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        一類廣義Emden-Fowler阻尼方程的振動結(jié)果

        2016-02-08 09:29:58吳波
        大理大學學報 2016年12期
        關鍵詞:普洱廣義阻尼

        吳波

        (普洱學院數(shù)學與統(tǒng)計學院,云南普洱 665000)

        一類廣義Emden-Fowler阻尼方程的振動結(jié)果

        吳波

        (普洱學院數(shù)學與統(tǒng)計學院,云南普洱 665000)

        利用廣義黎卡提變換和積分平均技巧給出了一類廣義Emden-Fowler阻尼方程的振動準則,建立了保證此類方程一切解振動或者收斂到零的若干新的充分條件。

        廣義Emden-Fowler阻尼方程;廣義黎卡提變換;振動準則

        本文考慮一類廣義Emden-Fowler阻尼方程

        方程(1)的一個非平凡解稱為振動的,如果它有任意大的零點,否則為非振動的,如果方程(1)的一切解都是振動則稱該方程是振動的。

        如果p(t)≡0,g(t)≡0,r(t)≡1,α=1,δ(t)=t,廣義Emden-Fowler阻尼方程(1)為經(jīng)典的Emden-Fowler方程

        如果p(t)≡0,r(t)≡1,α=1,δ(t)=t,廣義Emden-Fowler阻尼方程(1)為經(jīng)典的Emden-Fowler阻尼方程

        許多學者對方程(2)~(3)的振動和非振動性質(zhì)做了一些研究〔1-3〕。1983年,Philos〔1〕建立了方程(2)的一些振動準則;1989年,Philos〔2〕進一步推廣和改進了文獻〔1〕的結(jié)論;1986年,Yan〔3〕建立了方程(3)的一些振動準則。

        如果 p(t)≡0,g(t)≡0,α=β,廣義Emden-Fowler阻尼方程(1)為下列方程

        如果 g(t)≡0,廣義Emden-Fowler阻尼方程(1)為廣義的Emden-Fowler方程:

        許多學者對方程(4)的振動和非振動性質(zhì)做了一些研究〔4-7〕。最近,文獻〔7-10〕對下面的方程

        做了振動和非振動性質(zhì)的一些研究。但是這些結(jié)果不可以應用于廣義的Emden-Fowler方程(5)。

        目前,對廣義的Emden-Fowler方程(5)振動準則的研究還比較少。2012年,Liu〔11〕利用黎卡提不等式給出了廣義的Emden-Fowler方程(5)的振動準則。對廣義的Emden-Fowler阻尼方程(1)的振動準則還沒有做過研究。本文利用廣義黎卡提變換構(gòu)造了廣義黎卡提不等式,進而建立了廣義的Emden-Fowler阻尼方程(1)的振動準則,并且這些振動準則都可以應用于廣義的Emden-Fowler方程(5)。

        1 幾個引理

        引理1 設x(t)是廣義的Emden-Fowler阻尼方程(1)的正解,則相應的Z(t)只有下面的兩種情況

        證明:設x(t)是廣義的Emden-Fowler阻尼方程(1)的正解,由Z(t)的表達式得到Z(t)≥x(t)>0。由方程的第一種情況,得到兩種可能:Z′(t)>0或Z′(t)<0。

        對上式從t1到t積分,可以得到

        讓t→∞,利用(H3),得到Z(t)→-∞,這矛盾于Z(t)>0。

        本文下面的引理和定理都是基于情形(I)下得到的。

        引理2 設x(t)是廣義的Emden-Fowler阻尼方程(1)的正解,則

        其中,Q(t)=[q(t)(1-p(δ(t)))]β。

        證明:由Z(t)=x(t)+p(t)x(ι(t)),可以得到x(t)=Z(t)-p(t)x(ι(t)),利用(H4)和Z′(t)>0,可以得到

        利用方程(1),可以得到

        引理3 設x(t)是廣義的Emden-Fowler阻尼方程(1)的正解,如果

        證明:假設存在兩個常數(shù)0<M≤N,使得 0<M≤Z(t)≤N,對方程(7)從t到∞積分,可以得到:

        其中:

        證明:由?(t)的定義可以得到

        利用方程(7),可以得到

        利用β≥α,H5和引理1,可以得到

        由方程(10)~(12),可以得到

        2 主要結(jié)果

        定理1 假設某些條件成立。設x(t)是廣義的Emden-Fowler阻尼方程(1)的解,如果

        則x(t)振動。

        證明:假設x(t)是方程(1)的非振動解,不妨設x(t)是廣義的Emden-Fowler阻尼方程(1)的最終正解(對于x(t)是廣義的Emden-Fowler阻尼方程(1)的最終負解也有類似的結(jié)論),利用引理5可得

        利用引理4得到

        對上面方程從t0到t積分可得

        讓t→∞,可得?(t)→-∞,這矛盾于?(t)>0。

        定理2 假設某些條件成立。設x(t)是廣義的Emden-Fowler阻尼方程(1)的解,如果

        則x(t)振動。

        證明:假設x(t)是方程(1)的非振動解,不妨設x(t)是廣義的Emden-Fowler阻尼方程(2)的最終正解(對于x(t)是廣義的Emden-Fowler阻尼方程(1)的最終負解也有類似的結(jié)論),利用引理5可得

        利用引理4得到

        兩邊同乘以(t-s)n再從t0到t兩邊積分(t>t0)可得

        由n(t-s)n-1?(s)>0,可得

        兩邊同除以tn可得

        例1 設p(t)=0,r(t)=1,α=1,β=1,δ(t)=t,ρ(t)=1,q(t)=k1,g(t)=k2,方程(1)變?yōu)?/p>

        下面利用Philos型積分平均條件,給出廣義的Emden-Fowler阻尼方程(1)的振動準則。為此令

        我們稱函數(shù)H(t,s)∈C1(D,R)為屬于F類,記作H(t,s)∈F,如果滿足

        (I)H(t,t)=0,t≥t0,H(t,t)>0,

        (II)存在 ρ(t)∈C1([t0,∞),R+),h∈C(D0,R),使得

        定理3 假設某些條件成立。設x(t)是廣義的Emden-Fowler阻尼方程(1)的解,如果

        則x(t)振動。

        證明:假設x(t)是方程(1)的非振動解,不妨設x(t)是廣義的Emden-Fowler阻尼方程(3)的最終正解(對于x(t)是廣義的Emden-Fowler阻尼方程(1)的最終負解也有類似的結(jié)論),利用引理5可得

        兩邊同乘以 H(t,s),且從t0到t(t>t0)兩邊積分可得

        利用引理4和方程(15)可得

        讓t→∞,則方程(17)矛盾于方程(16)。

        推論1 設x(t)是方程(1*)的解,如果

        則x(t)振動。

        定理4 假設某些條件成立。設x(t)是廣義的Emden-Fowler阻尼方程(1)的解,如果

        其中:ψ+(s)=max{ψ(s),0},則x(t)振動。

        證明:假設x(t)是方程(1)的非振動解,不妨設x(t)是廣義的Emden-Fowler阻尼方程(4)的最終正解(對于x(t)是廣義的Emden-Fowler阻尼方程(1)的最終負解也有類似的結(jié)論),利用引理5可得

        兩邊同乘以H(t,s),再從 T到 t(t>T)兩邊積分可得

        同除以H(t,T)可得

        利用C3可得

        利用方程(18)及 C3可得

        利用(20)可得

        假設

        由方程(19)可得:

        方程(22)~(23)矛盾于C4。由矛盾,我們假設

        設η是一個任意的正數(shù),利用C1可得

        由方程(24)可得

        利用C1及方程(25)~(26)可得

        利用方程(21)和(27)可得:

        兩邊同除以G(tn)可得

        利用(28)可得

        利用Schwarz不等式

        兩邊同除以 G(tn)可得

        利用 C2可得

        方程(30)~(31)與方程(29)矛盾。

        推論2 設x(t)是方程(1*)的解,如果

        其中:ψ+(s)=max{ψ(s),0},則x(t)振動。

        [參考文獻]

        〔1〕PHILOS C G.On a Kamenev's integral criterion for oscillation of linear differential equa-tions of second order〔J〕.Ann Polon Math,1983,21:175-194.

        〔2〕PHILOS C G.Oscillation theorems for linear differential equations of second order〔J〕.Arc-H Math,1989,53:482-492.

        〔3〕YAN J.Oscillation theorems for second order linear differential equation with damping〔J〕.American Mathematical Society,1986,98:276-282.

        〔4〕WONG J S W.On the generalized Emden-Fowler equation〔J〕.Slam Rev,1975,17:339-360.

        〔5〕YANG X J.Oscillation criterion for a class of quasilinear differential equation〔J〕.Appl Math Comput,2004,155:451-468.

        〔6〕LI H J,YEN C C.Oscillation criteria for second-order neutral delay equation〔J〕.J Comput Math Appl,1998,36:123-132.

        〔7〕SUN Y G,MENG F W.Note on the paper of Dzurina and stavroulakis〔J〕.Appl Math Comput,2006,174:1634-1641.

        〔8〕XU R,MENG F W.Oscillation criteria for second order quasi-linear neutral delay differenti-al equation〔J〕.Appl Math Comput,2007,192:216-222.

        〔9〕LIU L H,BAI Y Z.New oscillation criteria for second order nolinear neutral delay differential equation〔J〕.J Comput Appl Math,2009,231:657-663.

        〔10〕YE L H,XU Z T.Oscillation for second order quasi-linear neutral delay differential equation〔J〕.Appl Math Comput,2009,207:388-396.

        〔11〕LIU H D,MENG F W,LIU P C.Oscillation and asymptotic analysis on a new generalized Emden-Fowler equation〔J〕.Appl Math Comput,2012,219:2729-2748.

        Oscillation Results of a Class of Generalized Emden-Fowler Equation with Damping

        Wu Bo
        (College of Mathmatics and Statistic,Pu'er University,Pu'er,Yunnan 665000,China)

        By using generalized Riccati transformation and integral averaging technique,this paper studies the oscillation of a class of generalized Emden-Fowler equation with damping,and establishes some new sufficient conditions for equation oscillating or converging to zero.

        a generalized Emden-Fowler equation with damping;generalized Riccati transformation;oscillation criteria

        O29

        A

        2096-2266(2016)12-0006-08

        10.3969∕j.issn.2096-2266.2016.12.002

        (責任編輯 袁 霞)

        2016-04-24

        吳波,副教授,主要從事微分方程、數(shù)理統(tǒng)計研究.

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