吳波
(普洱學院數(shù)學與統(tǒng)計學院,云南普洱 665000)
一類廣義Emden-Fowler阻尼方程的振動結(jié)果
吳波
(普洱學院數(shù)學與統(tǒng)計學院,云南普洱 665000)
利用廣義黎卡提變換和積分平均技巧給出了一類廣義Emden-Fowler阻尼方程的振動準則,建立了保證此類方程一切解振動或者收斂到零的若干新的充分條件。
廣義Emden-Fowler阻尼方程;廣義黎卡提變換;振動準則
本文考慮一類廣義Emden-Fowler阻尼方程
方程(1)的一個非平凡解稱為振動的,如果它有任意大的零點,否則為非振動的,如果方程(1)的一切解都是振動則稱該方程是振動的。
如果p(t)≡0,g(t)≡0,r(t)≡1,α=1,δ(t)=t,廣義Emden-Fowler阻尼方程(1)為經(jīng)典的Emden-Fowler方程
如果p(t)≡0,r(t)≡1,α=1,δ(t)=t,廣義Emden-Fowler阻尼方程(1)為經(jīng)典的Emden-Fowler阻尼方程
許多學者對方程(2)~(3)的振動和非振動性質(zhì)做了一些研究〔1-3〕。1983年,Philos〔1〕建立了方程(2)的一些振動準則;1989年,Philos〔2〕進一步推廣和改進了文獻〔1〕的結(jié)論;1986年,Yan〔3〕建立了方程(3)的一些振動準則。
如果 p(t)≡0,g(t)≡0,α=β,廣義Emden-Fowler阻尼方程(1)為下列方程
如果 g(t)≡0,廣義Emden-Fowler阻尼方程(1)為廣義的Emden-Fowler方程:
許多學者對方程(4)的振動和非振動性質(zhì)做了一些研究〔4-7〕。最近,文獻〔7-10〕對下面的方程
做了振動和非振動性質(zhì)的一些研究。但是這些結(jié)果不可以應用于廣義的Emden-Fowler方程(5)。
目前,對廣義的Emden-Fowler方程(5)振動準則的研究還比較少。2012年,Liu〔11〕利用黎卡提不等式給出了廣義的Emden-Fowler方程(5)的振動準則。對廣義的Emden-Fowler阻尼方程(1)的振動準則還沒有做過研究。本文利用廣義黎卡提變換構(gòu)造了廣義黎卡提不等式,進而建立了廣義的Emden-Fowler阻尼方程(1)的振動準則,并且這些振動準則都可以應用于廣義的Emden-Fowler方程(5)。
引理1 設x(t)是廣義的Emden-Fowler阻尼方程(1)的正解,則相應的Z(t)只有下面的兩種情況
證明:設x(t)是廣義的Emden-Fowler阻尼方程(1)的正解,由Z(t)的表達式得到Z(t)≥x(t)>0。由方程的第一種情況,得到兩種可能:Z′(t)>0或Z′(t)<0。
對上式從t1到t積分,可以得到
讓t→∞,利用(H3),得到Z(t)→-∞,這矛盾于Z(t)>0。
本文下面的引理和定理都是基于情形(I)下得到的。
引理2 設x(t)是廣義的Emden-Fowler阻尼方程(1)的正解,則
其中,Q(t)=[q(t)(1-p(δ(t)))]β。
證明:由Z(t)=x(t)+p(t)x(ι(t)),可以得到x(t)=Z(t)-p(t)x(ι(t)),利用(H4)和Z′(t)>0,可以得到
利用方程(1),可以得到
引理3 設x(t)是廣義的Emden-Fowler阻尼方程(1)的正解,如果
證明:假設存在兩個常數(shù)0<M≤N,使得 0<M≤Z(t)≤N,對方程(7)從t到∞積分,可以得到:
則
其中:
證明:由?(t)的定義可以得到
利用方程(7),可以得到
利用β≥α,H5和引理1,可以得到
由方程(10)~(12),可以得到
定理1 假設某些條件成立。設x(t)是廣義的Emden-Fowler阻尼方程(1)的解,如果
則x(t)振動。
證明:假設x(t)是方程(1)的非振動解,不妨設x(t)是廣義的Emden-Fowler阻尼方程(1)的最終正解(對于x(t)是廣義的Emden-Fowler阻尼方程(1)的最終負解也有類似的結(jié)論),利用引理5可得
利用引理4得到
對上面方程從t0到t積分可得
讓t→∞,可得?(t)→-∞,這矛盾于?(t)>0。
定理2 假設某些條件成立。設x(t)是廣義的Emden-Fowler阻尼方程(1)的解,如果
則x(t)振動。
證明:假設x(t)是方程(1)的非振動解,不妨設x(t)是廣義的Emden-Fowler阻尼方程(2)的最終正解(對于x(t)是廣義的Emden-Fowler阻尼方程(1)的最終負解也有類似的結(jié)論),利用引理5可得
利用引理4得到
兩邊同乘以(t-s)n再從t0到t兩邊積分(t>t0)可得
由n(t-s)n-1?(s)>0,可得
兩邊同除以tn可得
例1 設p(t)=0,r(t)=1,α=1,β=1,δ(t)=t,ρ(t)=1,q(t)=k1,g(t)=k2,方程(1)變?yōu)?/p>
下面利用Philos型積分平均條件,給出廣義的Emden-Fowler阻尼方程(1)的振動準則。為此令
我們稱函數(shù)H(t,s)∈C1(D,R)為屬于F類,記作H(t,s)∈F,如果滿足
(I)H(t,t)=0,t≥t0,H(t,t)>0,
(II)存在 ρ(t)∈C1([t0,∞),R+),h∈C(D0,R),使得
定理3 假設某些條件成立。設x(t)是廣義的Emden-Fowler阻尼方程(1)的解,如果
則x(t)振動。
證明:假設x(t)是方程(1)的非振動解,不妨設x(t)是廣義的Emden-Fowler阻尼方程(3)的最終正解(對于x(t)是廣義的Emden-Fowler阻尼方程(1)的最終負解也有類似的結(jié)論),利用引理5可得
兩邊同乘以 H(t,s),且從t0到t(t>t0)兩邊積分可得
利用引理4和方程(15)可得
讓t→∞,則方程(17)矛盾于方程(16)。
推論1 設x(t)是方程(1*)的解,如果
則x(t)振動。
定理4 假設某些條件成立。設x(t)是廣義的Emden-Fowler阻尼方程(1)的解,如果
其中:ψ+(s)=max{ψ(s),0},則x(t)振動。
證明:假設x(t)是方程(1)的非振動解,不妨設x(t)是廣義的Emden-Fowler阻尼方程(4)的最終正解(對于x(t)是廣義的Emden-Fowler阻尼方程(1)的最終負解也有類似的結(jié)論),利用引理5可得
兩邊同乘以H(t,s),再從 T到 t(t>T)兩邊積分可得
同除以H(t,T)可得
利用C3可得
利用方程(18)及 C3可得
設
利用(20)可得
假設
由方程(19)可得:
方程(22)~(23)矛盾于C4。由矛盾,我們假設
設η是一個任意的正數(shù),利用C1可得
由方程(24)可得
利用C1及方程(25)~(26)可得
利用方程(21)和(27)可得:
兩邊同除以G(tn)可得
利用(28)可得
利用Schwarz不等式
兩邊同除以 G(tn)可得
利用 C2可得
方程(30)~(31)與方程(29)矛盾。
推論2 設x(t)是方程(1*)的解,如果
其中:ψ+(s)=max{ψ(s),0},則x(t)振動。
[參考文獻]
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Oscillation Results of a Class of Generalized Emden-Fowler Equation with Damping
Wu Bo
(College of Mathmatics and Statistic,Pu'er University,Pu'er,Yunnan 665000,China)
By using generalized Riccati transformation and integral averaging technique,this paper studies the oscillation of a class of generalized Emden-Fowler equation with damping,and establishes some new sufficient conditions for equation oscillating or converging to zero.
a generalized Emden-Fowler equation with damping;generalized Riccati transformation;oscillation criteria
O29
A
2096-2266(2016)12-0006-08
10.3969∕j.issn.2096-2266.2016.12.002
(責任編輯 袁 霞)
2016-04-24
吳波,副教授,主要從事微分方程、數(shù)理統(tǒng)計研究.