□劉堂利

基于變易理論的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)

□劉堂利

隨著新課改的深入推進(jìn)，學(xué)生素質(zhì)的重要性越發(fā)凸顯。對于高中數(shù)學(xué)學(xué)科而言，關(guān)于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的問題更是引發(fā)教師、學(xué)生的關(guān)注與重視。文章以變易理論為基礎(chǔ)，探討了中學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的具體措施。

變易理論；數(shù)學(xué)；核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是具有數(shù)學(xué)基本特征、適應(yīng)個人終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的必備品格與關(guān)鍵能力，是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)。它是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中逐步形成的。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算和數(shù)據(jù)分析。

數(shù)學(xué)抽象是指舍去事物的一切物理屬性，得到數(shù)學(xué)研究對象的思維過程。邏輯推理是指從一些事實和命題出發(fā)，依據(jù)邏輯規(guī)則推出一個命題的思維過程。數(shù)學(xué)建模是對現(xiàn)實問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)知識與方法構(gòu)建模型解決問題的過程。直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用圖形理解和解決數(shù)學(xué)問題的過程。數(shù)學(xué)運算是指在明晰運算對象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運算法則解決數(shù)學(xué)問題的過程。數(shù)據(jù)分析是指針對研究對象獲得相關(guān)數(shù)據(jù)，運用統(tǒng)計方法對數(shù)據(jù)中的有用信息進(jìn)行分析和推斷，形成知識的過程。

本文從變易理論的角度嘗試培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

一、變易理論簡介

變易理論由瑞典學(xué)者Ference Marton提出，起源于80年代的現(xiàn)象圖示學(xué)研究。變易理論認(rèn)為，學(xué)習(xí)認(rèn)識事物或現(xiàn)象就是從對象中區(qū)分出一些主要特征，并將注意力同時聚焦于這些特征，學(xué)習(xí)就是識別，而識別依賴于對差異的認(rèn)識，主體所能同時體驗到關(guān)于對象各個方面的變異維數(shù)就直接決定可能的學(xué)習(xí)空間。識別和變異是其核心概念。識別是指在變易空間中對學(xué)習(xí)對象的多種關(guān)鍵屬性進(jìn)行分辨，變異則指在現(xiàn)象、概念認(rèn)識和問題解決過程中，對問題不同形式的變換。

變易理論在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用主要是變式教學(xué)。變式教學(xué)是對學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)技能和思維訓(xùn)練的重要方式，通過對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行多角度、多方面的變式探索研究，有意識地引導(dǎo)學(xué)生從變化的問題中發(fā)現(xiàn)不變的本質(zhì)，從不變的本質(zhì)中探索變的規(guī)律，優(yōu)化學(xué)生思維品質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

二、基于變易理論的教學(xué)思考

1.利用“一題多變”豐富問題情景

從基本問題出發(fā)，通過不同的視角，變換問題的條件、結(jié)論和形式，但不改變問題的本質(zhì)，使本質(zhì)的東西更全面。

【例1】已知復(fù)數(shù)z1、z2，其中｜z1｜=1，z2的實部為1，且若z=z1z2，求z在平面上的區(qū)域面積。

解題思路：先確定z的軌跡形狀、大小，再求其面積。本題最后結(jié)果為3π平方單位。（略）

根據(jù)上述方法，可得下面幾個問題。

【問題1】已知復(fù)數(shù)z1、z2滿足｜z1｜=1，Re z2=1，且1≤｜z2｜≤求區(qū)域P={z｜z=z1z2}的面積。此題與原題意一樣，目的在于熟悉符號Re z2、點集與區(qū)域關(guān)系。

【問題2】已知復(fù)數(shù)z1、z2滿足｜z1｜=1，Re z2=1，且1≤求區(qū)域P={z｜z=z1+z2}的面積。此題是根據(jù)四則運算，由乘法聯(lián)想到加法。

【問題3】已知復(fù)數(shù)z1、z2滿足｜z1｜=1，Re z2=1，且1≤求區(qū)域P={z｜z=z1n+z2n}的面積。問題的提出同問題2。但本題易造成學(xué)生心理上的壓力和恐懼感，如同原命題聯(lián)系起來，問題就不難以解決了。

【問題4】已知復(fù)數(shù)z1、z2滿足｜z1｜=1，Rez2=1，且1≤｜z2｜≤求區(qū)域繞直線z=1旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積。由面積聯(lián)想到體積，由平面圖形聯(lián)想到空間圖形，聯(lián)想到旋轉(zhuǎn)體，把求面積問題演變?yōu)榍篌w積問題。這是問題的由來。解答如下：

解：設(shè)z=x+yi，z1=cosθ+i sinθ，z2=1+bi（x，y∈R，-1≤b≤1），由z=z1+z2得，x+yi=cosθ+i sinθ+1+bi。即x+yi=（1+ cosθ）+i（b+sinθ），由復(fù)數(shù)相等定義得消去參數(shù)θ得（x-1）2+（y-b）2=1（*），表示以（1，b）為圓心，1為半徑的圓。因為b在 [-1，1]上變化，（*）表示一簇圓，簇圓半徑均為1，圓心在線段x=1（-1≤y≤1）上滑動。圓滑動后的軌跡如圖陰影部分。因為x=1為此平面圖形的對稱軸，旋轉(zhuǎn)后的旋轉(zhuǎn)體為一圓柱、兩個半球拼湊而成。故所求體積立方單位。

問題4比較綜合，拐彎較多，由例1推來，其解決也就變得容易了。

例題1通過變易問題的不同情景，使學(xué)生學(xué)習(xí)時能看到問題的本質(zhì)，能克服和減少思維僵化和思維的惰性，從而可以更深刻地理解問題。一題多變有利于促進(jìn)學(xué)生提出問題、分析問題和建模能力的培養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生解決實際問題的能力。

【例2】若點P1、P2表示復(fù)數(shù)z1、z2，線段P1P2繞點P1逆時針旋轉(zhuǎn)90°到P1P3位置，證明點P3表示的復(fù)數(shù)是z1+i（z2-z1）。

若將原題中的“90°”改為“α”，其他條件都不變，則有：

【命題1】若點P1、P2表示復(fù)數(shù)z1、z2，線段P1P2繞點P1逆時針旋轉(zhuǎn)α角到P1P3位置 ，則點P3表示的復(fù)數(shù)為z1+（z2-z1）（cosα+i sinα）。

在命題1的基礎(chǔ)上附上條件“｜P1P3｜=r·｜P1P2｜”，則有：

【命題2】若點P1、P2表示復(fù)數(shù)z1、z2，線段P1P2繞P1逆時針旋轉(zhuǎn)α角到P1P3位置，且｜P1P3｜=r·｜P1P2｜，則點P2表示復(fù)數(shù)z1+（z2-z1）[r（cosα+i sinα）]。

這就是復(fù)數(shù)中的旋轉(zhuǎn)公式，此公式在解決向量旋轉(zhuǎn)問題時有重要作用，要求學(xué)生切實掌握，由例2推得命題2，有助于學(xué)生記憶并熟練地運用它。

同樣，將命題2中的“逆時針”改為“順時針”即可得。

【命題3】若點P1、P2表示復(fù)數(shù)z1、z2，線段P1P2繞P1順時針旋轉(zhuǎn)α角到P1P3位置，使｜P1P3｜=r·｜P1P2｜，則點P3表示復(fù)數(shù)z1+（z2-z1）[r cos（-α）+i sin（-α）］。

可見，重視解題后的分析，有利于思維能力的培養(yǎng)，有助于新問題的發(fā)現(xiàn)和解決，達(dá)到化繁為簡、變難為易的效果。同時還有助于對問題進(jìn)行分類，便于記憶等等。

2.利用“一題多解”拓展數(shù)學(xué)思維

一題多解是從不同角度、運用不同的思維方式來解答同一個問題的思考方法。一題多解有利于培養(yǎng)學(xué)生直觀想象能力和數(shù)據(jù)分析能力。數(shù)據(jù)分析是指針對研究對象獲得相關(guān)數(shù)據(jù)，運用統(tǒng)計方法對數(shù)據(jù)中的有用信息進(jìn)行分析和推斷，形成知識的過程。直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用圖形理解和解決數(shù)學(xué)問題的過程。在尋求一題多解的過程中，學(xué)生需要從多角度收集數(shù)據(jù)，提取信息，借助空間關(guān)系和圖形描述進(jìn)行分析、推理和綜合。

解題思路：結(jié)合本題求范圍的問題，通常采用的思路是：一是根據(jù)化歸思想，化二元轉(zhuǎn)為一元，即利用將a+b中的b用a表示，然后用基本不等式求范圍；二是對進(jìn)行變形，找到a+b與ab的關(guān)系，然后消去ab，建立a+b的不等式求解。

通過一題多解，還可以總結(jié)出運用基本不等式求最值或取值范圍的常用技巧：①含有多個變量的條件最值問題，一種方法是減少變量的個數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為只含有一個變量的函數(shù)的最值問題進(jìn)行解決；另一種方法是采用代換的方法，對代數(shù)式變形后，再運用基本不等式；②妙用常數(shù)代換求代數(shù)式的最值：在求解含有兩個變量的代數(shù)式的最值問題時，通常的解決辦法是常值替換，即由已知條件得到某個式子的值為常數(shù)，然后將要求最值的代數(shù)式乘以常數(shù)，再對代數(shù)式進(jìn)行變形整理，最后利用基本不等式求最值。

運用變易理論中的變式教學(xué)，可以培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。在實際教學(xué)過程中需要注意以下問題：①精選問題。要選擇具有示范性、發(fā)散性、重點突出的典型問題進(jìn)行變易，從而提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力；②以生為本。問題變式要充分認(rèn)識到學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)。通過設(shè)置具有啟發(fā)性和科學(xué)性的“臺階”和問題情境，讓學(xué)生在主動發(fā)現(xiàn)、主動探究的過程中完成變式的認(rèn)知過程，促進(jìn)新舊知識的聯(lián)系；③情境豐富。變式情境要和現(xiàn)實生活緊密聯(lián)系，要讓學(xué)生從原始的問題情景中抽象出數(shù)學(xué)問題，建立模型，變易模型和問題情境。

[1]李巧春.基于變易理論的函數(shù)y=Asin(ωx+φ)性質(zhì)的認(rèn)識[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究,2014,33(6):20—41.

（編輯：易繼斌）

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1671-0568（2016）36-0090-02

劉堂利，湖北省鄂南高級中學(xué)教師。