□宋健泳

拓展問題空間 積累思維經驗
——以“三角形的面積”教學為例

□宋健泳

數學是思維的科學，數學活動經驗很大程度上體現為“思維的經驗”?！叭切蔚拿娣e”一課的教學實踐指出，有效的思考需要直觀基礎，需要問題驅動，更需要互動交流。教學中，拓展問題思考的空間有助于引導學生積極主動地展開思維活動，從而為獲得“思維經驗”創(chuàng)造更有利的條件。

問題空間 思維經驗 三角形的面積

“三角形面積”是人教版五年級上冊“多邊形的面積”單元的教學內容。根據教材的編排，本節(jié)課是在學習了平行四邊形面積計算之后展開教學的。后者不僅為三角形的面積計算打下了認知基礎，更奠定了思維基礎，即“化歸”思想。感悟“化歸”思想是平面圖形面積計算這個教學板塊主要的教學價值所在，而實現“化歸”的主要手段則是動手實踐。如平行四邊形就是通過“剪拼”轉化為長方形，進而推導出面積計算公式；而三角形、梯形面積公式的推導則主要通過“拼組”，即將兩個同樣的三角形（梯形）拼成一個等底等高的平行四邊形（如圖1）。

圖1

如果僅以知識技能的掌握為目的，這樣的操作活動是直觀的，也是有效的。但從思維經驗積累和思維能力發(fā)展的角度看，如果三節(jié)課的活動設計始終停留在動手操作層面，則體現出一定的局限性。我們有必要逐步加強數學活動的思維介入，讓學生在更富挑戰(zhàn)性的問題引領下積極主動地展開思維活動，為汲取“思維經驗”創(chuàng)造更有利的條件?；谶@樣的考慮，在本節(jié)課的教學中我們在學習材料和活動形式上進行了調整，力圖給予學生更大的探索和思考的空間。

一、思考需要直觀基礎

【教學片段】

在下圖長方形和平行四邊形中分別畫一個面積最大的三角形。

反饋（如圖2）：

圖2

討論中，多數學生認為長方形中①號三角形是最大的，②號與③號存在爭議；而平行四邊形中則認為④號、⑤號都是面積最大的三角形。

師：既然②號和③號的畫法有爭議，我們暫時不討論。請看其他三幅圖，這些三角形的面積與原圖有什么關系？

生：這些圖中的三角形面積正好是原圖的一半，因為兩個三角形（陰影部分與空白部分）一樣大。

【思考】

從反饋的情況看，絕大多數學生都能畫出正確的圖形。但我們必須認識到這些只是學生未經邏輯分析的直觀判斷，其中學生在面積學習過程中所獲得的經驗（對平面圖形大小的直觀感悟）起著很重要的作用。換句話說，學生知道這樣畫出來的三角形面積是最大的，但并不知道為什么。這從隨后的課堂爭論中可見一斑，很多學生并不認同②號和③號三角形是長方形中面積最大的三角形。即便如此，這里的猜想和操作還是很有價值的。一方面它充分暴露了學情，便于我們把握教學的起點；另一方面則為進一步探索三角形面積計算積累了方法和經驗。

二、思考需要問題驅動

【教學片段】

能否求出下面各三角形的面積？試一試。

反饋一（如圖3.1～3.2）：

生：把①號三角形中間剪開，拼成一個長方形（圖3.1）。長方形的長是6cm，寬是高的一半，面積是6×2=12（cm2）。三角形與它的面積相等，也是12cm2。

生2：畫一條底邊的垂線，得到一個大長方形（圖3.2），面積是6×4=24（cm2）。三角形面積正好是長方形的一半，24÷2=12（cm2）。

反饋二（如圖4.1～4.2）：

生：在②號三角形左右兩邊各畫一條底邊的垂線，就得到一個長方形（圖4.1），面積是24cm2。三角形的面積是它的一半，6×4÷2=12（cm2）。

師：三角形的面積是這個長方形的一半嗎？

生：是的。把它看成兩個小長方形，左邊三角形占了一半，右邊也是一半，合起來三角形面積正好是大長方形面積的一半。

生：先畫一條平行線，這樣就得到一個平行四邊形（圖4.2），它的底和高和三角形是一樣的，面積是6×4=24（cm2）。而三角形的面積是平行四邊形的一半，24÷2=12（cm2）。

反饋三（如圖5）：

生：這兩種方法是一樣的，都是先畫一條平行線，得到一個平行四邊形，面積是6×4=24（cm2)。三角形的面積為24÷2=12（cm2）。

師：回顧剛才的思考過程，我們用什么辦法算出了三角形的面積？

生：把三角形先看成長方形或者平行四邊形。

師：長方形是特殊的平行四邊形。平行四邊形與原三角形有什么關系？

生：它們的底相等，高也相等，平行四邊形面積是原三角形的2倍。

師：誰能概括一下三角形的面積計算方法？

生：三角形面積=底×高÷2。

師：這里的“底×高”算出的是誰的面積？

生：與這個三角形底相等，高也相等的平行四邊形的面積。

【思考】

教學中，有效的問題設計決定了學生思維的開闊性與深刻性。“呈現三類不同的三角形并計算它們的面積”，這樣的問題不僅指向明確，而且頗具挑戰(zhàn)性。但從反饋的情況看，大多數學生都能積極主動地展開思考并順利解決了問題。其主要原因在于學生在前面操作活動中所獲得的直觀感知為這里的思考奠定了堅實的基礎。正因為學生建立了三角形與長方形、平行四邊形之間的聯系，使得這里的“化歸”自然而然（事實上是作了逆向思考，即將三角形還原成長方形或平行四邊形）。當然，在這個過程中學習材料的呈現方式也起到了減緩坡度、指引思考方向的作用，如“將三個三角形置于一組平行線內”“三類三角形先后次序的安排”等。值得注意的是，有了問題的驅動，“化歸”已不再是操作活動的目的，而僅僅是解決問題的一種手段。

三、思考需要互動交流

【教學片段】

1.“三角形面積=底×高÷2”是否適用于計算任意三角形的面積？

生：我覺得可以。三角形按角分類只有三種情況：直角三角形、銳角三角形和鈍角三角形。這里的三個三角形包括了所有情況。

生：不管怎樣的三角形，都可以畫兩條平行線使它變成一個平行四邊形，所以三角形的面積都可以這樣計算。

生：我發(fā)現畫兩條平行線其實就是畫了一個一模一樣的倒著放的三角形，兩個三角形拼成了一個平行四邊形。所以“底×高”算出來的就是兩個三角形的面積，再除以2就行了。

【思考】

盡管學生已經初步掌握了三角形面積計算的方法，但前面所討論的僅僅是個例。由個例到一般，需要運用歸納思維展開合情推理。因而，這里的討論是必要的。更重要的是，結合問題的討論引發(fā)空間想象，進而完善公式推導過程，這使得學生的思維更為深刻，體驗也更為充分。

【教學片段】

2.圖中的三角形（見前文圖2）是不是長方形內最大的三角形？

師：剛才同學們對圖②和圖③有爭議，現在再來看一看它們是圖中最大的三角形嗎？

生：圖②和圖③也是長方形中最大的三角形，它們的面積跟圖①是一樣的，都是長方形面積的一半。

生：也可以這樣看，因為三角形的面積與它的底和高有關，這里幾幅圖中三角形的底和高都已經是最大的了，所以雖然形狀不一樣，但是面積肯定都是最大的。

師：那么除了這里的幾種畫法，還可以怎么畫？

生：只要選一條邊作三角形的底，另一個頂點在對邊，這樣的三角形面積就是最大的。

【思考】

這個問題的討論是利用現場生成的資源展開的。學生之前對圖②和圖③是不是長方形內面積最大的三角形存在質疑，是因為這個結果是“看”出來的。在掌握了三角形面積計算的方法之后再次討論這個問題，就不再是一種直觀判斷，而是一種邏輯思考。教學中展開這樣的思辨活動有助于將學生的思考引向深入。

【教學片段】

3.右圖是一個梯形，你能在圖中找到幾對面積相等的三角形？

生：三角形ABC和BCD的面積相等，因為它們的底都是BC，高也相等，所以面積相等。

師：我們可以說這是兩個“等底等高”的三角形，所以它們面積相等。還有嗎？

生：三角形ABD和三角形ACD的面積也是相等的，它們也是“等底等高”。

生：我感覺三角形ABO和三角形CDO的面積也是相等的。

師：這兩個三角形也是“等底等高”嗎？

生：它們不是“等底等高”，但是因為三角形ABD和三角形ACD的面積相等，只要它們同時減去三角形AOD的面積，剩下的面積就相等了。

師：有沒有聽明白他的意思？還有什么方法也能證明這兩個三角形是相等的？

生：用三角形ABC和三角形BCD也能證明，它們都減去三角形BOC的面積，余下的面積相等。

【思考】

這個問題具有一定的拓展性。在問題的討論中涉及兩個層次：第一層次主要是利用“等底等高”來判斷面積相等的三角形；第二層次（梯形蝴蝶定理）則要用到幾何推理。找到面積相等的三角形并說明面積相等的理由，這是一個思維水平不斷深入的過程。結合教學內容適當引入合適的學習材料加以拓展，對于積累“思維經驗”而言也不失為是一條有效的途徑。

4.這節(jié)課你學了什么？你是怎么學的？

生：今天學習了三角形的面積計算方法，三角形的面積=底×高÷2。

師：回憶一下，我們是通過什么辦法得到了這個計算公式的？

生：畫兩條平行線把三角形轉化成一個“等底等高”的平行四邊形，平行四邊形的面積除以2就得到了三角形的面積。

師：那我們再回憶一下前面平行四邊形的面積公式又是怎么得到的？

生：把平行四邊形轉化成長方形。

師：是的，“轉化”是一種很重要的數學思想。但同樣是“轉化”，它們有什么區(qū)別嗎？

生：平行四邊形轉化成長方形面積是不變的，但三角形轉化成平行四邊形，面積要擴大2倍。

師：三角形轉化成平行四邊形，其面積一定要擴大2倍嗎？

生：也可以不變的。但是面積不變的話，那么底或者高就要縮小到原來的一半。

學習過程的回顧與反思對于“思維經驗”的積累是極其重要的?！敖涷灐笔切枰涣骱头窒淼?，而交流的過程恰恰是“經驗”積累的“固化”過程。也就是說，在學習活動中所獲得的感性層面的體驗需要借助語言的描述逐步積淀下來成為相對穩(wěn)定的認知狀態(tài)，這就是“經驗”的積累。與此同時，從上述討論中我們還可以看到通過聯系與比較，前后獲得的“經驗”還可以鏈接、整合，融會貫通。因此，對于課堂小結我們絕不能走過場，也不能僅僅停留在“學了什么”，而更應關注“怎么學的”。

綜上，由于“思維經驗”具有綜合性、內隱性的特征，使得我們難以像知識技能那樣分門別類地展開教學。但正如史寧中教授所說，“如果能設計出好的教學方案，一定能夠成為‘幫助學生積累數學思維經驗’的有效載體”。這就需要我們在課堂上堅持以生為本、以學為本，盡可能創(chuàng)造條件引導學生主動參與學習、積極展開思考，從而獲得更為豐富的感悟與體驗。并且，這絕非一朝一夕之功，而是一個長期的累積過程。

[1]史寧中.基本概念與運算法則[M].北京：高等教育出版社，2013（5）.

[2]張奠宙，等.小學數學研究[M].北京：高等教育出版社，2009（1）.

[3]宋健泳，范新林.經歷圖形認知過程 積累思維活動經驗——以“平面圖形的認識”教學為例[J].教學月刊·小學版（數學），2015（9）.

（浙江省湖州市鳳凰小學 313000）