□

將“轉(zhuǎn)化”進行到底

□左效平

轉(zhuǎn)化是數(shù)學學習中的一種最基本，也是最重要的思想方法，數(shù)學解題的每一步都離不開轉(zhuǎn)化，下面我們通過一道有關反比例函數(shù)的中考題的解答看看轉(zhuǎn)化是如何進行的.

例題如圖1，反比例函數(shù)y＝k≠0，x＞0）的圖象與直線y＝3x相交于點C，過直線上點A（1，3）作AB⊥x軸于點B，交反比例函數(shù)圖象于點D，且AB＝3BD.

（1）求k的值；

（2）求點C的坐標；

（3）在y軸上確定一點M，使點M到C、D兩點距離之和d＝MC＋MD最小，求點M的坐標.

圖1

圖2

分析：第一問：確定反比例函數(shù)的k值，只需要函數(shù)圖象上一個點的坐標即可，而突破這個關鍵的條件在于兩點，一是點A的坐標的意義：A（1，3）轉(zhuǎn)化成線段的長度為AB＝3，OB＝1，AB與x軸垂直；二是給出的條件AB＝3BD展示出的意義：3＝3BD，從而確定BD＝1，此時BD的長度恰好是點D的縱坐標，于是我們想要的圖象上的一個點D的坐標，就應運而生，為（1，1），求k就不在話下了.

第二問：點C是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點，因此它的坐標一定同時滿足兩個函數(shù)的解析式，在兩個函數(shù)的解析式都已經(jīng)明確的情況下，將它們聯(lián)立建立起二元一次方程組，方程組的解就是交點的坐標，從而把交點的坐標求解問題轉(zhuǎn)化成求由解析式構(gòu)成方程組的解，這再次體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想的重要性.

第三問：線段和的最小值問題，求解時，我們常用的策略是“將軍飲馬”數(shù)學模型，通過構(gòu)造對稱點的方法，確定線段和最小時的動點位置，然后利用求函數(shù)解析式交點的方式，確定符合條件的點的坐標.熟知“將軍飲馬”數(shù)學模型，并靈活構(gòu)造對稱點，是解題的關鍵.

解：（1）因為A（1，3），所以AB＝3，OB＝1.因為AB＝3BD，3＝3BD，所以BD＝1，得D（1，1）.因為點D在反比例函數(shù)y＝（k≠0，x＞0）的圖象上，所以1＝，解得k＝1.

（3）如圖2，作C關于y軸的對稱點C′，連接C′D交y軸于M，則此時的點M，能使d＝MC＋MD最小.因為，所以C′（因為點D的坐標為（1，1），設直線C′D的解析式為y＝kx＋b，

反思：通過這道題的求解，我們懂得了如下內(nèi)容：

1.點的坐標解題時可以轉(zhuǎn)化成相應線段的長度；

2.相關線段的長度，根據(jù)點的位置，可以轉(zhuǎn)化成點的坐標；

3.交點坐標的確定轉(zhuǎn)化為相應解析式聯(lián)立組成的方程組的解；

4.函數(shù)解析式的確定轉(zhuǎn)化成待定系數(shù)法；

5.線段和的最小值轉(zhuǎn)化成“將軍飲馬”數(shù)學模型；

6.符合條件的點的坐標轉(zhuǎn)化成方程組的解.

總之，這道題自始至終都貫穿一條主線，這就是數(shù)學中的轉(zhuǎn)化思想，只有當我們明確知識間是如何相互轉(zhuǎn)化的，借助什么轉(zhuǎn)化的，我們的數(shù)學解題才升級成真正意義上的解題，解題的效率和準確率才會提升.