962-),男,江蘇常州人，本科，講師/工程師,主要研究方向為計算機與智能控制技術。

定稿日期: 2016-03-12