□陳芬芬

關(guān)注圖形特征 積累思維經(jīng)驗(yàn)
——以“長方形和正方形的周長”教學(xué)為例

□陳芬芬

思維經(jīng)驗(yàn)是一種在思維活動中獲得的過程性體驗(yàn)，其核心是如何思考的經(jīng)驗(yàn)。教學(xué)中，教師要讓學(xué)生在感悟和體驗(yàn)中開展思維活動，經(jīng)歷思維的全過程。“長方形和正方形的周長”一課的教學(xué)，試從研究圖形的特征入手展開周長教學(xué)，通過不斷比較、層層剝離，使學(xué)生最終體會到特殊的外在形式會有特殊的思維方式，從而積累數(shù)學(xué)思維經(jīng)驗(yàn)。

圖形特征 思維經(jīng)驗(yàn) 長方形和正方形的周長

數(shù)學(xué)教學(xué)既要讓學(xué)生掌握一定的知識技能，同時也要讓學(xué)生在特定的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中發(fā)展思維，積累活動經(jīng)驗(yàn)。而數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的積累主要包括“實(shí)踐活動經(jīng)驗(yàn)”的積累和“思維活動經(jīng)驗(yàn)”的積累。相對于“實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)”，“思維經(jīng)驗(yàn)”更為抽象、更為隱性，其核心是如何思考的經(jīng)驗(yàn)，它是一種在思維活動中獲得的過程性體驗(yàn)。因此，在教學(xué)中，我們要讓學(xué)生在感悟和體驗(yàn)中經(jīng)歷思維的全過程，充分挖掘思維的本源，開展思維活動，展開思維過程，從而積累數(shù)學(xué)思維經(jīng)驗(yàn)。以下是筆者以“長方形和正方形的周長”一課為例來談如何積累數(shù)學(xué)思維經(jīng)驗(yàn)的粗淺思考。

“長方形和正方形的周長”是在學(xué)習(xí)了長方形和正方形的特征及周長的意義的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)的內(nèi)容，其教學(xué)目標(biāo)是讓學(xué)生理解和掌握長方形和正方形周長的計(jì)算方法。如果說，單從學(xué)會計(jì)算的角度來考慮，單純的套用公式學(xué)生易懂、教師易教。但如此一來，整個教學(xué)活動沒有學(xué)生思維的介入，缺乏思考性，學(xué)生也就無法獲得思維的過程性體驗(yàn)。因此，本課試著從研究圖形的特征入手展開周長教學(xué)，使學(xué)生最終體會到特殊的外在形式會有特殊的思維方式，從而積累數(shù)學(xué)思維經(jīng)驗(yàn)。

一、在描繪中挖掘本源

教學(xué)中，教師要考慮學(xué)生思維的源頭，也就是讓學(xué)生感受解決問題的最初想法。通過比一比、說一說等形式尋求思維的起點(diǎn)，理清思維的脈絡(luò)。

【環(huán)節(jié)1】

課始，師出示三幅圖：

師：這三幅圖形的周長在哪兒？你能比畫一下嗎？

生1：圖1的周長是從這里開始，沿著它所有邊繞一圈，然后再回到這里。（邊說邊用手沿著圖形比畫了圖形所有的邊）

生2：……

生3：……

生2和生3用同樣的方法描繪了圖2、圖3這兩幅圖的周長。

【思考】

在此環(huán)節(jié)中，學(xué)生的思維起點(diǎn)是什么？不言而喻，應(yīng)該是“周長的意義”。學(xué)生在用手比畫周長、用語言描繪周長之前必須思考的是“什么是周長”。只有當(dāng)學(xué)生明白了“封閉圖形一周的長度就是它的周長”后，才能較好地解決“周長在哪里”的問題。因此，要想較好地解決這個問題，就必須充分挖掘?qū)W生思維的本源，弄清學(xué)生的真實(shí)思維過程，通過對圖形周長的描繪，較好地解決“周長在哪里”的問題。

二、在比較中尋求突破

教學(xué)中，每個學(xué)生的思維方式都不同，因此，我們要盡可能地傾聽每個學(xué)生的思考過程，讓他們的思維介入教學(xué)活動，并在比較中尋求新的突破，只有這樣學(xué)生才能得到思維的過程性體驗(yàn)。

在探究如何測量周長的過程中，學(xué)生的思維是活躍的，他們在對周長意義的理解中，感受求周長的多種方法。而在此過程中，教師的任務(wù)只是引領(lǐng)，通過“你量了幾條邊”“你是怎么算的”兩個問題，喚起學(xué)生的思維。

【環(huán)節(jié)2】

師：（繼續(xù)利用三幅圖）你能試著求出這幾幅圖的周長嗎？請你量一量、算一算。

反饋一：圖1的反饋結(jié)果

生：圖1，我量了4條邊，只要把4條邊的長度相加就是它的周長了。

反饋二：圖2的反饋結(jié)果

生：圖2，我也量了4條邊，把4條邊的長度相加就是它的周長了。

生：圖2，只要量兩條邊就可以了。用長邊×2+短邊×2就可以算出它的周長了。

師追問：為什么只量兩條就可以了？

生：圖2是一個長方形，長方形的對邊相等。

生：我也量兩條邊，我先求長邊加短邊的和，再乘2。

反饋三：圖3的反饋結(jié)果

生：圖3，我量了1條邊，把每條邊的長度相加就可以了。

生：圖3，我也量了1條邊，但我只要用1條邊的長度×4就可以了。

師追問：為什么都只量1條邊，可算法卻不一樣呢？

生：圖3是一個正方形，每條邊的長度都相等，所以用1條邊的長度×4更簡便。

【思考】

不同的答案，分別代表不同的思維層次，但學(xué)生解決問題的最初想法是一樣的：“什么是周長”“如何求周長”，周長就是把一個封閉圖形中所有邊的長度相加。但細(xì)細(xì)考慮，為什么學(xué)生會有不同的量法、不同的算法，除了學(xué)生思維的角度、深度不同外，還有其他不同嗎？在教師不斷的追問中，我們得到了答案：圖2是長方形，對邊相等，只要量一條長和一條寬就可以了；圖3是正方形，每條邊都相等，只要量一條邊就可以了；而圖1是個普通四邊形，每條邊的長度都不相等，所以要量四條邊。原來，不同的圖形，求周長的方法可以不同；相同的圖形，求周長的方法也可以不同，這其中的關(guān)鍵在于圖形的特征不同。通過不斷地比較、層層地剝離，使學(xué)生對求周長的方法有了更清晰的認(rèn)識，也使學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知和思維水平都得到了突破。

三、在反思中明確方向

通過比較，能使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維介入教學(xué)活動，從而獲得更充分的過程性體驗(yàn)。而通過反思，使內(nèi)隱的思維經(jīng)驗(yàn)外顯化，使學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有了明確的方向。

【環(huán)節(jié)3】

師：剛才我們用各種不同方法求出了三個圖形的周長，你覺得有什么相同或不同的地方嗎？（同桌交流）

生：都可以用四條邊相加來求周長。

生：算法不一樣。

師追問：為什么？

生：這三個圖形邊的特征不一樣。

師小結(jié)：原來是和邊有關(guān)系，邊的特征不一樣，求周長的算法也有所區(qū)別。

【思考】

通過總結(jié)反思，將解決問題的矛頭指向“邊”的特征，正是因?yàn)閳D形中邊的特征不同，才使求周長的方法有了不同。這看似簡單的環(huán)節(jié)，卻是十分必要的，因?yàn)橹挥性诓粩嗟乃急嬷?，學(xué)生的思維能力才能進(jìn)一步發(fā)展，思維經(jīng)驗(yàn)才能得到積累。

四、在遷移中建立模型

思維經(jīng)驗(yàn)的積累不是一蹴而就的，而是一個不斷深化、逐步提升的過程。有時，思維經(jīng)驗(yàn)更是在對解決相關(guān)數(shù)學(xué)問題的舉一反三、觸類旁通中，通過對原有知識經(jīng)驗(yàn)的遷移，形成結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)模型，使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維走向深刻。教學(xué)中，教師可引導(dǎo)學(xué)生多用“分類、比較”等方法，以此想通、悟透知識間的來龍去脈，從而積淀思維經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展思維能力。

【環(huán)節(jié)4】

在結(jié)束新知教學(xué)后，拓展部分有這樣一個環(huán)節(jié)：出示題目“尋找差不多”（如下圖）。

師：要想求出上面圖形的周長要量幾條邊呢？為什么？可以怎么算？

生：圖4，只要量1條邊，因?yàn)槊織l邊的長度是相等的。只要量1條邊的長度再乘3就可以了。

生：圖5，量1條邊，再乘5。

生：圖6，量2條邊，一條長邊一條短邊，用長邊加短邊的和乘2就可以了，因?yàn)橛羞@樣的兩組！

生：圖9，量2條邊，一條長邊一條短邊，但要乘4，因?yàn)橛羞@樣的四組！

師：這些圖形中，哪些和正方形的周長計(jì)算差不多？哪些和長方形的周長計(jì)算差不多？為什么？

生：圖4、圖5、圖7和正方形的周長計(jì)算差不多；圖6、圖8、圖9和長方形的周長計(jì)算差不多！

生：圖4、圖5、圖7和正方形差不多，每條邊的長度都相等；圖6、圖8、圖9和長方形差不多，分別有一條長邊和一條短邊。

師小結(jié)：同學(xué)們不僅學(xué)會了求長方形和正方形的周長，還學(xué)會了用同樣的方法求類似圖形的周長。

【思考】

這個環(huán)節(jié)，看似簡單，實(shí)則是學(xué)生思維真正積極投入、參與數(shù)學(xué)活動的過程。當(dāng)學(xué)生在教師的引導(dǎo)下思考“要量幾條邊、可以怎么算”的時候，其實(shí)正是他們在找尋這些圖形最基本的特征。如，圖4為什么只量1條邊，但要乘3；圖9為什么要量2條邊，但要用兩邊之和乘4。通過深入的觀察，我們發(fā)現(xiàn)，原來這些圖形和長方形、正方形一樣，它們的邊都有各自不同的特征，因而在計(jì)算周長時會有不同的量法和算法。而當(dāng)教師問及“哪些和正方形的周長計(jì)算差不多？哪些和長方形的周長計(jì)算差不多？”時，更是激發(fā)了學(xué)生的深度思考，于是將這些特殊的圖形根據(jù)邊的不同進(jìn)行分類，并與長方形、正方形進(jìn)行比較，找出它們之間共同的特征，進(jìn)而將長方形、正方形的周長計(jì)算遷移到這一類圖形周長的計(jì)算，建立起“如何求周長”的數(shù)學(xué)模型。在此過程中，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維一直處于積極的體驗(yàn)過程中，通過不斷的比較，深化學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知，提升數(shù)學(xué)思維水平。

五、在拓展中提升品質(zhì)

思維經(jīng)驗(yàn)的積累還需進(jìn)一步拓展思維空間、提升思維品質(zhì)。如果說，讓學(xué)生在不斷地感悟和體驗(yàn)中解決“如何求周長”的問題，使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維得到較好的發(fā)展。那么，“求彩帶有多長”一題的出示（如下圖），又將學(xué)生思維的發(fā)展從二維過渡到了三維。

【環(huán)節(jié)5】

出示題目：

師：要求彩帶有多長，其實(shí)就是算哪幾條邊的長度呢？可以怎么算？

生：兩條2分米、兩條1分米。（學(xué)生拿著實(shí)物盒子邊比畫邊說）

生：2×2+1×2=6（分米）。

師：你能想象其實(shí)就是求哪個圖形的周長嗎？你有什么好辦法讓大家看得更清楚在哪個面嗎？

生：我把這條帶子慢慢地移出來，其實(shí)就是求這個長方形的周長了。（學(xué)生邊說邊移動彩帶到最邊上，讓學(xué)生明白求彩帶的長度就是盒子中其中一個面的周長）

【思考】

彩帶所圍成的圖形是個長方形，但它處于一個三維的空間中，需要借助想象才能完成。而此時，教師順勢引導(dǎo)“你有什么好辦法讓大家看得更清楚嗎”，讓學(xué)生明白可以通過平移讓彩帶變得直觀，也將學(xué)生的認(rèn)知從三維拉回到二維平面圖形上。通過這樣的拓展，發(fā)展了學(xué)生的思維空間，提升了思維品質(zhì)，積累了思維經(jīng)驗(yàn)。當(dāng)然，這種思維經(jīng)驗(yàn)的積累還將為后續(xù)“棱長總和”的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

經(jīng)驗(yàn)的生成離不開數(shù)學(xué)活動，而伴隨著思維的參與，經(jīng)驗(yàn)才會具有創(chuàng)造性的生長。思維經(jīng)驗(yàn)是學(xué)生在積極參與數(shù)學(xué)活動中獲得的一種過程性體驗(yàn)，體驗(yàn)越豐富，經(jīng)驗(yàn)就積累得越多。只要教師能讓學(xué)生在各種活動中不斷感悟、不斷積淀各種思維經(jīng)驗(yàn)，必將促進(jìn)學(xué)生思維能力的發(fā)展。

[1]郭玉峰.數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)研究——理論與實(shí)踐探討[D].東北師范大學(xué)博士論文，2012.

[2]沈華斌，范新林.連通思考節(jié)點(diǎn) 積淀思維經(jīng)驗(yàn)[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)，2015.

（浙江省湖州市月河小學(xué)教育集團(tuán) 313000）