?強少華

走進高中新課程
——數(shù)形結合教學策略研究

?強少華

推行素質教育，培養(yǎng)面向新世紀的合格人才，使學生具有創(chuàng)新意識，在創(chuàng)造中學會學習，教育應更多的關注學生的學習方法和策略。數(shù)學家喬治·波利亞曾說：“完善的思想方法猶如北極星，許多人通過它而找到正確的道路?！睌?shù)學思想方法的學習有助于學生理解和掌握數(shù)學知識，對解決問題具有指導作用，有利于培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力，完善學生的認知結構。而數(shù)形結合思想是眾多數(shù)學思想方法中最典型，也是最能體現(xiàn)數(shù)學美的一種方法。本文指出了數(shù)形結合思想的內涵，在高中數(shù)學教學中的應用以及作為教師應該具備的教學策略。

數(shù)形結合；高中數(shù)學教學策略。

一、數(shù)形結合的思想內涵

數(shù)學中兩個最基本也最古老的研究對象是“數(shù)”與“形”，它們在一定條件下可以互相轉化。以數(shù)學問題的條件和結論之間的內在聯(lián)系為依據(jù)，在分析其代數(shù)意義的同時揭示其幾何直觀的解決數(shù)學問題的方法。從而使數(shù)量間的空間形式的直觀形象與代數(shù)數(shù)據(jù)的精確和諧并巧妙的相結合。同時，充分利用這種結合尋找解題思路，化繁為簡，為難為易，從而解決數(shù)學中的相關問題。

簡而言之，數(shù)形結合就是指將直觀的幾何位置、圖形關系與抽象的數(shù)量關系、數(shù)學語言相結合，同時通過“以數(shù)解形”、“以形助數(shù)”的方式使抽象問題具體化，復雜問題簡單化，從而優(yōu)化解題方法。所以說，究其本質，數(shù)形結合是一個包含“以數(shù)輔形”、“以形助數(shù)”的數(shù)學思想方法。

1.從數(shù)到形，以形助數(shù)，借助形的幾何直觀性來闡明數(shù)之間的某種關系 例：設方程|3x-1|=k，試討論k取不同范圍的值時其不同解的個數(shù)的情況。

當k<0時，直線y=k與函數(shù)y=|3x-1|圖象無交點

∴方程無解。

當k=0或k≥1時，直線y=k與函數(shù) y=|3x-1|圖象有一個交點

∴方程有一解。

當0

∴方程有兩解。

(A)λ<0 (B)λ=0 (C)0<λ<1 (D)λ≥1

3.數(shù)形結合，互相轉化，互相補充，將抽象的數(shù)學語言同直觀的圖形相結合解決問題 一般來說，在解決問題的陳述上，往往會用代數(shù)法，而在分析尋找思路時往往借助于幾何直觀。

分析與思考：函數(shù)結構復雜，無法用常規(guī)方法求解，設法將其簡單化。由根式我們會聯(lián)想到距離，問題的關鍵是能否將兩個根式內的被開方式化成平方和的形式。通過拆湊，發(fā)現(xiàn)可以，即：

二、數(shù)形結合思想在高中新課程中的教學策略

掌握數(shù)學“雙基”，培養(yǎng)數(shù)學能力是中學數(shù)學教學最重要的目的，而“培養(yǎng)思維品質是發(fā)展智力與能力的突破口”，“學生數(shù)學能力的差異，通過數(shù)學思維的深刻性、靈活性、獨創(chuàng)性、批判性和敏捷性等思維品質來體現(xiàn)”，“思維的深刻性是一切思維品質的基礎”。數(shù)形結合有利于提高思維的深刻性。因此，中學數(shù)學教學中，數(shù)形結合不應僅僅作為一種解題方法，而應作為一種基本的、重要的數(shù)學思想，作為數(shù)學知識的精髓，作為將知識轉化為能力的“橋”來學習研究和掌握運用。教師要從“形”和“數(shù)”的結合上做好教材分析，揭示數(shù)學問題的實質。

那么，具體作為教師，具體應該怎么做呢？

1.運用數(shù)形結合進行函數(shù)教學 函數(shù)是體現(xiàn)數(shù)形結合方法的良好載體，在工程技術和社會科學中，只要有可能，工程技術人員和社會科學研究人員不僅需要知道函數(shù)的解析式、圖表，更希望能畫出有關的函數(shù)圖像，從而幫助他們研究和決策，另外，在直角坐標系中，函數(shù)圖像把變量x和y聯(lián)系起來，直觀、形象地看到函數(shù)變化的特點、性質和變化趨勢，這對于學生的理解和學習是十分有益的，無論是對于函數(shù)概念還是函數(shù)性質的學習，數(shù)形結合方法為函數(shù)內容的學習提供了有力的工具。

所以在教學中教師應該把握好以下幾點：

(1)對函數(shù)的學習一定不能停留在抽象的、形式化的描述上，應該幫助學生建立起幾個重要的具體的實際模型，并連同它們的圖像留在腦海里。比如分段函數(shù)，幾個具體的冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等。結合這些基本的初等函數(shù)，不斷加深對于函數(shù)的定義、性質，以及函數(shù)研究方法的理解。

(2) 函數(shù)的教學一定要突出函數(shù)圖像的地位，通過函數(shù)圖像，直觀地、形象地、整體地認識和理解函數(shù)概念和性質。無論是用解析式、圖表法還是圖像法去刻畫一個具體的函數(shù)時，都要幫助學生在腦子里留下函數(shù)的圖像。

(3)在教學中，教師要有意識地在教學設計中，使學生在獲得數(shù)學知識的同時，感受到數(shù)形結合在整個學習過程中的力量和作用，以教科書為載體，設計成不同的臺階，提出不同層次的要求，有意識的進行培養(yǎng)，幫助學生逐漸掌握數(shù)形結合這一重要方法。下面舉例說明：

在數(shù)學1中，對于函數(shù)的概念和性質，除正面講清用數(shù)量關系給出的定義外，還要借助圖形直觀揭示形的一面，用不同的語言(數(shù)的語言，形的語言)、從不同的角度、以不同的形式來認識函數(shù)問題的本質。函數(shù)概念一開始就介紹集合——可用Veen圖表示集合間的關系；定義域、值域概念及其表示——通過不等式(組)的解，引用區(qū)間、線段，用數(shù)軸描寫實數(shù)集，用數(shù)軸的全體或部分來表示定義域值域，也是幾何形象；函數(shù)關系與圖像——用平面點集來描寫、揭示函數(shù)關系，而且用這個平面點集組成的曲線來描寫函數(shù)的性質：奇偶性——關于點或坐標軸的對稱性，單調性——圖像的走勢、升降，最大值——最高點，最小值——最低點，周期性——圖像能否有規(guī)律的重復出現(xiàn)或疊合；互為反函數(shù)的圖像——關于直線y=x對稱的圖像，等等。在數(shù)學4《三角函數(shù)》這一章，教師要特別強調單位圓的直觀作用，借助單位圓直觀地認識任意角、任意角的三角函數(shù)，理解三角函數(shù)的周期性、誘導公式、同角三角函數(shù)關系式，以及三角函數(shù)的圖像，借助三角函數(shù)的圖像理解三角函數(shù)在一個周期上的單調性、最大和最小值、圖像與x軸的交點等性質。

2.運用數(shù)形結合進行平面向量教學 向量作為一種帶有方向的線段，集“數(shù)”與“形”于一身，即向量可以類似數(shù)那樣進行運算，其本身又是一個圖形。所以向量是體現(xiàn)數(shù)形結合方法的良好載體。在這一章中，教師要在教學中強調向量概念的幾何背景，強調理解向量運算(加、減、數(shù)乘、數(shù)量積)及其性質的幾何意義。具體來說應把握好以下幾點：(1)注重物理背景和物理應用；(2)一有機會就要聯(lián)系，充分起到溝通的橋梁作用和數(shù)形結合的典范作用；(3)在向量運算的教學中，特別要重視向量的數(shù)乘運算和數(shù)量積運算；(4)關注向量在物理、數(shù)學、現(xiàn)代科學技術中的應用。

3.運用數(shù)形結合進行解析幾何教學 我們知道，解析幾何的本質是用代數(shù)方法研究圖形的幾何性質，它溝通了代數(shù)和幾何之間的聯(lián)系，是數(shù)與形結合的典范。高中數(shù)學新課程強調幫助學生經歷將幾何問題代數(shù)化、解決幾何問題的過程，使學生在學習知識的同時，不斷地體會數(shù)形結合的思想方法：用代數(shù)語言描述幾何要素及其關系，進而將幾何問題轉化為代數(shù)問題——處理代數(shù)問題——分析代數(shù)結果的幾何意義，最終解決幾何問題。

因此，教師在教學中，要把握以下幾點：

(1)強調解析法的靈魂是數(shù)形結合。要在結合上下功夫，既要強調確定直線和圓的幾何要素如何用代數(shù)表示，又要強調認識代數(shù)運算過程中代數(shù)關系的幾何意義，能畫圖的一定要畫圖，使學生在頭腦中有圖形的直觀形象，培養(yǎng)學生的畫圖意識，養(yǎng)成畫圖的習慣。

(2)突出解析法解決幾何問題的程序性和普適性。把握好解析法解決幾何問題的“三步曲”。

(3)加強知識之間的聯(lián)系性。要認識到平面直角坐標系是溝通平面幾何、函數(shù)與解析幾何的橋梁，并適時的進行一定的聯(lián)系。

[1] 錢珮玲，數(shù)學思想方法與中學教學， 北京師范大學出版社，2008年

[2] 葉立軍，數(shù)學方法論，浙江大學出版社，2008年

[3] 王，倩，感悟數(shù)形結合思想。學苑教育，2011年第二期

[4] 袁桂珍，關于數(shù)形結合的若干基本觀點， 廣西師范大學學報，1998年第3期

[5] 錢海梅，數(shù)形結合思想在數(shù)學教學中的滲透， 理論創(chuàng)新

[6] 王彬彬，例談數(shù)形結合思想在數(shù)學解題中的應用，考試·高考數(shù)學

[7]游宇，數(shù)學思想在高中數(shù)學解題過程中的應用，新課程研究，2010年5月第187期

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