程，許雪

(湖北大學數學與統(tǒng)計學學院,湖北 武漢 430062)

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AQSI序列部分和與乘積和的強大數定律

(湖北大學數學與統(tǒng)計學學院,湖北 武漢 430062)

摘要：研究AQSI序列部分和與乘積和的強大數定律，得到不同分布AQSI序列部分和與乘積和強大數定律成立的充分條件.

關鍵詞：AQSI序列;部分和;乘積和;強大數定律

0引言

定義1[1]稱隨機變量序列{Xn,n≥1}是漸近象限次獨立(asymptotically quadrant sub-indenpendent, AQSI)的，若存在正數序列{q(m),m∈N},滿足m→∞時，q(m)→0,且對任意i≠j均有

P(Xi>s,Xj>t)-P(Xi>s)P(Xj>t)≤q(|i-j|)αij(s,t),s,t>0,

P(Xi

其中αij和βij是非負函數.

AQSI序列的概念是由Chandra和Ghosal[1]首先提出的，由AQSI序列的定義可知AQSI序列是包含獨立序列的一類非常廣泛的隨機序列.由于AQSI序列條件較弱，因此研究也較為困難，所獲結果也不太多.Ghosal等[2]討論了AQSI序列加權的Marcinkiewicz-Zygmund型強大數定律和加權和的強大數定律，唐鍵等[3]研究了AQSI序列的幾乎處處收斂性和強大數定理.本文中研究了AQSI序列部分和與乘積和的強大數定律，得到不同分布AQSI序列 部分和與乘積和強大數定律成立的充分條件.文中C是正的常數，在不同的地方可取不同的值.對隨機變量序列{Xn,n≥1}及a>0,恒記Yn(a)=-aI(Xn<-a)+XnI(|Xn|≤a)+aI(Xn>a).

1引理

為了得出本文中的主要結論，本節(jié)先給出一些相關的引理.

引理1[1]設{Xn,n≥1}是AQSI序列，如果{fn,n≥1}是非降(或非增)函數，則{fn(Xn),n≥1}仍然是AQSI序列.

引理2[4]對任意的實數列{xn,n≥1}, 及對任意的n≥m≥1,有

引理3[5](推廣的Borel-cantelli引理)設{An,n≥1}是事件列:

2主要結果及證明

(i) 對任意的i≠j有

(1)

(ii) 對任意的i≠j有

(2)

于是

同理可得

Xn-EXn=Yn-Zn,

又因為

為證

只需證明

以及

由于

(3)

又因為

(4)

又由條件(iii)有

(5)

推論1的證明由條件(i)知

(6)

即可.

(i)gn(x)在(0, ∞)內單調不減,且當0

(ii)

同時當p∈[1,2)時,若有

(7)

以及

(8)

則

(9)

進一步我們有,對任意的m≥1,

(10)

在條件(i)下,gn(x)在(0, ∞)內不減,以及gn(1)≥λ.可知

(11)

其次,又因為

于是由Kronecker引理知

(12)

由于

(13)

接下來,對給定的m≥1,由引理2可知要證(11)式成立,只需證明,對任意的1≤r≤m,都有

(14)

由Cr不等式得

從而要證(14)式對r=1,2,…,m成立,只需證明(14)式對r=1,2成立即可,其中當r=1時,上述已證,當r=2時,由Borel-Cantelli引理及(11)式只要證

(15)

推論2的證明顯然fn(x)=|x|r為在(0, ∞)內取正值的偶函數.

當r∈(0,1]時,在區(qū)間(0, ∞)內有下面式子成立,fn(x)在(0, ∞)內不減,x/fn(x)=|x|1-r=x1-r在(0, ∞)內不減. 因為

所以

從而滿足定理2的條件(i).

當r∈(1,2]時,在區(qū)間(0, ∞)內有下面式子成立,fn(x)/x=|x|r/x=xr-1,當x增大時,xr-1不減,即fn(x)/x在(0, ∞)內不減.x2/fn(x)=x2/|x|r=x2-r,當x增大時,x2-r不減.即x2/fn(x)在(0, ∞)內不減. 因為

所以

又因為當r∈(1,2]時,EXn=0,n≥1,從而fn(x)滿足定理2的條件(ii).

綜上可述，推論2的結論成立.

則(9)式, (10)式成立.

推論3的證明當條件(i)成立時,取

gn(x)=|x|r/(1+|x|r), 0

當條件(ii)成立時,取

還有

還有

因此,若條件(i)被滿足,則

若條件(ii)被滿足,則

于是由定理2可知推論3成立.

參考文獻3

[1] Chandra T K, Ghosal S. Extensions of the strong law of large numbers of Marchinkiewicz and Zygmund for dependent variables[J]. Acta Math Hung，1996,71(4)：327-336.

[2] Chandra T K, Ghosal S. The strong law of large numbers for weighted averages under dependence assumptions[J]. Theoret Probab，1996,9(3):797-809.

[3] 唐健,汪忠志.關于AQSI序列的幾乎處處收斂性及強大數定理[J].數學的實踐與認識,2012,42(4):172-178.

[4] 王岳寶,嚴繼高,成鳳，等.關于不同分布的兩兩NQD序列的Jamison型加權乘積和的強穩(wěn)定性[J].數學年刊,2001,22A(6):701-706.

[5] 吳群英.混合序列的概率極限理論[M].北京:科學出版社,2005.

[6] Chandra T K. Uniform integrability in the Cesàro sence and the weak law of large numbers[J]. Sankhya:the Indian Tournal of statistics,1989,51(A):309-317.

(責任編輯趙燕)

The strong law of large numbers of partial sum and sum of products for AQSI sequence

CHENG Yan，XU Xue

(Faculty of Mathematics and Statistics, Hubei University, Wuhan 430062,China)

Abstract:We studied the strong law of large numbers of partial sum and sum of products for AQSI sequence, and then we obtained the sufficient conditions in which the strong law of large numbers of partial sum and sum of products for AQSI sequence was established.

Key words:AQSI sequence; partial sum; sum of products; strong law of large numbers

中圖分類號:O211.4

文獻標志碼:ADOI:10.3969/j.issn.1000-2375.2016.01.002

文章編號:1000-2375(2016)01-0007-07

作者簡介:程(1991-)，男，碩士生，E-mail:1772461985@qq.com

收稿日期:2015-06-24