李 揚， 周 麗， 楊秉才

(南京航空航天大學(xué)機械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國家重點實驗室, 江蘇 南京 210016)

飛機紊流激勵響應(yīng)的模態(tài)參數(shù)識別①

李 揚， 周 麗， 楊秉才

(南京航空航天大學(xué)機械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國家重點實驗室, 江蘇 南京 210016)

風洞顫振試驗中通常采用紊流自然激勵，提高了模態(tài)參數(shù)識別的難度。發(fā)展了兩類紊流激勵響應(yīng)的模態(tài)參數(shù)識別方法：一是采用隨機子空間方法結(jié)合經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解方法識別信號的模態(tài)參數(shù)；二是采用隨機減量技術(shù)、自然激勵技術(shù)提取自由衰減響應(yīng)，進而利用矩陣束方法進行參數(shù)識別。紊流激勵響應(yīng)仿真數(shù)據(jù)與風洞試驗數(shù)據(jù)分析結(jié)果表明：采用這兩類方法都可以進行單測點紊流激勵響應(yīng)信號的模態(tài)參數(shù)識別，識別結(jié)果具有較高的準確性，結(jié)合速度-阻尼比法與顫振裕度法，有助于顫振邊界的提前預(yù)測。

顫振； 參數(shù)識別； 隨機子空間； 自然激勵技術(shù)； 隨機減量

引 言

顫振是一種危險的自激振動，飛機一旦顫振，很容易發(fā)生事故。因此，顫振邊界的預(yù)測具有重要的意義。在顫振試驗過程中，通常在每個風速下識別主要模態(tài)的參數(shù)，采用速度-阻尼比法進行外推擬合，阻尼比降為零時的風速即為顫振邊界。

傳統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)識別方法需要采用人工激勵的方式同時獲得輸入和輸出信號, 建立結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)來進行模態(tài)參數(shù)識別。對風洞顫振試驗來說,由于受模型尺寸、結(jié)構(gòu)及成本的限制,不便于安裝主動激勵裝置,通常采用風洞紊流自然激勵的方式，這對模態(tài)參數(shù)識別方法提出了更高的要求。

隨機減量技術(shù)(Random Decrement Technique，RDT)是一種從平穩(wěn)隨機響應(yīng)信號中提取系統(tǒng)自由衰減響應(yīng)的經(jīng)典方法，在振動模態(tài)分析、參數(shù)識別等領(lǐng)域取得了廣泛的應(yīng)用[1-2]。James等人于1993年提出了自然激勵技術(shù)(Natural Excitation Technique，NExT)[3]，證明線性時不變系統(tǒng)在白噪聲激勵下，節(jié)點的自相關(guān)函數(shù)或者節(jié)點間的互相關(guān)函數(shù)與脈沖響應(yīng)函數(shù)具有近似相同的表達式，因而可以用相關(guān)函數(shù)代替脈沖響應(yīng)，是另一種經(jīng)典的隨機信號處理技術(shù)[4-6]。

隨機子空間方法是目前較為先進的自然激勵條件下結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識別的時域方法[7-8]，可以有效地從自然激勵的結(jié)構(gòu)響應(yīng)中提取模態(tài)參數(shù)，具有主要模態(tài)參數(shù)識別準確且計算量小的優(yōu)點[9]，在土木、航空等領(lǐng)域取得了廣泛的應(yīng)用[10-14]。

本文分別對紊流激勵響應(yīng)仿真數(shù)據(jù)與風洞試驗數(shù)據(jù)進行分析，采用隨機子空間結(jié)合經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解(Empirical Mode Decomposition, EMD)[15]的方法進行信號處理與模態(tài)參數(shù)識別，并與RDT方法、NExT方法和矩陣束[16-18]模態(tài)參數(shù)識別方法的識別結(jié)果進行比較，驗證所用方法的有效性與準確性。

1 模態(tài)參數(shù)識別

1.1 隨機減量技術(shù)

隨機減量技術(shù)的基本思想是建立在線性系統(tǒng)的疊加原理基礎(chǔ)上的，即對于結(jié)構(gòu)隨機響應(yīng)，指定某種條件，將響應(yīng)中確定性的和隨機的兩部分實現(xiàn)分離，然后利用統(tǒng)計平均將隨機的部分排除掉，過濾出確定性的自由衰減信號。該技術(shù)原理如下：

對一個線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，在任意激勵下某測點的受迫振動響應(yīng)可表示為

U(t)=U(0)S(t)+R(t)

(1)

式中S(t)為初始條件引起的系統(tǒng)自由振動響應(yīng)，R(t)為激勵引起的隨機強迫振動響應(yīng)

(2)

式中h(t)為系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)函數(shù)，f(t)為外部激勵。

選取一個適當?shù)某?shù)U0去截取結(jié)構(gòu)實測的紊流激勵響應(yīng)信號U(t)，可得到一系列不同的交點時刻ti(i=1,2,…,N)，對于自ti時刻開始的響應(yīng)U(t-ti)可以看為兩個部分線性疊加，即由ti時刻初始條件引起的自由振動響應(yīng)和由ti時刻開始的隨機激勵引起的強迫振動響應(yīng)。

假設(shè)紊流激勵是平穩(wěn)的，則時間起點并不影響其隨機特性，將U(t-ti)的一系列事件起點ti移至坐標原點，可獲得相應(yīng)的一系列隨機過程的子樣本函數(shù)xi(t)，即

(3)

對xi(t)取統(tǒng)計平均得到

(4)

由于紊流激勵是平穩(wěn)的隨機振動且均值為0，故

q(t)≈U0S(t)

(5)

由此獲得系統(tǒng)的自由振動響應(yīng)。

1.2 NExT方法

對于N自由度黏性阻尼系統(tǒng)，其振動微分方程可表示為

(6)

式中M，C，K分別為系統(tǒng)的質(zhì)量、阻尼與剛度矩陣，x(t)為位移向量，f(t)為激勵。將位移向量用模態(tài)坐標表示為

(7)

式中Φ為模態(tài)矩陣，q(t)為模態(tài)坐標向量，φr為第r階振型，qr(t)為第r階模態(tài)坐標分量。

將式(7)代入式(6)，對方程兩邊左乘ΦT，利用模態(tài)的正交性可以得到

(8)

式中ζr為第r階模態(tài)阻尼比，ωnr為第r階模態(tài)無阻尼固有頻率，mr為第r階模態(tài)質(zhì)量。

利用杜哈梅積分，可得式(8)的解為

(9)

將式(9)代入式(7)得到

(10)

則當結(jié)構(gòu)在k點受激勵時，i點的響應(yīng)函數(shù)為

(11)

所以當激勵為脈沖激勵時，系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)為

(12)

當k點激勵為白噪聲激勵時，計算i,j兩點位移響應(yīng)xik與xjk的相關(guān)函數(shù)得

(13)

式中Gijr為與測點和模態(tài)階數(shù)有關(guān)的常數(shù)，計算i點的自相關(guān)函數(shù)也將得到與上式相同的表達式。

對比式(12)與式(13)可以發(fā)現(xiàn)，兩式具有近似相同的數(shù)學(xué)表達式，因此相關(guān)函數(shù)可以在基于時域的模態(tài)參數(shù)識別中用來代替脈沖響應(yīng)函數(shù)，來進行自然激勵下的參數(shù)識別。

1.3 隨機子空間方法

多輸入多輸出系統(tǒng)可以表示為狀態(tài)空間方程

(14)

式中x,u,y分別為過程向量、輸入向量與輸出向量；w和v分別是系統(tǒng)的過程噪聲與輸出測量噪聲。

子空間辨識算法的原理是通過給定的輸入輸出，確定系統(tǒng)矩陣A，B，C，D。其中，N4SID算法(numerical algorithm for subspace state space system identification，N4SID)首先構(gòu)建綜合“過去”與“未來”的Hankel矩陣，并對該矩陣進行QR分解，進而根據(jù)子空間等價原理確定擴展客觀性矩陣，最后采用回歸法基于估計的狀態(tài)矩陣來計算系統(tǒng)矩陣[11-12]。子空間算法求得狀態(tài)矩陣的每一對復(fù)特征值都對應(yīng)于結(jié)構(gòu)的一種振型，解A矩陣的特征值λi即可確定出模態(tài)的頻率和阻尼比。對于離散模型，模態(tài)頻率與阻尼比的表達式如下

(15)

式中fs為采樣頻率。

1.4 矩陣束方法

Sarkar等人[16]提出的矩陣束方法是一種基于復(fù)指數(shù)衰減模型的參數(shù)估計方法，具有較好的抗噪性與較高的準確性[17-18]。

矩陣束方法的推導(dǎo)過程如下：

采樣長度為N的噪聲污染信號可以用復(fù)指數(shù)參數(shù)模型描述為

(16)

式中k=0,1,…,N-1，x為無噪衰減信號，w為測量噪聲，n為模型階數(shù)，Ri為振幅，極點zi=e(-ζi+jωi)t。

先利用已測含噪信號y構(gòu)造一個(N-L)×(L+1)維的Hankel矩陣Y，定義如下

(17)

式中L為束參數(shù)，它對消除數(shù)據(jù)中的噪聲有著重要作用，取值范圍在N/2～N/3之間[16]。

(18)

(19)

Y2-λY1=Z1R(Z0-λI)Z2

(20)

2 數(shù)值仿真算例分析

建立一個平板機翼模型，如圖1所示，后掠角為15°，半展長為140.06 mm，順氣流方向弦長為51.76 mm，機翼的厚度為1.0 mm，機翼的前、后緣處厚度為零。機翼材料為鋁，彈性模量為7.1×1010Pa，泊松比為0.3，密度為2.7×103kg/m3，翼根為固支。沿弦向劃分4個單元，沿展向劃分7個單元，利用Nastran計算了機翼的固有頻率與振型，前4階頻率分別為：39.07，237.05，270.49，704.73 Hz。

圖1 機翼模型有限元劃分及氣動網(wǎng)格劃分Fig.1 The finite element division and aerodynamic grid division of wing model

圖1同時給出了空氣動力網(wǎng)格的劃分方案，即展向劃分為6單元，弦向劃分為4個單元。顫振計算使用的空氣密度值為1.226 kg/m3，采用p-k法計算了馬赫數(shù)為0.45時機翼在不同風速下各階模態(tài)的頻率與阻尼比，V-f,V-g曲線如圖2所示，得到顫振速度為149.1 m/s。

圖2 V-f 圖與V-g圖Fig.2 The graph of V-f and V-g

根據(jù)算得的不同風速下的前4階模態(tài)頻率與阻尼比，采用指數(shù)衰減模型構(gòu)造脈沖響應(yīng)，并卷積白噪聲激勵作為紊流激勵響應(yīng)信號，其數(shù)學(xué)模型如下

(21)

改變系數(shù)ar以構(gòu)造不同測點的響應(yīng)信號y1與y2，這兩個測點滿足位置接近、相關(guān)性較高、響應(yīng)同時包含相同的模態(tài)信息的條件，任取一風速V=25 m/s時信號的時間序列如圖3所示，采樣頻率fs=4096 Hz，采樣時間為2 s，激勵信號為高斯白噪聲，紊流信號附加了信噪比為20 dB的測量噪聲。

圖3 紊流激勵響應(yīng)仿真信號Fig.3 The simulation signal of atmospheric turbulence excitation response

采用N4SID子空間算法對不同風速下的雙通道隨機響應(yīng)[y1y2]進行參數(shù)識別，模態(tài)頻率與阻尼比識別結(jié)果如圖4所示，深藍色代表一階模態(tài)，綠色代表二階模態(tài)，紅色代表三階模態(tài)，淺藍色代表四階模態(tài)，實線表示識別結(jié)果，虛線表示理論值?？梢园l(fā)現(xiàn)，頻率識別結(jié)果比較準確，第2階至第4階模態(tài)的阻尼比識別結(jié)果也吻合良好，第1階模態(tài)的阻尼比識別存在較大誤差，這是因為其阻尼比較大、衰減快，導(dǎo)致該階模態(tài)在隨機響應(yīng)中所占比例較低的緣故。結(jié)果表明，對于自然激勵中相關(guān)性較高的多通道響應(yīng)，N4SID子空間算法能夠較準確地識別其模態(tài)參數(shù)。

圖4 N4SID算法識別結(jié)果Fig.4 The identified results by N4SID method

然而，對于實際的紊流響應(yīng)信號，如果不同測點的相關(guān)性較低，各信號包含不同的模態(tài)信息，直接用N4SID子空間算法識別多通道隨機響應(yīng)將會出現(xiàn)模態(tài)信息丟失、參數(shù)識別誤差大等問題，將對顫振邊界的預(yù)測造成很大的困難。

因此，針對上述情況，采用EMD方法對單測點響應(yīng)數(shù)據(jù)y1進行處理，得到前n階模態(tài)響應(yīng)的平穩(wěn)的隨機信號，分解信號及其頻譜圖如圖5所示，進而用N4SID子空間算法對各分解信號進行模態(tài)參數(shù)識別。

圖5 EMD分解信號及頻譜圖Fig.5 The signal decompositions by EMD method and their spectrograms

對于單測點隨機響應(yīng)，還可以采用提取脈沖響應(yīng)的方法進行模態(tài)參數(shù)識別。對y1信號分別采用RDT與NExT方法進行處理，所得信號如圖6所示，可以發(fā)現(xiàn)這兩種方法提取的自由衰減信號吻合良好。采用矩陣束方法對衰減信號進行模態(tài)參數(shù)識別，所得結(jié)果與子空間識別結(jié)果進行對比，識別結(jié)果如表1所示，其中理論值為模擬的紊流響應(yīng)信號采用的模態(tài)參數(shù)值。

表1結(jié)果表明，對于單測點紊流響應(yīng)，用EMD+N4SID，NExT+MPM，RDT+MPM這三種方法識別得到的模態(tài)頻率與阻尼比基本一致，具有較高的準確性，其中NExT+MPM識別結(jié)果更為準確。

圖6 RDT與NExT方法提取的信號Fig.6 The extracted signal by RDT and NExT method

表1 單測點響應(yīng)的模態(tài)參數(shù)識別結(jié)果

3 顫振邊界預(yù)測方法

常用的顫振邊界預(yù)測方法有兩種，包括速度-阻尼比法與Zimmerman-Weissenburger[19]提出的顫振裕度法(簡稱Z-W)方法。當只識別出危險模態(tài)的阻尼比時，通常采用速度-阻尼比法預(yù)測顫振邊界；而對于識別出引起顫振的兩階耦合模態(tài)參數(shù)，往往采用Z-W方法。

3.1 速度-阻尼比法

危險模態(tài)的阻尼比在靠近顫振邊界時會逐漸降為零，識別出不同風速下危險模態(tài)的阻尼比后，曲線擬合阻尼比與速度的關(guān)系，外推阻尼比降為零時的風速即為顫振速度。速度-阻尼比法可以采用二次多項式進行曲線擬合

(22)

式中Vi是風速，ζi是不同風速下的阻尼比，B是二次多項式擬合的系數(shù)。

3.2 Z-W方法

Zimmerman等人從二元機翼的動力學(xué)模型出發(fā)，結(jié)合Routh穩(wěn)定性判據(jù)，提出了適用于兩階耦合模態(tài)的顫振裕度 (Flutter Margin, FM) 法如下

(23)

式中ω1,ω2,ζ1,ζ2分別代表兩階耦合模態(tài)的頻率與阻尼比。

Z-W方法提出的判據(jù)FM有助于克服速度-阻尼比法易受阻尼比誤差影響的缺陷，對突發(fā)型顫振也能夠較早地預(yù)測顫振邊界[19-20]。Z-W方法根據(jù)每個風速下識別出兩階耦合模態(tài)參數(shù)計算出FM，曲線擬合FM相對于風速的曲線，外推FM為零時的風速即為預(yù)測的顫振速度。

4 試驗算例分析

對某型飛機單獨機翼模型進行風洞顫振試驗，在翼根處粘貼應(yīng)變片以測量垂直彎曲、面內(nèi)彎曲以及扭轉(zhuǎn)的響應(yīng)，機翼固有模態(tài)頻率分別為：垂直一彎2.67 Hz，垂直二彎8.54 Hz，面內(nèi)一彎13.76 Hz，一扭18.46 Hz。采樣頻率為4096 Hz，停車風速為42.5 m/s。

任取停車前某個風速下的響應(yīng)，如圖7所示。

圖7 各測點的響應(yīng)及自功率譜圖Fig.7 Measured responses and their auto-power spectrograms

對這些響應(yīng)進行去趨勢處理，根據(jù)每支模態(tài)頻率對信號進行帶通濾波，濾波后的信號分別采用EMD+N4SID，NExT+MPM與RDT+MPM方法進行模態(tài)參數(shù)識別，識別得到不同風速下一扭模態(tài)與面內(nèi)一彎模態(tài)的頻率與阻尼比，如圖8所示。

圖8 試驗數(shù)據(jù)模態(tài)參數(shù)識別結(jié)果Fig.8 Identified modal parameters of experimental data

分別采用速度-阻尼比法與Z-W方法進行顫振邊界預(yù)測，對識別的一扭模態(tài)阻尼比進行二項式擬合，擬合曲線如圖9所示，外推顫振邊界為43.82 m/s。采用一扭模態(tài)與面內(nèi)一彎模態(tài)的模態(tài)參數(shù)識別結(jié)果計算判據(jù)FM，直線擬合FM與風速的曲線，如圖10所示，外推顫振速度為44.48 m/s。

圖9 速度阻尼比法的顫振邊界預(yù)測Fig.9 Flutter boundary prediction using damping trends extrapolation

圖10 Z-W方法的顫振邊界預(yù)測Fig.10 Flutter boundary prediction using Z-W method

5 結(jié) 論

(1)NExT方法與RDT方法都能夠從紊流自然激勵響應(yīng)信號中提取系統(tǒng)的自由衰減信號，結(jié)合矩陣束方法能夠較準確地識別單測點信號的模態(tài)頻率與阻尼比。

(2)N4SID子空間算法能夠?qū)ο嚓P(guān)性較高的多測點紊流激勵信號進行分析，從其中提取出主要模態(tài)的參數(shù)。

(3)采用EMD方法對紊流響應(yīng)進行模態(tài)分解，結(jié)合N4SID子空間算法識別分解得到的隨機響應(yīng)，能夠較準確地識別單測點信號的模態(tài)頻率與阻尼比。

(4)數(shù)值仿真計算結(jié)果與風洞顫振試驗結(jié)果表明：采用EMD+N4SID、NExT+MPM與RDT+MPM方法都可以進行單測點紊流激勵響應(yīng)信號的模態(tài)參數(shù)識別，識別結(jié)果具有較高的準確性，結(jié)合速度阻尼比法與Z-W方法，有助于顫振邊界的提前預(yù)測。

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The modal parameters identification upon atmospheric
turbulence excitation response

LIYang,ZHOULi,YANGBing-cai

(State Key Laboratory of Mechanics and Control of Mechanical Structures,
Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Nanjing 210016, China)

The atmospheric turbulence natural excitation method is usually adopted in wind tunnel flutter experiment and it will increase the difficulty of modal parameter identification. In this paper, two approaches are developed to solve this problem. In the first approach, the stochastic subspace identification (SSI) and empirical mode decomposition (EMD) are applied to identify modal parameters from the atmospheric turbulence excitation response immediately. In the second approach the random decrement technique (RDT) and the natural excitation technique (NExT) are adopted to extract the free damping response of the original signal, then the matrix pencil method (MPM) is used to identify modal parameters through the free damping response. Finally, the analysis results of the atmospheric turbulence excitation simulation response and wind tunnel flutter experiment data show that: the two approaches are valid to identify modal parameters of atmospheric turbulence excitation response， and the identified results have high accuracy which will help to predict the flutter boundary when combined with the velocity-damping method and the flatter margin method.

flutter; parameters identification; stochastic subspace identification; natural excitation technique; random decrement technique

2015-05-07；

2015-11-19

國家自然科學(xué)基金資助項目(11172128,51475228)；高等學(xué)校博士學(xué)科點專項科研基金資助項目(20123218110001)；江蘇省普通高校研究生科研創(chuàng)新計劃(CXZZ13_0146)；機械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國家重點實驗室(南京航空航天大學(xué))自主研究課題資助項目(0515G01)；江蘇高校優(yōu)勢學(xué)科建設(shè)工程資助項目

V216.2+4

1004-4523(2016)06-0963-08

10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2016.06.003

李揚(1989—),男,博士研究生。電話:(025)84891722; E-mail:nuaaliyang@nuaa.edu.cn