?余豐

談化歸與轉(zhuǎn)化思想在解析幾何中的應(yīng)用

?余豐

轉(zhuǎn)化思想與化歸思想解答問題的重要思想方法，尤其在求解解析幾何問題中。一般來說，數(shù)學(xué)教學(xué)中各種問題都會(huì)涉及到轉(zhuǎn)化思想以及化歸思想。例如，數(shù)形結(jié)合反映出數(shù)與形之間的相互轉(zhuǎn)化;函數(shù)與方程則反映出函數(shù)、不等式以及方程之間的相互轉(zhuǎn)化;分類討論則反映出局部以及整體之間的相互轉(zhuǎn)化。由此可見，轉(zhuǎn)化思想以及化歸思想是數(shù)學(xué)解題中常用的手段。因此，本文將轉(zhuǎn)化思想以及化歸思想作為立足點(diǎn)，根據(jù)數(shù)學(xué)實(shí)例來探討轉(zhuǎn)化思想以及化歸思想在數(shù)學(xué)解析幾何中的實(shí)際應(yīng)用，旨在為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供參考。

轉(zhuǎn)化思想；化歸思想；解析幾何

數(shù)學(xué)在高中各科中屬于較難的課程，而解析幾何則是高中諸多數(shù)學(xué)知識(shí)中難度較大的內(nèi)容。如何真正理解解析幾何知識(shí)，并熟練掌握解析幾何的解題方法，是每個(gè)高中學(xué)生必須面對的重要問題。根據(jù)老師的指導(dǎo)和本人的解題實(shí)踐發(fā)現(xiàn)，靈活運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸思想分析解析幾何問題，往往能使問題簡明而直觀，從而提高解題的速度和準(zhǔn)確率。

一、轉(zhuǎn)化思想以及化歸思想的基本概念

轉(zhuǎn)化思想以及化歸思想其實(shí)質(zhì)就是不斷地觀察、分類以及聯(lián)想且運(yùn)用正確的數(shù)學(xué)方法進(jìn)行有效變換，使某一題目的原問題轉(zhuǎn)化為新問題，再通過對新問題進(jìn)行有效求解來達(dá)到解答原問題的一種數(shù)學(xué)思想方法在解析幾何的解題過程中，如果學(xué)生能夠有效運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想以及化歸思想，便能事半功倍地完成解答。

二、轉(zhuǎn)化思想以及化歸思想在解析幾何當(dāng)中的實(shí)際應(yīng)用

1.動(dòng)點(diǎn)以及定點(diǎn)之間的相互轉(zhuǎn)化 一般來講，動(dòng)點(diǎn)以及定點(diǎn)的存在都是相對而言。對于同一個(gè)解題對象，根據(jù)實(shí)際要求可靈活變換其動(dòng)點(diǎn)以及定點(diǎn)。例如，在解答多個(gè)動(dòng)點(diǎn)的題目時(shí)，可依照題意將多個(gè)動(dòng)點(diǎn)中的某一動(dòng)點(diǎn)視為定點(diǎn)，然后根據(jù)相關(guān)結(jié)論或規(guī)律，尋找動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)之間的相互聯(lián)系解答問題。

例 已知點(diǎn)P是直線y=x上的任一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M是圓O1:x2+(y-1)2=0.25上的任一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是圓O2:(x-2)2+y2=0.25上的任一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求|PN|-|PM|的最大值。

本題是一道典型的解析幾何動(dòng)點(diǎn)求最值問題，題中涉及三個(gè)動(dòng)點(diǎn)之間的距離，學(xué)生解題有較大的難度。所以可以考慮運(yùn)用數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化及化歸思想來進(jìn)行解答。分析題目的圖形，我們可借助幾何性質(zhì)將使本題中動(dòng)點(diǎn)之間的距離轉(zhuǎn)化為定點(diǎn)之間的距離來求解。為了降低難度，可以任取一個(gè)點(diǎn)P，先將其視為一個(gè)定點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)N為PO2延長線與圓O2的交點(diǎn)時(shí)，|PN|取到最大值；當(dāng)M取PO1和圓O1的交點(diǎn)時(shí)，PM就能夠取得最小值。再讓點(diǎn)P動(dòng)起來，從而求|PN|-|PM|的最大值，就轉(zhuǎn)化為求|PO2|-|PO1|+2的最大值。經(jīng)過這樣的轉(zhuǎn)化，三個(gè)動(dòng)點(diǎn)之間的距離轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)O1和O2的距離問題，接下來根據(jù)圖形對稱性不難得出所求最值。

2.數(shù)與形之間的相互轉(zhuǎn)化 眾所周知，解析幾何的根本核心就是通過代數(shù)方法來完成幾何問題的解答，其基本理念就是數(shù)形結(jié)合，以數(shù)代形的方式使得幾何條件能夠代數(shù)化，再將代數(shù)運(yùn)算過程進(jìn)行幾何化，進(jìn)而優(yōu)化幾何題目的解題過程。

①若點(diǎn)B坐標(biāo)為(0,-0.25)，滿足|BE|=|BF|，求直線l的斜率；

②若A是橢圓的右頂點(diǎn)，并且∠EAF的角平分線為x軸，試求直線l的斜率。

本題的求解，首先應(yīng)抓住幾何條件的基本特征進(jìn)行考慮，再通過有效的代數(shù)形式進(jìn)行表示。題①，可由|BE|=|BF|結(jié)合等腰三角形三線合一等條件，化為等腰三角形底邊上的中線與底邊垂直，得到BE與BF的斜率乘積為-1從而求解；題②，可抓住∠EAF的角平分線是x軸，從而由AE與AF關(guān)于x軸對稱，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為直線AE和AF斜率之和為0，以下再進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為方程求解即可。

3.定點(diǎn)定值以及恒等式之間的轉(zhuǎn)化 在解答二次曲線問題中，將定點(diǎn)定值靈活轉(zhuǎn)化為恒等式，可有效解答出實(shí)際值。

①求圓C的方程；

轉(zhuǎn)化思想以及化歸思想是一種通過有效方法使復(fù)雜的原問題轉(zhuǎn)化為簡單的新問題

，再通過對新問題進(jìn)行有效求解來達(dá)到解答原問題目的的一種解題思想。數(shù)形結(jié)合反映出數(shù)與形之間的相互轉(zhuǎn)化，函數(shù)與方程則反映出函數(shù)、不等式以及數(shù)學(xué)方程之間的相互轉(zhuǎn)化，分類討論則反映出局部以及整體之間的相互轉(zhuǎn)化。因此，若能有效運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想以及化歸思想，就能更好地解答解析幾何問題。

[1]李文靖.例談“轉(zhuǎn)化與化歸”思想在高中數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊,2012,15:48-49.

[2]季東升.轉(zhuǎn)化與化歸思想在解析幾何中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)之友,2012,04:42-43.

[3]季東升.轉(zhuǎn)化與化歸思想在解析幾何中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊,2012,33:51+56.

[4]安寶琴.淺談“化歸與轉(zhuǎn)化思想”在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究,2015,03:93.

[5]陳俊斌.例談化歸與轉(zhuǎn)化思想在高考數(shù)學(xué)試題中的應(yīng)用[J].福建中學(xué)數(shù)學(xué),2015,04:36-39.

[6]薛建豐.轉(zhuǎn)化與化歸思想在解析幾何中的應(yīng)用[J].新課程(中學(xué)),2013,10:165-166.

浙江省臺(tái)州中學(xué) 317000)