張也弛，張龍，羅文波，潘騰

北京空間飛行器總體設(shè)計(jì)部，北京 100094

基于統(tǒng)計(jì)學(xué)方法的衛(wèi)星在軌熱變形快速分析

張也弛*，張龍，羅文波，潘騰

北京空間飛行器總體設(shè)計(jì)部，北京 100094

為使用在軌實(shí)測(cè)溫度數(shù)據(jù)輔助完成成像載荷視軸指向的在軌標(biāo)定，首次將應(yīng)用于地統(tǒng)計(jì)學(xué)中的普通克里格法用于衛(wèi)星在軌溫度場(chǎng)的無偏估計(jì)，提出了一種基于統(tǒng)計(jì)學(xué)方法的在軌熱變形快速分析方法。應(yīng)用熱試驗(yàn)過程中星上少量溫度實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行衛(wèi)星溫度場(chǎng)的無偏估計(jì)，并將溫度計(jì)算結(jié)果賦值到有限元模型，進(jìn)而完成了熱變形分析。應(yīng)用此種方法，相比通過熱物理方法進(jìn)行溫度場(chǎng)分析，可將熱變形分析的工期縮短數(shù)日，且載荷變形的分析結(jié)果與試驗(yàn)實(shí)測(cè)結(jié)果的誤差在1′左右，可較準(zhǔn)確地得到載荷視軸在熱變形作用下的指向變化。文章可為衛(wèi)星在軌熱變形的快速分析提供參考。

溫度實(shí)測(cè)點(diǎn)；快速熱變形分析；統(tǒng)計(jì)方法；普通克里格法；變差函數(shù)；有限元；衛(wèi)星

某些成像載荷與光學(xué)成像載荷不同，例如X射線望遠(yuǎn)鏡，難以通過對(duì)天空或地面已知目標(biāo)成像來進(jìn)行自身指向的標(biāo)定，而是始終依賴衛(wèi)星平臺(tái)提供的載荷光軸指向，利用載荷觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行圖像重建，最終確定X射線源的空間位置。因此，需要選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行載荷視軸指向的標(biāo)定，進(jìn)而保證載荷的點(diǎn)源定位精度。指向精度的偏差由多種因素引發(fā)，其中影響最大、也最難進(jìn)行標(biāo)定的就是在軌溫度場(chǎng)變化引發(fā)的熱變形。通常，溫度場(chǎng)借助熱物理方法進(jìn)行分析[1-2]，為了得到載荷在軌由于熱變形引起的實(shí)時(shí)指向變化，本文擬通過在軌溫度遙測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)熱變形進(jìn)行分析。

熱變形分析首先需要溫度場(chǎng)作為輸入條件，但相比有限元分析所需的溫度場(chǎng)數(shù)據(jù)，星上所能提供的在軌溫度遙測(cè)點(diǎn)非常少，要依據(jù)在軌溫度實(shí)測(cè)值進(jìn)行熱變形的計(jì)算，只能通過插值等方法對(duì)整個(gè)載荷的溫度場(chǎng)數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)。另外，由于溫度場(chǎng)在有限元模型中的賦值需要很大的工作量，導(dǎo)致工期較長(zhǎng)，文獻(xiàn)[3]實(shí)現(xiàn)了有限元模型中溫度場(chǎng)的自動(dòng)批量導(dǎo)入，避免了手工賦值耗時(shí)過長(zhǎng)的問題。然而，熱變形分析過程中還有另一個(gè)工作量很大的環(huán)節(jié)，即分析需要有限元模型上所有節(jié)點(diǎn)的溫度值作為輸入條件，該溫度場(chǎng)由熱分析計(jì)算給出。在進(jìn)行熱分析前，在軌工況的選擇需要對(duì)星內(nèi)設(shè)備工作情況，外熱流情況等多種因素進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，如果要提供衛(wèi)星在大量不同時(shí)刻的溫度分布情況，需耗費(fèi)大量時(shí)間。文獻(xiàn)[4]應(yīng)用插值方法對(duì)衛(wèi)星紅外遙感器輻射定標(biāo)光機(jī)系統(tǒng)的熱變形進(jìn)行了分析，證明了該系統(tǒng)熱變形可滿足光學(xué)準(zhǔn)確度要求，可為結(jié)構(gòu)快速熱變形分析提供借鑒，但該系統(tǒng)體積規(guī)模較小，也決定了其溫度分布并不十分復(fù)雜，所以該文未對(duì)所用插值方法及估計(jì)結(jié)果的準(zhǔn)確性開展討論。

地統(tǒng)計(jì)學(xué)中，對(duì)于大氣溫度測(cè)算等復(fù)雜問題通常借助一些已知測(cè)點(diǎn)來完成，即通過選取合適的無偏估計(jì)算法，完成對(duì)未知位置的溫度估計(jì)，十分方便快捷。普通克里格法[5]作為一種無偏估計(jì)算法，在地統(tǒng)計(jì)學(xué)中已得到成熟應(yīng)用[6]，在空間溫度估計(jì)方面的應(yīng)用也得到廣泛研究[7]。由于普通克里格法得到學(xué)者和工程師的廣泛肯定，對(duì)該算法的研究也不斷深入[8-9]，并且依據(jù)空間特性的不同發(fā)展出了簡(jiǎn)單克里格法、協(xié)同克里格法等多種推廣型算法[10-11]。

本文首次探討了普通克里格法應(yīng)用于衛(wèi)星熱變形分析的可行性，提出一種基于在軌溫度遙測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行衛(wèi)星熱變形快速分析的方法，用以跳過繁瑣的熱分析工況選擇過程。文章使用熱平衡試驗(yàn)過程中衛(wèi)星結(jié)構(gòu)上的少量溫度實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，利用普通克里格法進(jìn)行衛(wèi)星溫度場(chǎng)估計(jì)，再進(jìn)行溫度場(chǎng)賦值與變形計(jì)算，最后將分析結(jié)果與熱試驗(yàn)過程中的實(shí)測(cè)變形結(jié)果進(jìn)行比較，說明這種結(jié)構(gòu)熱變形分析方法的正確性和可行性。

1 熱變形快速分析方法

傳統(tǒng)熱變形分析采用熱分析結(jié)果作為溫度場(chǎng)輸入，分析的工期往往需要數(shù)日乃至更長(zhǎng)的時(shí)間，本文提出的方法與其最大的不同，在于本方法跳過熱分析步驟，直接使用統(tǒng)計(jì)學(xué)理論，基于少量溫度實(shí)測(cè)點(diǎn)完成結(jié)構(gòu)的溫度場(chǎng)分析，用于估計(jì)衛(wèi)星在軌任一時(shí)刻的變形情況，為衛(wèi)星在軌熱變形分析提供一種快速有效的方法。

1.1 普通克里格法

普通克里格法依據(jù)溫度實(shí)測(cè)點(diǎn)即可完成溫度場(chǎng)估計(jì)，因此該方法可依據(jù)星上的溫度遙測(cè)數(shù)據(jù)，提高熱變形分析工作的效率，在航天任務(wù)中十分有利于在軌應(yīng)用。該方法分為三步，如圖1所示：1)根據(jù)已知測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)，對(duì)空間場(chǎng)進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析，選取并提出變差函數(shù)模型；2)通過優(yōu)化算法(本文采用拉格朗日乘數(shù)法)求解克里格方差的極小值，若克里格方差滿足要求，則進(jìn)一步計(jì)算插值權(quán)值，若克里格方差不滿足要求，則回到步驟1，重新選取變差函數(shù)；3)得到計(jì)算插值權(quán)值后，進(jìn)行克里格插值計(jì)算。

圖1 普通克里格法計(jì)算示意Fig.1 Calculation process of ordinary Kriging

普通克里格法一般公式為

待定點(diǎn)值的期望誤差應(yīng)為0，即有

變差函數(shù)根據(jù)實(shí)驗(yàn)變差函數(shù)擬合得到，實(shí)驗(yàn)變差函數(shù)由采樣點(diǎn)及其坐標(biāo)計(jì)算，算式如下：

(5)

得到實(shí)驗(yàn)變差函數(shù)后，可用其擬合理論變差函數(shù)，擬合方法見文獻(xiàn)[6]。對(duì)變差函數(shù)的擬合，已經(jīng)有成熟的專用軟件及Matlab工具箱，用于根據(jù)采樣點(diǎn)及其坐標(biāo)擬合變差函數(shù)。

在式(2)的約束條件下，通過優(yōu)化方法求解式(4)中克里格方差的極小值，也就得到了相應(yīng)變差函數(shù)模型下的權(quán)重λi，即可進(jìn)一步開展未知點(diǎn)的溫度計(jì)算。

進(jìn)行二維估計(jì)時(shí)，對(duì)某個(gè)點(diǎn)進(jìn)行數(shù)據(jù)估計(jì)可采用四分法，如圖2所示：一般對(duì)平面某點(diǎn)進(jìn)行估計(jì)時(shí)至少存在4個(gè)采樣點(diǎn)，且應(yīng)保證4個(gè)象限均有采樣點(diǎn)存在(邊界點(diǎn)除外)。進(jìn)行三維數(shù)據(jù)估計(jì)時(shí)，宜采用八分法，即最好保證空間8個(gè)象限均有采樣點(diǎn)存在。

圖2 采樣點(diǎn)分布Fig.2 Sampling point distributions

對(duì)某個(gè)區(qū)域內(nèi)進(jìn)行溫度場(chǎng)估計(jì)，就是根據(jù)鄰近數(shù)據(jù)和變差函數(shù)進(jìn)行數(shù)據(jù)平滑的過程。如果溫度場(chǎng)存在分布不均勻甚至叢聚現(xiàn)象，且采樣點(diǎn)數(shù)據(jù)較少，甚至在溫度突變位置無采樣數(shù)據(jù)，則會(huì)對(duì)估計(jì)結(jié)果造成較大偏差。因此在結(jié)構(gòu)上存在熱源，或者在隔熱層的兩側(cè)存在溫度突變的區(qū)域都應(yīng)布置采樣點(diǎn)。

1.2 應(yīng)用普通克里格法的熱變形快速分析

由以上方法替代傳統(tǒng)熱變形計(jì)算中的熱分析步驟，完成溫度場(chǎng)估計(jì)后，即可進(jìn)行熱變形計(jì)算，本文的熱變形計(jì)算在Nastran中完成。Nastran在進(jìn)行有限元計(jì)算時(shí)，所使用的bdf文件是Patran根據(jù)有限元模型及工況條件生成的，這其中就包含了熱變形分析所需的溫度場(chǎng)數(shù)據(jù)。要在Nastran中進(jìn)行熱變形分析，需要將在外部生成的溫度場(chǎng)數(shù)據(jù)導(dǎo)入bdf文件。

本文使用統(tǒng)計(jì)學(xué)方法推算有限元模型上所有節(jié)點(diǎn)的溫度值后，采用VC++編寫接口文件，將計(jì)算得到的溫度場(chǎng)寫入bdf文件，實(shí)現(xiàn)有限元模型溫度場(chǎng)的賦值，最后將熱變形計(jì)算結(jié)果與熱平衡試驗(yàn)中的實(shí)測(cè)變形結(jié)果進(jìn)行比較，進(jìn)而說明方法的正確性。整個(gè)熱變形運(yùn)算方法的流程如圖3所示。

圖3 快速熱變形計(jì)算方法流程Fig.3 Process of the rapid thermal deformation analysis

2 分析結(jié)果和試驗(yàn)驗(yàn)證

2.1 結(jié)構(gòu)形式

本文所分析的星上載荷，其主體結(jié)構(gòu)由下板、中板、上板以及三層板間的支撐筒組成。其中支撐筒內(nèi)部采用主動(dòng)溫控，上板采用散熱涂層進(jìn)行被動(dòng)控制。在有限元分析中，對(duì)上板、中板和下板的建模采用了二維網(wǎng)格單元，對(duì)支撐筒的建模采用了二維網(wǎng)格和三維HEX8單元。上板、中板和下板采用二維數(shù)據(jù)估計(jì)；支撐筒形狀較復(fù)雜，采用三維估計(jì)。

在諸多因素中，有限元模型對(duì)熱變形的影響占據(jù)了很大的比重。本文所用星上載荷的有限元模型為經(jīng)過多次試驗(yàn)修正的模型，包括正弦振動(dòng)試驗(yàn)修正與熱變形修正，這些修正對(duì)于最后分析精度的保證都起到了重要作用。

圖4 結(jié)構(gòu)形式示意Fig.4 General view of the structure

2.2 試驗(yàn)結(jié)果

在該載荷熱平衡試驗(yàn)過程中，星上安裝了溫度遙測(cè)點(diǎn)，這些測(cè)點(diǎn)溫度即為普通克里格法進(jìn)行溫度場(chǎng)估計(jì)的輸入條件；同時(shí)，為了解科學(xué)成像載荷在熱變形作用下的視軸指向變化，在星上安裝了傾角傳感器。溫度及傾角測(cè)點(diǎn)位置見圖5～圖6，CD1～CD26為溫度測(cè)點(diǎn)，測(cè)點(diǎn)溫度見表1。AT01～AT05為傾角傳感器。5個(gè)傾角傳感器(AT01～AT05)實(shí)測(cè)的Y、Z方向(水平方向)傾角變化結(jié)果見圖7，圖中第47～67 h為低溫工況時(shí)段。所測(cè)位置最終傾角可由Y、Z方向傾角進(jìn)行計(jì)算：

式中：α、β分別為Y、Z方向傾角測(cè)量值；γ為總傾角變化。

圖5 上板溫度及傾角測(cè)點(diǎn)示意Fig.5 Temperature and dip angle sensors on the upper plate

圖6 中板溫度及傾角測(cè)點(diǎn)示意Fig.6 Temperature and dip angle sensors on the middle plate

2.3 分析結(jié)果及討論

根據(jù)已知點(diǎn)數(shù)據(jù)，需要建立變差函數(shù)模型來進(jìn)行圖1中后續(xù)步驟的計(jì)算。對(duì)于溫度分布來說，距離測(cè)點(diǎn)較近的點(diǎn)，其溫度值與測(cè)點(diǎn)溫度值關(guān)聯(lián)性更大；反之，距離測(cè)點(diǎn)較遠(yuǎn)的點(diǎn)，其溫度值與測(cè)點(diǎn)溫度值關(guān)聯(lián)性則較小，根據(jù)這種特點(diǎn)，本文中的變差函數(shù)初步確定采用高斯型：

式中：θi為比例參數(shù)，該參數(shù)依據(jù)已知測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)，由最大似然估計(jì)確定。根據(jù)實(shí)測(cè)溫度數(shù)據(jù)擬合的變差函數(shù)見圖8。

圖8 根據(jù)采樣點(diǎn)擬合的變差函數(shù)Fig.8 Variogram fitted by the sampling points

使用變差函數(shù)完成插值后，采用交叉驗(yàn)證法驗(yàn)證結(jié)果，即假設(shè)部分測(cè)點(diǎn)溫度未知，用其他采樣點(diǎn)對(duì)這些點(diǎn)進(jìn)行估計(jì)，再與實(shí)測(cè)值進(jìn)行比較。變差函數(shù)選取的越符合實(shí)際，那么克里格估值結(jié)果也就越符合實(shí)際結(jié)果。分別對(duì)CD1～CD4、CD5～CD8進(jìn)行估計(jì)：在估計(jì)CD1～CD4溫度時(shí)，采用CD5～CD17作為已知溫度點(diǎn)；在估計(jì)CD5～CD8溫度時(shí)，采用CD1～CD4、CD9～CD17作為已知溫度點(diǎn)，將CD1～CD4、CD5～CD8實(shí)測(cè)溫度和采用普通克里格法得到的溫度值進(jìn)行比對(duì)，結(jié)果見表2，可見估計(jì)值與實(shí)測(cè)值偏差很小，均在0.6℃以內(nèi)。說明變差函數(shù)選用高斯型能夠較準(zhǔn)確地還原溫度場(chǎng)，可以進(jìn)行下一步計(jì)算。

使用所有試驗(yàn)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)，整個(gè)載荷上板的溫度估計(jì)結(jié)果見圖9。

圖9 上板溫度估計(jì)結(jié)果Fig.9 Estimate results of temperature on the upper plate

項(xiàng)目測(cè)點(diǎn)實(shí)測(cè)溫度/℃克里格插值估計(jì)溫度/℃第一組估計(jì)CD1-32 6-32 9CD2-33 5-33 7CD3-32 0-32 1CD4-34 0-34 4第二組估計(jì)CD5-33 3-33 5CD6-34 6-34 8CD7-32 4-32 97CD8-34 2-34 4

在溫度穩(wěn)定后，圖4中載荷溫度變化較大的結(jié)構(gòu)為上板和中板。而對(duì)于板間的同一支撐筒來說，在溫度穩(wěn)定后，支撐筒上部與下部溫差僅在1.5℃左右，無論采用克里格插值還是更簡(jiǎn)單的泰森多邊形插值，對(duì)分析結(jié)果的影響僅反映在一階小量。鑒于支撐筒的溫度分布特點(diǎn)，在同一支撐筒上最多只布置了兩個(gè)測(cè)點(diǎn)。以其中的一個(gè)支撐筒為例說明其三維溫度場(chǎng)建模步驟，如圖10所示：首先建立一個(gè)包絡(luò)該支撐筒的簡(jiǎn)單有限元網(wǎng)格，將支撐筒頂部與底部測(cè)點(diǎn)溫度分別賦值于該有限元網(wǎng)格的頂部節(jié)點(diǎn)和底部節(jié)點(diǎn)；之后使用Patran中自帶的Field生成方法(這里采用泰森多邊形法[12])生產(chǎn)空間場(chǎng)；最后使用該Field將溫度場(chǎng)賦值給支撐筒。

載荷溫度場(chǎng)最終映射結(jié)果見圖11。

圖10 支撐筒溫度場(chǎng)賦值Fig.10 Temperature assignment of the supporting column

圖11 溫度場(chǎng)映射結(jié)果Fig.11 Mapping results of the temperature field

完成溫度場(chǎng)映射后，即可使用Nastran進(jìn)行有限元分析，上板變形見圖12，可見變形結(jié)果為上板四周向上翹曲，距離中心基準(zhǔn)越遠(yuǎn)處變形值越大。

利用變形分析結(jié)果，對(duì)圖5～圖6中的傾角傳感器AT01～AT05所在位置進(jìn)行熱變形計(jì)算，分析得到的傾角變化與試驗(yàn)實(shí)測(cè)傾角變化的比較見表3。

圖12 載荷上板變形Fig.12 Thermal deformation of the upper plate of the payload

由表3中比較可見，AT01、AT03、AT05的分析值與實(shí)測(cè)值之差均在1′以內(nèi)，AT02、AT04分析值與實(shí)測(cè)值之差在1′～2′之間，分析結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果吻合良好。對(duì)于科學(xué)成像載荷熱變形的計(jì)算已經(jīng)達(dá)到了較高的精度，可滿足該載荷的要求，因此文中所用分析過程可應(yīng)用于該載荷視軸在熱變形作用下的指向變化估計(jì)。

表3 傾角變化的試驗(yàn)值與分析值的比較

同時(shí)，本方法使用在軌溫度遙測(cè)數(shù)據(jù)估計(jì)結(jié)構(gòu)溫度場(chǎng)，因此分析結(jié)果也對(duì)應(yīng)著溫度遙測(cè)數(shù)據(jù)采集時(shí)刻的變形情況。所以，需要知道在軌某一時(shí)刻的結(jié)構(gòu)變形情況時(shí)，只需提供其附近時(shí)刻的溫度遙測(cè)數(shù)據(jù)，就可對(duì)該時(shí)刻的變形情況進(jìn)行分析。

3 結(jié)束語

文章首次應(yīng)用一種統(tǒng)計(jì)學(xué)方法——普通克里格法，提出了衛(wèi)星在軌熱變形計(jì)算的快速方法。該方法省略了繁雜的熱分析過程，將溫度場(chǎng)估計(jì)工期由數(shù)天甚至數(shù)周減少為幾小時(shí)，可用于衛(wèi)星的實(shí)時(shí)在軌變形估計(jì)。基于上述方法，本文對(duì)衛(wèi)星載荷熱變形進(jìn)行了分析，結(jié)果表明，分析值與實(shí)測(cè)值差別在1′左右，滿足該載荷的指向精度要求。

基于本文的工作，可在后續(xù)研究中進(jìn)一步探索如何應(yīng)用變差函數(shù)的結(jié)構(gòu)套合、層次套合及各向異性套合等方法，針對(duì)結(jié)構(gòu)溫度場(chǎng)分布更復(fù)雜的情況進(jìn)行估計(jì)。達(dá)到快速性計(jì)算并預(yù)估復(fù)雜溫度場(chǎng)和熱變形的目的，最終以能實(shí)施溫度或變形的主動(dòng)控制為目標(biāo)開展下一步工作。

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(編輯：車曉玲)

Rapid thermal deformation analysis of on-orbit satellites on the basis of statistic method

ZHANG Yechi*，ZHANG Long，LUO Wenbo，PAN Teng

Beijing Institute of Spacecraft System Engineering，Beijing 100094，China

To calibrate the orientation position of the satellite orbit by the temperature sensors，the ordinary Kriging method widely used in geo-statistics was applied into the temperature estimation process of the satellite. A rapid thermal deformation analysis method was developed based on the statistic methods. Based on a small amount of temperature sensors，estimation of the temperature field was carried out. Then，the temperature field was used for the finite element analysis to accomplish the thermal deformation analysis. Differences between the analytical and the experimental results of the deformation of the payload are around 1′，which confirms that the method can be used to obtain the variation of optical axis of the payload. Furthermore，compared to the thermo physical method，the work period can be reduced by several days. This work provides guidance for rapid thermal deformation analysis of on-orbit satellites.

temperature measuring points；rapid thermal deformation analysis；statistic method; ordinary Kriging；variogram；finite element；satellite

10.16708/j.cnki.1000-758X.2016.0062

2016-03-29；

2016-06-17；錄用日期：2016-08-22；

時(shí)間：2016-12-16 11:29:12

http:∥www.cnki.net/kcms/detail/11.1859.V.20161216.1129.007.html

戰(zhàn)略性先導(dǎo)科技專項(xiàng)

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V414.3

A

http:∥zgkj.cast.cn

*通訊作者：張也弛(1983-)，男，博士，高級(jí)工程師，zhangyechi83@163.com，研究方向?yàn)楹教炱骺傮w設(shè)計(jì)