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概率的應用易錯點剖析
□鄒興平
同學們在應用概率解決實際問題過程中,若一時把握不準,就會出現(xiàn)一些錯解.下面就一些常見的錯解加以剖析,以幫助同學們避免出現(xiàn)同樣的錯誤.
例1在一個不透明的盒子中裝有紅、白、藍三種顏色的竹簽,這些竹簽只有顏色不同,從中任意抽出一支,抽到三種顏色的可能性相同嗎?
錯解:從中任意抽出一支簽,抽到三種顏色簽的可能性相同.
分析:如果三種顏色的竹簽的數(shù)量都相同,那么從中任意抽出一支簽,抽到三種顏色簽的可能性相同;如果三種顏色的竹簽的數(shù)量不相同,那么從中任意抽出一支簽,抽到三種顏色簽的可能性就不相同,數(shù)量多的顏色的竹簽抽到的可能性更大.
正解:抽到三種顏色簽的可能性不一定相同.
例2拋擲兩枚骰子,兩個正四面體骰子的各面上分別標明數(shù)字1,2,3,4,如同時投擲這兩個正四面體骰子,則著地的面所得的點數(shù)之和等于5的概率為多少?
錯解:因為向上一面點數(shù)之和最小為2、最大為8,共有7種不同的結果,所以向上一面的點數(shù)之和為5的概率是
分析:可利用樹狀圖分析:
共有16種情況,著地的面所得的點數(shù)之和等于5的共有4種,則此種情況的概率為
正解:向上一面的點數(shù)之和為5的概率是
易錯點三、摸球游戲中概率計算出錯
例3在一個不透明的口袋中,裝有5個紅球3個白球,它們除顏色外都相同,從中任意摸出一個球,摸到紅球的概率為(). A.B.C.D.
錯解:P(摸到紅球)=故選A.
分析:摸球時,袋子里是8個球,而不是5個球.概率的計算就是要求用分數(shù)來表示事件發(fā)生的可能性的大小.從概率的意義來看,要求某一事件發(fā)生的概率,必須且只需弄清兩個數(shù):操作過程中該事件可能發(fā)生的結果數(shù)和該事件所有可能發(fā)生的各種情況的總數(shù).
正解:P(摸到紅球所以應選C.
例4大雙、小雙的媽媽申購到一張恩施大峽谷旅游景點的門票,兄弟倆決定分別用標有數(shù)字且除數(shù)字以外沒有其它任何區(qū)別的小球,設計這樣一種游戲確定誰去:口袋中放著分別標有數(shù)字1、2、3的三個小球,且已攪勻,大雙、小雙各蒙上眼睛有放回地摸1次,大雙摸到偶數(shù)就記2分,摸到奇數(shù)記0分;小雙摸到奇數(shù)就記1分,摸到偶數(shù)記0分,積分多的就得到門票(若積分相同,則重復第二次).請問這個游戲方案對雙方是否公平?
錯解:P(大雙摸到偶數(shù))=小雙摸到奇,所以這個游戲方案對雙方都公平.
分析:不能從找“摸到偶數(shù)”“摸到奇數(shù)”角度考慮,因為“摸到偶數(shù)”、“摸到奇數(shù)”的機會并不均等.可能出現(xiàn)的所有結果列樹狀圖如下(見下頁):
正解:這個游戲方案不公平.P(大雙去)=,這個游戲方案對小雙有利.
朝上的點數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)1 7 2 9 3 6 4 8 5 6 2 0 1 0
例5小穎和小紅兩位同學在學習“概率”時,做投擲骰子(質(zhì)地均勻的正方體)實驗,他們共做了60次實驗,實驗的結果如上:
(1)計算“3點朝上”的頻率和“5點朝上”的頻率,
(2)小穎說:“根據(jù)實驗,一次實驗中出現(xiàn)5點朝上的概率最大”;小紅說:“如果投擲600次,那么出現(xiàn)6點朝上的次數(shù)正好是100次.”小穎和小紅的說法正確嗎?為什么?
錯解:(1)“3點朝上”出現(xiàn)的頻率是,“5點朝上”出現(xiàn)的頻率是
分析:(1)正確.(2)都錯誤,只有當實驗的次數(shù)足夠大時,該事件發(fā)生的頻率穩(wěn)定在事件發(fā)生的概率附近;因為事件發(fā)生具有隨機性,故“6點朝上”的次數(shù)不一定是100次.
正解:小穎的說法是錯誤的.這是因為“5點朝上”的頻率最大并不能說明“5點朝上”這一事件發(fā)生的頻率最大.只有當實驗的次數(shù)足夠大時,該事件發(fā)生的頻率才會穩(wěn)定在該事件發(fā)生的概率附近.小紅的判斷是錯誤的,因為事件發(fā)生具有隨機性,故“6點朝上”的次數(shù)不一定是100次.