黃敏,黃朝炎

(1.武漢學(xué)院信息系,湖北 武漢 430200; 2.湖北大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院,湖北 武漢 430062)

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繞積馬氏鏈函數(shù)的強(qiáng)大數(shù)定律

黃敏1,黃朝炎2

(1.武漢學(xué)院信息系,湖北 武漢 430200; 2.湖北大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院,湖北 武漢 430062)

摘要：主要研究繞積馬氏鏈函數(shù)的強(qiáng)大數(shù)定律,得到繞積馬氏鏈函數(shù)強(qiáng)大數(shù)定律成立的充分條件.

關(guān)鍵詞：隨機(jī)環(huán)境;繞積馬氏鏈;強(qiáng)大數(shù)定律

20世紀(jì)80年代初,Cogburn R等人開始研究隨機(jī)環(huán)境中馬氏鏈的一般理論,取得了 一系列深刻的結(jié)果[1-3].Orey S[4]在Cogburn R等人的研究基礎(chǔ)上對隨機(jī)環(huán)境中馬氏鏈進(jìn)行了深入的研究,并提出了一系列的問題,引起了眾多概率論學(xué)者的廣泛關(guān)注,使得隨機(jī)環(huán)境中馬氏鏈一般理論的研究成為國際上又一新的研究方向.國內(nèi)學(xué)者對這一領(lǐng)域進(jìn)行了深入的研究[5-8].大家知道,隨機(jī)變量序列的強(qiáng)大數(shù)定律的研究一直是經(jīng)典極限理論研究中的熱門課題,取得的結(jié)果已十分深入.這種研究不僅僅是受到大數(shù)定律研究的推動,而且在考慮線性模型最小二乘估計(jì)的相容性時就要討論隨機(jī)變量序列的強(qiáng)大數(shù)定律,因此這種研究無疑是非常重要的.筆者研究了繞積馬氏鏈函數(shù)的強(qiáng)大數(shù)定律,得到了繞積馬氏鏈函數(shù)強(qiáng)大數(shù)定律成立的充分條件.

如果對任意A∈A,n≥0有

(1)

對k≥0, 當(dāng)τk

引理1{Hk,k≥0}是(Ω,F,P)上的相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列.

由強(qiáng)馬氏性知

P(H0=a0,…,Hk=ak)=

P(H0=a0,…,Hk-1=ak-1)P(Hk=ak),

于是由數(shù)學(xué)歸納法可知引理1的結(jié)論成立.

推論2對任意的實(shí)數(shù)a,b,{aHk+bσk,k≥0}是(Ω,F,P)上的相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列.

特別地{σk,k≥0}是(Ω,F,P)上的相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列.

定理1如果下述條件成立:

則有

(2)

首先證明

(3)

由于{s(n)

從而

(4)

由條件(b)知

令

(5)

(6)

因此,對任意的ω∈Ω0及ε>0, 存在N1(ω)>0,使當(dāng)n≥N1(ω)時有

(7)

P(s(n)≥εn)<ε

(8)

(9)

(10)

(11)

由(7)式知,對任意的ω∈Ω0,存在N3(ω)≥max{N1(ω),N2(ω)},使當(dāng)n≥N3(ω)時有

(12)

由(8)、(9)式知,對任意的ω∈Ω0,存在N4(ω)≥N3(ω),使當(dāng)n≥N4(ω)時有

(13)

由ε,δ的任意性及(12-13)式知,對a.s.ω, 當(dāng)n→∞時,(10)式的第1, 2項(xiàng)趨于0, 從而(3)式成立.

若σ=1, 由(6)式知

類似地可以證明(3)式成立.

(14)

最后由條件(a)及推論2知

從而

兩式相減,應(yīng)用條件(a)有

(15)

類似地有

(16)

由(14-16)式、(2-3)式及知定理3的結(jié)論成立.

參考文獻(xiàn)

[1] Cogburn R. The ergodic theory of Mark?v chains in random environments[J].Z.Wahrsch Verw Gebiete, 1993,66(2): 109-128.

[2] Cogburn R. Mark?v chains in random environments: the case of Markovian environment[J]. Ann Prob, 1980,8(3): 908-916.

[3] Cogburn R. On the central limit theorem for Mark?v chains in random environments[J]. Ann Prob,1991,19(2): 587-604.

[4] Orey S. Markov chains with stochastically stationary transition probabilities[J]. Ann Prob, 1999,19(4): 907-928.

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[7] 李應(yīng)求.雙無限隨機(jī)環(huán)境中Mark?v鏈的常返性與不變測度[J].中國科學(xué)(A輯),2001,31(8):702-707.

[8] 郭明樂. 雙無限隨機(jī)環(huán)境中馬氏鏈的強(qiáng)大數(shù)定律[J].應(yīng)用數(shù)學(xué),2005,18(1): 174-180.

[9] 嚴(yán)加安.測度論講義[M].北京:科學(xué)出版社,1998.

(責(zé)任編輯趙燕)

The strong law of large numbers for function of skew product Mark?v chains

HUANG Min1, HUANG Chaoyan2

(1.Faculty of Information,Wuhan College,Wuhan 430200,China;

2.Faculty of Mathematics and Statistics, Hubei University, Wuhan 430062,China)

Abstract:We studied a strong law of large numbers for function of skew product Mark?v chains, and obtained a sufficient condition for the strong law of large numbers.

Key words:random environments; skew product Mark?v chains; strong law of large numbers

中圖分類號:O211.62

文獻(xiàn)標(biāo)志碼:ADOI:10.3969/j.issn.1000-2375.2016.01.003

文章編號:1000-2375(2016)01-0014-04

作者簡介:黃敏(1985-)，女，碩士，講師，E-mail:253301841@qq.com

收稿日期:2015-06-18