陳 皓， 王文憲， 李雪芹

（1．西南交通大學(xué)交通運(yùn)輸與物流學(xué)院，四川成都610031；2．綜合交通運(yùn)輸智能化國家地方聯(lián)合工程實(shí)驗(yàn)室，四川成都610031）

鐵路網(wǎng)多流向超限貨物運(yùn)輸路徑優(yōu)化模型及算法

陳 皓1，2， 王文憲1， 李雪芹1

（1．西南交通大學(xué)交通運(yùn)輸與物流學(xué)院，四川成都610031；2．綜合交通運(yùn)輸智能化國家地方聯(lián)合工程實(shí)驗(yàn)室，四川成都610031）

為了將鐵路網(wǎng)中具有不同去向的超限貨物合理地分配至各條路徑，以超限貨物的運(yùn)輸路徑里程、運(yùn)輸時(shí)間以及對既有線路正常運(yùn)營組織干擾最小為目標(biāo)，以路段運(yùn)輸限界、通過能力和途經(jīng)橋梁乘載能力為約束，建立多流向超限貨物運(yùn)輸路徑選擇的多目標(biāo)規(guī)劃模型．根據(jù)模型特點(diǎn)設(shè)計(jì)多目標(biāo)混合遺傳算法進(jìn)行求解，該算法采用自然數(shù)組編碼方式以及特殊的交叉、變異算子用以滿足約束條件，同時(shí)引入模擬退火策略提高鄰域搜索能力．實(shí)例結(jié)果表明，對于包含14個(gè)節(jié)點(diǎn)車站、23個(gè)路段的復(fù)雜鐵路網(wǎng)，利用本文模型算法獲得方案的目標(biāo)函數(shù)值均優(yōu)于遺傳算法和退火算法得到的方案，從而為鐵路網(wǎng)超限貨物運(yùn)輸路徑選擇提供技術(shù)決策方法．

超限貨物；路徑優(yōu)化；非線性混合整數(shù)規(guī)劃模型；混合遺傳算法

Key words：out-of-gauge freights；path optimization；nonlinear mixed integer programming model；ant colony algorithm

超限超重貨物多數(shù)是國家基礎(chǔ)建設(shè)設(shè)施或大型機(jī)械設(shè)備，具有長大、笨重的特征，且具有極高的價(jià)值．這就決定了超限超重貨物運(yùn)輸?shù)奶攸c(diǎn)是高費(fèi)用、高風(fēng)險(xiǎn)、高復(fù)雜度的作業(yè)過程．特別是在組織超限超重專列進(jìn)行運(yùn)輸時(shí)，其運(yùn)輸過程需要調(diào)度、車輛、機(jī)務(wù)、工務(wù)、電務(wù)等多個(gè)鐵路運(yùn)輸部門協(xié)同完成．這就使得超限超重貨物的運(yùn)輸條件比普通貨物更嚴(yán)格［1-2］．本文對鐵路網(wǎng)多流向超限貨物運(yùn)輸問題的界定是，將具有不同來源或去向的超限貨物分配在鐵路網(wǎng)中的不同運(yùn)輸路徑上，其實(shí)質(zhì)為貨物運(yùn)輸路徑選擇問題．

針對該問題，國內(nèi)外學(xué)者做過較多相關(guān)研究．文獻(xiàn)［3］用雙目標(biāo)雙容量數(shù)學(xué)模型求解超限超重貨物的運(yùn)輸路徑選擇，將該問題轉(zhuǎn)化成具有最大流限制的最短路徑問題，并設(shè)計(jì)了求解該問題的算法．文獻(xiàn)［4-5］綜合考慮限界、橋梁承載能力、車流平衡等約束，以對正常運(yùn)輸組織干擾、運(yùn)輸里程和費(fèi)用最小化為目標(biāo)，構(gòu)建了超限超重貨物運(yùn)輸路徑優(yōu)化模型，設(shè)計(jì)了基于不斷修正規(guī)范化目標(biāo)函數(shù)權(quán)重的實(shí)例匹配策略，構(gòu)造了啟發(fā)式路徑搜索算法．文獻(xiàn)［6］深入分析了超限車運(yùn)行決策優(yōu)化問題，根據(jù)超限車裝載加固實(shí)例匹配原理，構(gòu)建超限車運(yùn)行決策網(wǎng)絡(luò)模型，并提出超限車運(yùn)行決策優(yōu)化算法，有效解決了超限車運(yùn)行決策優(yōu)化問題．文獻(xiàn)［7］采取層次分析法，對超限超重貨物運(yùn)輸中的突出問題進(jìn)行了權(quán)重分析，并針對這些問題建立了應(yīng)急預(yù)案的基本框架和應(yīng)急響應(yīng)體系，提出了突發(fā)事件的應(yīng)急措施、應(yīng)急預(yù)案的編制與實(shí)施方法，對超限超重貨物運(yùn)輸方案的設(shè)計(jì)過程實(shí)例進(jìn)行了分析．文獻(xiàn)［8］建立了超限超重貨物運(yùn)輸影響因素的模糊綜合評價(jià)模型，設(shè)計(jì)了優(yōu)化算法的思想，應(yīng)用模糊數(shù)學(xué)思想設(shè)計(jì)了單層和多層路徑?jīng)Q策模型，并給出了相應(yīng)的單層和多層路徑?jīng)Q策優(yōu)化算法．

上述研究主要是通過建立各種超限貨物路徑選擇模型，設(shè)計(jì)不同啟發(fā)式算法實(shí)現(xiàn)路網(wǎng)最優(yōu)路徑的搜索．但隨著路網(wǎng)規(guī)模的擴(kuò)大，以及線路區(qū)間運(yùn)輸組織的復(fù)雜化，獲取該問題的精確解具有相當(dāng)?shù)碾y度．根據(jù)超限貨物運(yùn)輸?shù)奶匦约拌F路運(yùn)輸狀況設(shè)計(jì)相應(yīng)的高效啟發(fā)式算法，是提高求解效率的重要策略．遺傳退火算法是在遺傳算法的基礎(chǔ)上，用模擬退火策略以增強(qiáng)鄰域搜索能力的混合優(yōu)化算法，即引入模擬退火Metropolics選擇機(jī)制作為另一個(gè)算子的改進(jìn)算法．對于模擬退火的研究已有較多成果．文獻(xiàn)［9］使用混合遺傳-模擬退火算法對公交行車調(diào)度進(jìn)行優(yōu)化，表明該算法比標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法具有更高的效率．文獻(xiàn)［10］提出改進(jìn)遺傳模擬退火算法，對大件公路運(yùn)輸路徑選擇問題進(jìn)行優(yōu)化，實(shí)例仿真驗(yàn)證了該算法相對于其他算法的優(yōu)越性．

本文在上述研究的基礎(chǔ)上，綜合考慮路段區(qū)間的鐵路限界、橋梁承載能力與線路通過能力等約束，以及對正常運(yùn)輸組織的干擾，對運(yùn)營里程、運(yùn)輸時(shí)間進(jìn)行綜合優(yōu)化，建立多流向超限超重貨物運(yùn)輸徑路綜合優(yōu)化模型．在融合遺傳算法并行計(jì)算能力以及模擬退火算法鄰域搜索優(yōu)勢的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)改進(jìn)的混合算法求解模型，從而快速確定各流向超限超重貨物的運(yùn)輸路徑．

1 模型構(gòu)建

超限貨物運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò)是運(yùn)輸路徑優(yōu)化的基礎(chǔ)，鐵路網(wǎng)

中，鐵路網(wǎng)中的車站節(jié)點(diǎn)和連接線路分別為網(wǎng)絡(luò)頂點(diǎn)和有向?。?/p>

車站節(jié)點(diǎn)集

I表示車站節(jié)點(diǎn)的數(shù)量；連接車站節(jié)點(diǎn)i和j的線路集

線路的能力屬性集

包括線路的綜合最小建筑限界、橋梁檢定承載系數(shù)以及通過能力；線路的廣義運(yùn)輸屬性集

包括線路的運(yùn)輸密度、運(yùn)輸里程以及運(yùn)輸速度．鐵路網(wǎng)超限貨物運(yùn)輸路徑優(yōu)化模型M1為

式中：fst為s→t流向的超限貨物運(yùn)量；

K為超限貨物列車的平均編成輛數(shù)；

sLst為超限貨物裝載后在直線線路上的輪廓；

sCst為超限貨物裝載后在曲線線路上的輪廓；

Qst為超限貨物列車通過橋梁的運(yùn)行活載；

δkij為某流向超限貨物的運(yùn)輸路徑與區(qū)間i→j的關(guān)聯(lián)系數(shù)，取1表示區(qū)間i→j在其運(yùn)輸路徑上，取0為否；

bLij為區(qū)間i→j上的最小直線建筑限界；

bCij為區(qū)間i→j上的最小曲線建筑限界；

mij為區(qū)間i→j的最小橋梁承載系數(shù)；

Cij為區(qū)間i→j的通過能力；

cij為區(qū)間i→j的原有列車數(shù)；

Dij為區(qū)間i→j的運(yùn)輸密度；

vLij為超限貨車在區(qū)間i→j的限速；

lij為區(qū)間i→j的里程；

Tij為區(qū)間i→j的單位運(yùn)輸時(shí)間；

xkst為0-1決策變量，取1時(shí)表示s→t流向的超限貨物選取路徑pkst，取0為否，

Pst為s→t流向超限貨物的可行路徑集．

式（1）表示對正常運(yùn)輸組織干擾最小的目標(biāo)函數(shù)．由于開行超限超重的貨運(yùn)列車，需要鐵路多部門的合作協(xié)調(diào)，運(yùn)輸組織極為復(fù)雜．例如，超限等級或重心較高時(shí)，有嚴(yán)格的限速且不能會車等，這些因素會對原有線路運(yùn)輸車輛的正常運(yùn)營造成極大的影響．所以開行這類超限超重貨車，需要盡量避開主要干線或繁忙線路，盡可能地減少對現(xiàn)有線路運(yùn)輸組織的影響．在此用對線路正常情況下運(yùn)輸密度的干擾程度來表示開行超限超重貨車對正常運(yùn)輸組織的影響，干擾程度與超限貨車的限速有關(guān)，限速越小，干擾越大［13］．

式（2）表示運(yùn)輸里程短的目標(biāo)函數(shù)．在盡可能滿足約束條件的前提下，最短運(yùn)輸路徑是指相對較短，而非絕對的最短路徑．

式（3）表示運(yùn)輸時(shí)間短的目標(biāo)函數(shù)．在一些線路條件較差的地方，如果進(jìn)行超限超重貨物列車的運(yùn)輸，由于超限等級、線路線間距、曲線半徑等因素的限制，超限貨物列車需要限速通過．

超限超重貨物由于其運(yùn)輸貨物的特殊性，對運(yùn)輸路徑選擇的要求更為苛刻，為保障運(yùn)輸安全，除了要滿足一般貨物運(yùn)輸所需考慮的車流平衡和站線能力約束，還應(yīng)考慮其它安全方面的約束要求［11-12］．

式（4）和（5）表示限界限制約束條件．運(yùn)輸限界限制了該線路允許通過車輛的尺寸范圍，尤其是超寬、超高、超長的貨物運(yùn)輸，在直線或曲線線路上，貨物任意位置的尺寸必須嚴(yán)格地與實(shí)際建筑限界保持一定的距離．

式（6）表示橋梁承載能力限制約束條件．橋梁的承載能力應(yīng)以橋梁的檢定承載系數(shù)表示，車輛在通過橋梁或線路時(shí)，車輛重量必須小于或等于該段線路或橋梁所允許的檢定承載系數(shù)．

式（7）表示區(qū)間通過能力限制約束條件．超限貨物列車通過某區(qū)間，與該區(qū)間原有車流量的總和不得超過該區(qū)間的通過能力．

2 混合遺傳算法設(shè)計(jì)

在上述多目標(biāo)優(yōu)化問題中，這些子目標(biāo)之間并非正相關(guān)，很難找到一組解使多目標(biāo)優(yōu)化模型的各子目標(biāo)同時(shí)達(dá)到最優(yōu)，通常只能求得模型的非劣解，即Pareto最優(yōu)解．

2．1 多目標(biāo)優(yōu)化的概念

對于具有α個(gè)子目標(biāo)的多目標(biāo)優(yōu)化問題

如果u、v分別為該問題的兩個(gè)可行解，其對應(yīng)的各子目標(biāo)的目標(biāo)函數(shù)值記為

和

定義1 Pareto占優(yōu)．當(dāng)且僅當(dāng)?δ＝1，2，…，α，fρ（u）≤fρ（v），且?β＝1，2，…，α，fβ（u）＜fβ（v）時(shí)，可行解u對于可行解v占優(yōu)．

定義2 Pareto最優(yōu)．設(shè)u*為可行解，其目標(biāo)函數(shù)為｛f1（u*），f2（u*），…，fα（u*）｝，對于所有u，不存在fρ（u）＜fρ（u*），則稱可行解u*為Pareto最優(yōu)解．

2．2 算法設(shè)計(jì)

遺傳退火算法的基本思路是，首先隨機(jī)產(chǎn)生初始種群，執(zhí)行完基本遺傳算子后，按照某種策略生成鄰域種群，然后針對兩種群個(gè)體分別執(zhí)行Metropolics選擇，并下降溫度．本文借鑒SA-GA（simulated annealing-genetic algorithm）算法機(jī)理，對算子進(jìn)行適當(dāng)修改，應(yīng)用于求解鐵路網(wǎng)超限貨物運(yùn)輸路徑?jīng)Q策問題．

（1）編碼方式

一般來說，運(yùn)用遺傳算法解決組合優(yōu)化問題時(shí)，應(yīng)將該問題的解編碼為一個(gè)具有某種設(shè)計(jì)規(guī)則的自然數(shù)組［14］．本文用向量Schrom＝（p1，p2，…，pm）作為一個(gè)染色體來表示從1～m流向超限貨物的各運(yùn)輸路徑，其中，染色體中的每個(gè)基因片段pi（i＝1，2，…，m）都對應(yīng)該流向超限貨物所經(jīng)過的路徑，即pi＝（r1，r2，…，rn）．

（2）適應(yīng)度函數(shù)

個(gè)體適應(yīng)度主要由目標(biāo)函數(shù)值決定，在本文中，每條染色體都具有3個(gè)適應(yīng)度值，即對正常運(yùn)輸組織干擾、運(yùn)輸里程與運(yùn)輸時(shí)間的適應(yīng)度分別為

式中：z1～z3為模型M1的目標(biāo)函數(shù)．．

對于超出限界限制的區(qū)段，引入懲罰系數(shù)M和階躍函數(shù)J（x）．定義

將式（8）代入目標(biāo)函數(shù)，即

可采用上述方法將橋梁承載與區(qū)間通過能力限制約束條件轉(zhuǎn)化為虛擬路段能力．

（3）選擇方式

本文采取保留精英的選擇策略，首先根據(jù)適應(yīng)度函數(shù)選擇種群中具有最優(yōu)適應(yīng)度的個(gè)體直接進(jìn)入子代，再對當(dāng)前種群執(zhí)行隨機(jī)遍歷抽樣，直至子代種群規(guī)模與父代相同．

（4）交叉方式

交叉方式如圖1所示．在染色體中隨機(jī)選擇兩個(gè)不同流向超限貨物所選路徑的代表基因片段（n1，n2，…，nn）和，并隨機(jī)選擇它們之間的某個(gè)公共節(jié)點(diǎn)，即ni＝n′i，交換兩個(gè)基因片段在該節(jié)點(diǎn)后的部分染色體，從而得到兩個(gè)新的染色體：

圖1 交叉方式Fig．1 Cross mode

（5）變異方式

在對染色體進(jìn)行變異時(shí)，首先隨機(jī)選擇某個(gè)流向超限貨物所代表的基因片段，然后在｛1，2，…，k｝中隨機(jī)產(chǎn)生一個(gè)整數(shù)i，再尋找一條從節(jié)點(diǎn)ni～nI的路徑

從而得到一條新的染色體

（6）模擬退火策略

在混合遺傳算法中，遺傳算法控制全局的尋優(yōu)方向，模擬退火的Metropolics鄰域搜索策略提高算法的鄰域搜索能力，兩者結(jié)合使算法的求解性能得到提高．

每次迭代時(shí)，在執(zhí)行完遺傳策略的子代種群中，隨機(jī)選擇一個(gè)當(dāng)前個(gè)體Schromi并按照變異的方式產(chǎn)生其鄰域個(gè)體Schromj，然后按照Metropolics策略對當(dāng)前個(gè)體進(jìn)行替換：

式中：p（i→j）為當(dāng)前個(gè)體Schromi被鄰域個(gè)體Schromj替換的概率；

f1（i）、f2（i）為當(dāng)前個(gè)體Schromi的適應(yīng)度；

T為當(dāng)前溫度．

用遺傳算法求解超限貨物運(yùn)輸路徑優(yōu)化問題的流程如下．

步驟1 設(shè)定參數(shù)，種群大小為popsikze，交叉概率調(diào)整參數(shù)為pc，變異概率為pm，最大迭代次數(shù)為Gmax；

步驟2 按照本節(jié)文染色體編碼方式生成初始種群pop，當(dāng)前代數(shù)g←1；

步驟3 計(jì)算當(dāng)前種群中各染色體的適應(yīng)度，根據(jù)本節(jié)設(shè)計(jì)的選擇規(guī)則生成父代種群；

步驟4 根據(jù)本節(jié)設(shè)計(jì)的交叉方式，對種群進(jìn)行交叉操作；

步驟5 根據(jù)前文設(shè)計(jì)的變異方式，對種群進(jìn)行變異操作；

步驟6 在子代種群隨機(jī)選擇一個(gè)染色體生成其鄰域解，按式（10）對兩者進(jìn)行選擇，更新當(dāng)前迭代次數(shù)g←g＋1；

步驟7 算法終止判定，若g≤Gmax，轉(zhuǎn)步驟3循環(huán)計(jì)算，否則輸出當(dāng)前種群中最優(yōu)染色體，并解碼為最優(yōu)運(yùn)輸路徑方案．

3 算例分析

以我國某地區(qū)局部鐵路網(wǎng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖為例，采用模擬OD車流數(shù)據(jù)，利用本文構(gòu)建的優(yōu)化模型進(jìn)行配流和路徑優(yōu)化，驗(yàn)證模型及算法的適應(yīng)性．

簡化后的鐵路網(wǎng)結(jié)構(gòu)如圖2所示，圖2中有14個(gè)節(jié)點(diǎn)車站、23個(gè)路段．各流向超限貨物量為：

1→13流向?yàn)?2車；

1→14流向?yàn)?4車；

12→13流向?yàn)?03車；

12→14流向?yàn)?7車．超限貨物列車的平均編成輛數(shù)為K＝50，總載重4 000 t．超限貨物裝載后在直線與曲線上的輪廓分別為2 320和2 400 mm，屬于超級超限情況．各路段的線路參數(shù)如表1所示．

圖2 鐵路網(wǎng)示意圖Fig．2 Schematic diagram of railway network

表1 各個(gè)路段的線路參數(shù)參考值Tab．1 Reference values of line parameters for different road sections

利用本文模型，經(jīng)過試算和調(diào)整，最終確定各個(gè)參數(shù)值：種群大小為60，交叉概率

變異概率

初始溫度

結(jié)束溫度

溫度衰減參數(shù)

最大迭代次數(shù)

每次均包括算法對超限貨物運(yùn)輸路徑的尋優(yōu)和對出發(fā)時(shí)間的調(diào)整．

當(dāng)種群執(zhí)行完選擇、交叉、變異算子后，遺傳操作停止，進(jìn)入模擬退火Metropolics選擇．整個(gè)計(jì)算求解過程基于Matlab7．0軟件運(yùn)行，最終得到目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)的染色體為

解碼后得到各流向超限貨物的運(yùn)輸路徑如表2所示．整個(gè)鐵路網(wǎng)輸送超限貨物對正常運(yùn)輸組織的干擾程度為53．83，運(yùn)輸里程為871 km，運(yùn)輸時(shí)間為29．13 h．

表2 各流向路徑選擇結(jié)果Tab．2 Results of path selection in different flow directions

針對同一鐵路網(wǎng)多流向超限貨物運(yùn)輸路徑優(yōu)化問題，將本文方法與基本遺傳算法和模擬退火算法的求解結(jié)果進(jìn)行對比分析．在基本遺傳算法的種群大小、迭代次數(shù)、編碼、交叉與變異方式，以及模擬退火算法的溫度衰減參數(shù)均與混合遺傳算法相同的情況下，分別運(yùn)行上述3種算法各6次，計(jì)算結(jié)果的對比如表3所示．

表3 仿真結(jié)果比較Tab．3 Comparison of simulation results

從表3可知，經(jīng)過6次迭代后，本文設(shè)計(jì)的遺傳模擬退火算法得到的3個(gè)目標(biāo)平均結(jié)果優(yōu)于遺傳算法和模擬退火算法的平均結(jié)果，且在迭代過程中3次得到了該問題的最優(yōu)解．可見，利用本文設(shè)計(jì)的改進(jìn)遺傳模擬退火算法，可以方便有效地求得多約束條件下的鐵路網(wǎng)多流向超限貨物運(yùn)輸徑路優(yōu)化問題的最優(yōu)解或近似最優(yōu)解．

4 結(jié)束語

作為超限超重貨物運(yùn)輸調(diào)度的核心內(nèi)容之一，路徑方案的決策需要考慮其整體性與復(fù)雜性．本文綜合考慮超限超重貨物的運(yùn)輸里程、時(shí)間，以及對既有線路正常運(yùn)營的干擾程度，在此基礎(chǔ)上構(gòu)建了多流向超限超重貨物徑路優(yōu)化模型，用于確定不同流向超限貨物的運(yùn)輸路徑，并基于模型特點(diǎn)設(shè)計(jì)了遺傳退火算法進(jìn)行求解．通過14個(gè)節(jié)點(diǎn)車站、23個(gè)路段構(gòu)造的鐵路網(wǎng)算例，以及大量的仿真試驗(yàn)計(jì)算，獲得以下結(jié)論：

（1）在該算法的設(shè)計(jì)和實(shí)現(xiàn)方面，采用組合序列編碼方法產(chǎn)生初始種群，通過對交叉、變異等遺傳算子的適應(yīng)性設(shè)計(jì)，保證每個(gè)染色體的可行性，通過引入模擬退火策略，克服了不成熟的收斂，并增加了算法的鄰域搜索能力．

（2）在算法性能方面，以某地區(qū)局部鐵路網(wǎng)為例，分別采用遺傳算法、模擬退火算法和遺傳退火算法進(jìn)行求解，通過對徑路選擇結(jié)果對比分析發(fā)現(xiàn)，遺傳退火算法具有更好的全局尋優(yōu)能力，同時(shí)驗(yàn)證了本文提出的遺傳模擬算法在求解超限貨物運(yùn)輸徑路優(yōu)化問題的優(yōu)越性，具有重要的理論和現(xiàn)實(shí)意義．

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（中文編輯：秦萍玲 英文編輯：蘭俊思）

Routing Optimization Model and Algorithm for Out-of-Gauge Freights in Multiple Flow Railway Network

CHEN Hao1，2， WANG Wenxian1， LI Xueqin1
（1．School of Transportation and Logistics，Southwest Jiaotong University，Chengdu 610031，China；2．National United Engineering Laboratory of Integrated and Intelligent Transportation，Chengdu 610031，China）

In order to distribute the out-of-gauge freights reasonably to paths in railway network，a multi-objective optimization model was built for route selection of multi-direction out-of-gauge freights．In the model，the minimum transport route mileage，the minimum haulage time，and the minimum interference to the normal operation of the existing railway lines were taken as targets；and the distance between railway out-of-gauge freights and structure gauge，the railway transport capacity，and the loading capacity of the bridge along the way were used as constraints．According to the model characteristics，a multi-objective hybrid genetic algorithm was proposed to solve the model．In the algorithm，the natural array coding mode，together with cross and mutation operators，were designed to fit the constraints，and a simulated annealing strategy was introduced to enhance its neighborhood search capability．In addition，the proposed method was applied to the complex network containing 14 node stations and 23 sections to verify its validity．The application results show that the objective function values obtained by the proposed model and algorithm are superior to those obtained by genetic algorithm and annealing algorithm．Therefore，this method provides a technical measure for the decision-making of path selection in out-of-gauge freights transportation．

U294．6

A

0258-2724（2016）01-0145-07

10．3969／j．issn．0258-2724．2016．01．021

2014-09-27

中國鐵路總公司重點(diǎn)資助項(xiàng)目（2014S14022）

陳皓（1986—），男，博士研究生，研究方向?yàn)檫\(yùn)輸組織優(yōu)化理論與方法，電話：13568953471，E-mail：490646541＠qq．com

陳皓，王文憲，李雪芹．鐵路網(wǎng)多流向超限貨物運(yùn)輸路徑優(yōu)化模型及算法［J］．西南交通大學(xué)學(xué)報(bào)，2016，51（1）：145-151．