甘 露

（湖北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖北黃石 435002）

GAN Lu

ABC指數(shù)與幾類點(diǎn)度拓?fù)渲笖?shù)的關(guān)系

甘 露

（湖北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖北黃石 435002）

原子鍵連通性指數(shù)（ABC簡(jiǎn)稱指數(shù)）是Eatrada等人在Randic指數(shù)的基礎(chǔ)上提出的一類拓?fù)渲笖?shù)。該指數(shù)已被證實(shí)為研究烷烴的穩(wěn)定性及環(huán)烷烴的應(yīng)變能等提供了很好的模型。給出了ABC指數(shù)和幾類點(diǎn)拓?fù)渲笖?shù)的關(guān)系。

ABC指數(shù)；點(diǎn)拓?fù)渲笖?shù)；X指數(shù)

0 引言

拓?fù)渲笖?shù)是從化合物的結(jié)構(gòu)圖衍生出來的不變量．近年來，很多拓?fù)渲笖?shù)是許多數(shù)學(xué)工作者和化學(xué)工作者的主要研究方向，而這些拓?fù)渲笖?shù)中連通性指數(shù)是最為人們所熟知并且有著廣泛應(yīng)用的拓?fù)渲笖?shù)．然而，許多物質(zhì)的物理化學(xué)性質(zhì)更多是由分子因子度來決定而不能只看支化度，為了能考慮分子因子度同時(shí)還能保持連通性指數(shù)的精髓，Estrada［1］在1998年提出了一個(gè)新的指數(shù)，原子鍵連通性指數(shù)，簡(jiǎn)稱ABC指數(shù)．該指數(shù)的定義如下：

其中E（G）是邊的集合，du，dv分別是點(diǎn)u和點(diǎn)v的度。

ABC指數(shù)的數(shù)學(xué)性質(zhì)在文獻(xiàn)［2～4］中已被廣泛研究，該指數(shù)已被證明在研究烷的熱形成中是一個(gè)有效的預(yù)測(cè)性指數(shù)，且已被用來研究烷的穩(wěn)定性以及環(huán)烷的應(yīng)變能等．Zhong［5～6］等人研究了關(guān)于R，ABC，X和H及GA指數(shù)之間的關(guān)系．Al［7］繼續(xù)了Zhong的工作，又得到了一些點(diǎn)度拓?fù)渲笖?shù)GA，AZI，R，ABC，H，X之間的關(guān)系．本文將進(jìn)一步研究ABC指數(shù)與X，R指數(shù)之間的關(guān)系．

1 概念及引理

本節(jié)將給出幾個(gè)涉及到的概念和引理．首先給出一些點(diǎn)拓?fù)渲笖?shù)的概念：

以下是幾個(gè)引理：

引理1 設(shè)x，y∈Z＋，則-，等號(hào)成立的充要條件是x＝y(tǒng)．

證明 我們很容易得到

等號(hào)成立的充要條件是x＝y(tǒng)．

等號(hào)成立的充要條件是a＝b．

2 主要結(jié)果

定理1 設(shè)G是一個(gè)n（n≥3）階連通圖，且最小度δ≥2，

左邊等號(hào)成立的充要條件是G≌Cn，右邊等號(hào)成立的充要條件是G≌C3．

左邊等號(hào)成立的充要條件是G≌C4，右邊等號(hào)成立的充要條件是G≌K4．證明 由vi和vj的對(duì)稱性，不妨設(shè)2≤dj≤dj≤n－1，我們考慮函數(shù)

知F（x，y）是關(guān)于y的單調(diào)遞增函數(shù)．由于2≤x≤y≤n－1，則F（x，y）的最小值是F（x，x）．又F（x，x）＝是關(guān)于x的單調(diào)遞增函數(shù)，于是F（x，x）在（x，x）＝（2，2）處能夠得到最小值，即F（x，x）≥F（2，2）＝2．因此ABC（G）≥X（G），等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝2即G≌Cn．

由于F（x，y）是關(guān)于y的單調(diào)遞增函數(shù)．另一方面，我們也能夠得到F（x，y）的最大值是F（x，n－1）．

那么F（x，n－1）關(guān)于x的單調(diào)遞減函數(shù)，因此F（x，n－1）≤F（2，n－1）＝，等號(hào)成立當(dāng)且僅

當(dāng)x＝2．

當(dāng)x＝n－2，則

由此，我們得到F（x，n－1）的最大值是max｛F（2，n－1），F(xiàn)（n－2，n－1），F(xiàn)（n－1，n－1）｝．當(dāng)n≥5或n＝3時(shí)，利用作差法我們很容易得到

等號(hào)成立的充要條件是G≌C3．

等號(hào)成立的充要條件是G≌K4．

定理2 設(shè)G是一個(gè)n≥2階的連通圖，則

等號(hào)成立的充要條件是G≌K2．

第一個(gè)不等式等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)du＝dv，第二個(gè)不等式等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)du＝dv＝1．

等號(hào)成立的充要條件是G≌K2．

定理3 設(shè)G是一個(gè)n≥2階的連通圖，其最大度為Δ，則

等號(hào)成立的充要條件是G≌K2．

第一個(gè)不等式等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)du＝dv，第二個(gè)不等式等號(hào)成立的等價(jià)條件是du＝dv＝1．

等號(hào)成立的充要條件是G≌K2．

［1］Estrada E，Torres L，Rodriguez L，et al．An atom－bond connectivityindex：modelling the enthalpy of formation of alkanes［J］．Indian J Chem，1998，37A：849～855．

［2］Furtula B，Graovac A，Vukicevic D．Atom－bond connectivity index of trees［J］．Discrete Appl Math，2009，157：2828～2835．

［3］Das K C．Atom－bond connectivity index of graphs［J］．Discrete Appl Math，2010，158：1181～1188．

［4］Gan L，Hou H，Liu B．Some Results on Atom－Bond connectivity Index of Graphs［J］．MATCH Commun Math Comput Chem，2011，66：669～680．

［5］Zhong L，Cui Q．On a relation between the atom－bond connectivity and the first geometric－arithmetic indices［J］．Discrete Appl Math，2015，185：249～253．

［6］Zhong L，Xu K．Inequalities between vertex－degree－based topological Indices［J］．MATCH Commun Math Comput Chem，2014，71：627～642．

［7］Ali A，Bhatti A，Raza Z．Further inequalities between vertex－degree－based topological indices［J］．Interation Journal of Applied ＆computatio Mathematics，2014，doi：10．1007／S408 19－016－0213－4．

Relations on ABCindex and several vertex－degree－based topological indices

（College of Mathematics and statistics，Hubei Normal University，Huangshi 435002，China）

In order to take factors into account but at the same time to keep the spirit of Randic index，Estrada et al．proposed the atom－bond connectivity（ABC）index．The ABC index provides a good model for the stability of linear and branched alkanes as well as the strain energy of cycloalkanes．In this paper，we established some relations between ABC index and several other vertex－degree－based topological indices．

Atom－bond connectivity index；vertex－degree－based topological indices；X index

GAN Lu

O157．6

：A

1009－2714（2016）04－0014－04

10．3969／j．issn．1009－2714．2016．04．004

2016—05—02

國(guó)家自然科學(xué)基金（NSFC）：11601139．

甘露（1985— ），女，湖北黃石人，碩士，研究方向?yàn)閳D論．