呂振豫,穆建新

(1.流域水循環(huán)模擬與調(diào)控國家重點(diǎn)實驗室,北京 100038;2.中國水利水電科學(xué)研究院,北京 100038)

不同水文區(qū)的豐枯遭遇問題作為近年來降雨、徑流頻率分析的研究重點(diǎn),對合理利用流域間豐枯互補(bǔ)、相機(jī)補(bǔ)水具有重要意義,可為流域水資源合理分配提供參考。研究不同區(qū)域水文事件的豐枯遭遇問題,實質(zhì)上是求取具有線性或者非線性關(guān)系多元變量聯(lián)合分布的過程。傳統(tǒng)建立多變量聯(lián)合分布的方法或假定變量為獨(dú)立分布,或認(rèn)為多變量聯(lián)合分布存在固定格式,具有較大的局限性。Copula函數(shù)作為一種新型的建立多變量聯(lián)合分布的有效工具,克服了傳統(tǒng)方法在變量分布上的局限性,目前在水文事件頻率分析中廣泛使用。Copula函數(shù)理論最早的詳細(xì)介紹要追溯到Joe[1]和Nelsen[2]的研究。Michele等[3]首次將Copula理論運(yùn)用到水文頻率分析中,利用Frank和Archimedean copula函數(shù)簇描述了流域降雨強(qiáng)度與降雨歷時的相關(guān)性。而后Copula函數(shù)大量應(yīng)用于水文頻率分析,主要集中在水文事件豐枯遭遇問題研究以及水文要素二維和多維聯(lián)合分布的建立方面。閆寶偉等[4]運(yùn)用二維Copula函數(shù)構(gòu)造了南水北調(diào)中線工程水源區(qū)與各受水區(qū)汛期、非汛期及全年降雨的聯(lián)合分布。Jenq等[5]以干旱歷時和干旱強(qiáng)度為研究對象,利用二維Clayton函數(shù)建立了2個干旱要素的聯(lián)合分布,計算了干旱事件的發(fā)生概率及其重現(xiàn)期,打破了傳統(tǒng)只利用一個指標(biāo)分析干旱發(fā)生特征的局面;謝華等[6]利用三維Copula函數(shù)建立了長江、淮河、黃河3個區(qū)域的聯(lián)合分布模型。馮平等[7]嘗試采用四維Copula函數(shù)構(gòu)造徑流系列的聯(lián)合分布,分析南水北調(diào)西線工程水源區(qū)河流與受水區(qū)的豐枯遭遇問題。除此之外,Copula函數(shù)在暴雨[8-10]、洪水[11-14]等極值事件的多特征屬性頻率分析中也得到大量應(yīng)用。

圖1 研究區(qū)域及站點(diǎn)分布

筆者以東江流域典型站點(diǎn)實測降雨系列豐枯遭遇問題為研究背景,運(yùn)用Copula函數(shù)構(gòu)建三維聯(lián)合分布模型,計算分時段不同量級降雨事件的遭遇概率及條件概率,驗證三維Copula函數(shù)是否適用于建立具有較強(qiáng)相關(guān)性系列的聯(lián)合分布模型。

1 數(shù)據(jù)與方法

1.1 數(shù)據(jù)來源

東江作為珠江水系的三大河流之一,是河源、惠州、東莞、深圳等地的主要供水水源,承擔(dān)著向香港供水的任務(wù)[15]。流域全長562 km,面積達(dá)27 040 km2,占珠江流域總面積的5.96%。東江自東北向西南流入廣東省境內(nèi),經(jīng)過龍川、河源、紫金、惠陽、博羅、東莞等縣注入獅子洋。東江流域?qū)儆趤啛釒Ъ撅L(fēng)濕潤氣候區(qū),具有明顯的干濕季節(jié),汛期多年平均降水量1 200～1 500 mm,非汛期多年平均降水量300～500 mm。

本文選取分布于東江流域上、中、下游的龍川、河源和博羅3個代表性水文站點(diǎn)(圖1)1956—2005年月尺度實測降雨資料作為研究對象,分汛期(4—9月)、非汛期(10—次年3月)以及全年3個時段開展對比研究。文中所用數(shù)據(jù)均經(jīng)過一致性、代表性、可靠性審查。

1.2 三維Copula函數(shù)理論

Copula函數(shù)是邊緣分布為[0,1]區(qū)間均勻分布的聯(lián)合分布函數(shù)。構(gòu)造Copula函數(shù)的理論基礎(chǔ)是Sklar定理,即,設(shè)X、Y、Z為連續(xù)的隨機(jī)變量,邊緣分布函數(shù)分別為F(X)、F(Y)和F(Z),F(X,Y,Z)為3個變量的聯(lián)合分布函數(shù),如果F(X)、F(Y)、F(Z)連續(xù),則存在唯一的函數(shù)Cθ(u1,u2,u3)滿足:

F(X,Y,Z)=Cθ(F(X),F(Y),F(Z))?X,Y,Z

(1)

式中:Cθ(u1,u2,u3)為Copula聯(lián)合分布函數(shù),θ為copula函數(shù)的待定參數(shù)。

表1 常用三維阿基米德Copula函數(shù)

Copula函數(shù)的主要構(gòu)造類型有3種,包括橢圓型、二次型以及阿基米德型。其中具有單參數(shù)特征的阿基米德型Copula函數(shù)結(jié)構(gòu)簡單、計算方便,可構(gòu)造的形式多樣,并且適應(yīng)性強(qiáng),目前在豐枯遭遇問題研究中得到廣泛應(yīng)用。阿基米德型Copula函數(shù)主要通過算子φ構(gòu)造而成,n維阿基米德Copula函數(shù)定義為

Cn(u1,u2,u3)=φ[-1][φ(u1)+

φ(u2)+…+φ(un)]

(2)

(3)

式中:C(u1,u2,u3)為隨機(jī)變量X,Y,Z的聯(lián)合分布函數(shù),表示變量間的相關(guān)結(jié)構(gòu);ui=F(X)為各變量的邊緣分布函數(shù),μ1,μ2,μ3分別為隨機(jī)變量的邊緣分布概率;φ為阿基米德生成算子,為連續(xù)、嚴(yán)格遞減函數(shù),φ(0)=∞,φ(1)=0;φ-1為φ的反函數(shù)。

當(dāng)構(gòu)造Copula函數(shù)的算子φ不相同時,所構(gòu)造出的Copula函數(shù)也存在很大差別。表1為水文事件豐枯遭遇研究中較為常用的三維阿基米德Copula函數(shù)。

Copula函數(shù)的參數(shù)估計方法有很多[16],目前較常用的是非參數(shù)法和兩階段估計方法,非參數(shù)法要求獲得明確的Kendall′τ與Copula參數(shù)θ的表達(dá)式,僅適用于二維阿基米德型Copula函數(shù)的參數(shù)估計,同時這種方法易受資料長度的影響,精度不夠。兩階段估計方法則精度較高,適用于多維Copula函數(shù)的參數(shù)估計。本文采用兩階段估計方法確定三維Copula函數(shù)的參數(shù)。

兩階段參數(shù)估計方法是將隨機(jī)變量的邊緣分布參數(shù)和Copula聯(lián)合分布參數(shù)分別進(jìn)行估計,主要通過以下過程實現(xiàn)。

極大似然法估計邊緣分布參數(shù):

(4)

極大似然法估計Copula函數(shù)中的參數(shù)θ:

(5)

構(gòu)造的Copula聯(lián)合分布模型是否適合,能否描述變量間的相關(guān)性結(jié)構(gòu),則需要通過擬合優(yōu)度檢驗來確定,最終選取擬合優(yōu)度最高的作為最終模型,進(jìn)行豐枯遭遇分析。本文通過Kolmogorov-Simirnov檢驗對Copula函數(shù)模型進(jìn)行擬合檢驗。采用赤池信息法(Akaike information Criterion,AIC)優(yōu)選待定參數(shù)不同的Copula函數(shù)模型,AIC最小為最優(yōu)。采用離差平方和(OLS)最小準(zhǔn)則對Copula函數(shù)進(jìn)行擬合優(yōu)度評價。具體定義見表2。

表2 擬合優(yōu)度檢驗項目計算公式

注:F(xk,yk,zk)為xk,yk,zk的聯(lián)合分布;mk為聯(lián)合觀測值樣本中同時滿足x≤xk,y≤yk,z≤zk的觀測值個數(shù);n為樣本長度;RSS為模型擬合后的殘差平方和;Pi,Pei分別為聯(lián)合分布的理論頻率和經(jīng)驗頻率。

2 流域內(nèi)豐枯遭遇聯(lián)合分布模型建立

2.1 各站點(diǎn)降雨邊緣分布確定

目前我國水文分析中一般假定降雨、徑流服從P-Ⅲ型分布,其概率密度函數(shù)為

(6)

式中:α、β和a0分別為形狀、尺度和位置參數(shù)。

表3 P-Ⅲ型曲線特征參數(shù)

表4 邊緣分布擬合優(yōu)度檢驗參數(shù)計算結(jié)果

表5 相關(guān)系數(shù)計算結(jié)果

鑒于流域內(nèi)上、中、下游地理、氣候特征的差異性,P-Ⅲ型分布并非普適?；贑opula函數(shù)建立流域降雨變化的聯(lián)合分布模型不限定變量的分布線型,因此,選取擬合優(yōu)度最好的邊緣分布,成為決定聯(lián)合分布模型擬合精度大小的關(guān)鍵。本文選取P-Ⅲ型分布、對數(shù)正態(tài)分布及指數(shù)分布作為待選邊緣分布,降雨變化經(jīng)驗頻率采用下式計算:

(7)

式中:F(X)為表示概率的代表函數(shù);P(X≤xm)為經(jīng)驗頻率,m為xm對應(yīng)序號,N為樣本容量。

通過計算各分布線型理論頻率對于降雨變化經(jīng)驗頻率的RSquare(確定系數(shù))、RMSE(均方根誤差)及AIC值(赤池信息準(zhǔn)則),并擇優(yōu)選取,計算及選取結(jié)果見表4。從表4可以看出,3個站點(diǎn)汛期、非汛期、全年3個時段各線性擬合確定系數(shù)RSquare均在0.8以上,最高達(dá)0.997,說明3個線性擬合精度都較高。根據(jù)RMSE和AIC最小準(zhǔn)則,以年尺度為例,可以看出龍川站年尺度降雨變化對數(shù)正態(tài)分布擬合的RMSE及AIC值較P-Ⅲ分布和指數(shù)分布小,因此,選取對數(shù)正態(tài)分布作為龍川站年尺度降雨變化的邊緣分布;對河源、博羅站而言,P-Ⅲ型分布擬合參數(shù)RMSE及AIC明顯小于其他2個分布線型,因此選取P-Ⅲ型分布作為河源和博羅站年尺度降雨變化的邊緣分布。

2.2 初選Copula函數(shù)

阿基米德Copula函數(shù)對于變量的相關(guān)性有一定的要求,其中Clayton Copula函數(shù)和Gumbel-Hougaard Copula函數(shù)適用于具有正相關(guān)關(guān)系的隨機(jī)變量,Frank Copula函數(shù)則對正、負(fù)相關(guān)關(guān)系的隨機(jī)變量都適用?？筛鶕?jù)3個站點(diǎn)不同時段降雨變化相關(guān)性的大小初步選取Copula函數(shù)。為此,首先分析3站點(diǎn)各時段降雨變化的相關(guān)性大小,見表5。從表5可知,上、中、下游3個站點(diǎn)降雨變化兩兩相關(guān)系數(shù)均在0.6以上,其中龍川-河源站非汛期降雨相關(guān)系數(shù)最大達(dá)0.93,說明3個站點(diǎn)降雨變化具有較強(qiáng)正相關(guān)性。綜合考慮,最終選取Clayton Copula函數(shù)和Gumbel-Hougaard Copula函數(shù)作為聯(lián)合分布模型建立的初選函數(shù)。

2.3 Copula函數(shù)參數(shù)估計及擬合優(yōu)度檢驗

Copula函數(shù)的參數(shù)θ根據(jù)公式(4)～(5)進(jìn)行估計(結(jié)果見表6)。為確定最優(yōu)Copula函數(shù),建立聯(lián)合分布模型,需要對初選的2個Copula函數(shù)進(jìn)行擬合優(yōu)度檢驗,以分析比較3個站點(diǎn)不同時段降雨變化觀測點(diǎn)的經(jīng)驗累積頻率與理論累計頻率的一致性。對3個站點(diǎn)不同時段降雨變化的觀測值(xi,yi,zi)按x升序排列,得到新數(shù)據(jù)組(x1,y1,z1),(x2,y2,z2),…,(xN,yN,zN),三維經(jīng)驗聯(lián)合概率計算公式為

F(xi,yi,zi)=P(X≤xi,Y≤yi,Z≤zi)=

(8)

式中:P為經(jīng)驗聯(lián)合頻率,m為同時滿足xj≤xi,yj≤yi,zj≤zi的觀測點(diǎn)個數(shù)(i≤j,1≤i≤N,1≤j≤N);N為樣本容量。

降雨變化經(jīng)驗聯(lián)合頻率與理論聯(lián)合頻率的一致性檢驗結(jié)果見圖2。因篇幅限制,文中只給出年尺度擬合結(jié)果。從圖2可知,Clayton Copula函數(shù)與Gumbel-Hougaard函數(shù)構(gòu)造的理論聯(lián)合分布模型對經(jīng)驗聯(lián)合頻率的一致性均較強(qiáng),線性相關(guān)系數(shù)在0.97以上。計算得到汛期、非汛期降雨變化2種Copula函數(shù)構(gòu)造的理論聯(lián)合分布頻率,與經(jīng)驗聯(lián)合分布頻率一致性也較高。這說明僅通過一致性檢驗不足以選取最優(yōu)的Copula函數(shù)。

圖2 年尺度降雨變化經(jīng)驗聯(lián)合頻率與理論頻率一致性檢驗

為更有效地選取最優(yōu)Copula函數(shù),通過K-S檢驗,采用OLS、AIC最小準(zhǔn)則等進(jìn)行擬合優(yōu)度檢驗,檢驗結(jié)果見表6。通過對比分析發(fā)現(xiàn),在0.05置信水平下,K-S檢驗統(tǒng)計量D均小于標(biāo)準(zhǔn)值D50,0.05=0.189(50是自由度、0.05是置信水平),說明初選Copula函數(shù)均能通過K-S檢驗。觀察可知,就離差平方和DOLS及AIC的大小來看,Gumbel-Hougaard Copula函數(shù)明顯小于Clayton Copula函數(shù),表明Gumbel-Hougaard Copula函數(shù)擬合精度更高。

圖3為3個站點(diǎn)不同時段2個Copula函數(shù)建立的理論模型與經(jīng)驗聯(lián)合頻率的擬合情況,進(jìn)一步驗證了Gumbel-Hougaard Copula函數(shù)較Clayton Copula函數(shù)擬合效果好。最終選取Cumbel-Hougaard Copula函數(shù)作為3站不同時段降雨變化聯(lián)合分布模型的構(gòu)造函數(shù)。

表6 3個站點(diǎn)降水豐枯遭遇Copula函數(shù) 擬合優(yōu)度檢驗及參數(shù)估計結(jié)果

圖3 不同時段經(jīng)驗聯(lián)合頻率與理論頻率擬合結(jié)果

3 結(jié)果分析

3.1 3個站點(diǎn)不同時段豐枯遭遇分析

得到各時段降雨變化的邊際分布,選定最優(yōu)Copula函數(shù),然后據(jù)此建立3個站點(diǎn)分時段降雨變化豐枯遭遇聯(lián)合分布模型。龍川站、河源站、博羅站不同時段降雨量達(dá)到某一概率時的聯(lián)合概率分布表示為

F(x,y,z)=P(X≤x,Y≤y,Z≤z)=

C(FX(x),FY(y),FZ(z))=C(u1,u2,u3)=

(9)

式中:θ為Gumbel-Hougaard Copula函數(shù)的參數(shù),因計算時段的不同而異;X,Y,Z分別為龍川、河源、博羅站降雨系列值;u1=FX(x),u2=FY(y),u3=FZ(z)分別為龍川、河源、博羅站降雨邊緣分布函數(shù)。

根據(jù)降雨量的大小將來水情況分為豐、平、枯3個等級,取豐、枯劃分相應(yīng)的來水保證率分別為Pf=37.5%、Pk=62.5%,轉(zhuǎn)化為累計頻率P(xf)=0.625、P(xk)=0.375?；谏鲜鰟澐?3個站點(diǎn)降雨變化的豐枯遭遇可以分豐枯同步、豐枯異步2個大情形下共27種情況,包括:同豐、同平、同枯、兩豐一枯、兩枯一豐、兩枯一平、兩平一枯、兩平一豐、兩豐一平,一豐一平一枯等。通過Gumbel-Hougaard Copula函數(shù)建立聯(lián)合分布模型,計算27種情況的遭遇概率，見表7。

表7 降雨變化豐枯遭遇概率計算結(jié)果 %

就時間尺度看,汛期、非汛期、全年豐枯同步發(fā)生概率分別為45.8%、57.3%、51.4%;豐枯異步發(fā)生概率分別為54.2%、42.7%、48.6%。豐枯同步組合發(fā)生概率最大的是非汛期,達(dá)57.3%,明顯高于這一時段豐枯異步組合的發(fā)生概率。這種情況對于非汛期降雨量較少的東江流域極為不利,應(yīng)予以重視。汛期豐枯同步組合發(fā)生概率45.8%,低于豐枯異步;其中同豐組合發(fā)生概率23.1%,高于同枯組合發(fā)生概率18.9%,調(diào)水重點(diǎn)應(yīng)放在洪水遭遇上,調(diào)節(jié)水庫運(yùn)行機(jī)制;年尺度上,豐枯同步、豐枯異步發(fā)生概率基本持平。總體看來,3個時段豐枯組合發(fā)生概率各不相同,流域內(nèi)降雨豐枯遭遇存在時間上的變異性。

就制定流域內(nèi)水資源優(yōu)化配置方案,實現(xiàn)水資源可持續(xù)利用來講,應(yīng)更關(guān)心調(diào)水的利弊情況。3個時段非汛期豐枯同步發(fā)生概率最大,是流域內(nèi)調(diào)水最不利的時期。非汛期調(diào)水不利情況發(fā)生總概率為65.8%,汛期為61.5%,全年調(diào)水不利總概率為64%。分析表明,就研究流域來說,調(diào)水不利情況偏多,需要決策者制定針對性政策。就水資源總量來說,3個時段同豐組合發(fā)生概率占整體比重最大,說明流域內(nèi)水資源總量相對較豐富。

3.2 豐枯遭遇條件概率分析

為更好地制定流域內(nèi)水資源優(yōu)化配置方案,已知上游發(fā)生一定量級降雨情況時,需要預(yù)測中、下游發(fā)生不同量級降雨的概率值。Copula函數(shù)建立的聯(lián)合分布模型同樣為解決這一問題提供了有效的工具。當(dāng)已知上游分別出現(xiàn)枯、平、豐水年時,中、下游發(fā)生不同級別來水的條件概率計算公式如下(篇幅限制這里只列出已知上游來水情況,中、下游同枯的發(fā)生概率):

已知上游龍川站為枯水年,中、下游河源、博羅站為枯水年的發(fā)生概率:

F(y,z|x)=P(Y≤yk,

(10)

已知上游龍川站為平水年,中、下游河源、博羅站為枯水年的發(fā)生概率:

F(y,z|x)=P(Y≤yk,Z≤zk|xk≤x≤xp)=

(11)

已知上游龍川站為豐水年,中、下游河源、博羅站為枯水年的發(fā)生概率:

F(y,z|x)=P(Y≤yk,Z≤zk|x≥xf)=

(12)

圖4為汛期、非汛期、全年上游龍川站為枯水情況時,中、下游河源、博羅站發(fā)生不同量級降雨的條件概率分布。圖4更直觀地表現(xiàn)出了條件概率的大小,可以直接查出上游枯水情況,中、下游某一量級降雨對應(yīng)的發(fā)生概率,如在年尺度下,已知上游枯水,中、下游2站同枯的發(fā)生概率P(Y≤yk,Z≤zk|X≤xk)=57.1%。對比3站同枯的發(fā)生概率P(X≤xk,Y≤yk,Z≤zk)=21.4%,增加了2.7倍。圖5為不考慮上游降雨情況,中、下游枯水年的發(fā)生概率與已知上游枯水,中、下游枯水發(fā)生概率的對比。從圖5可知,3個時段對比,已知上游來水情況,中、下游枯水發(fā)生概率變化最大的為非汛期,增加了2.4倍,年尺度次之,汛期變化幅度最小,約增加2倍。

圖4 上游龍川站降雨量為枯水情況下,中、下游河源、博羅站不同量級降雨遭遇條件概率

圖5 中、下游同枯事件發(fā)生概率與條件概率對比

4 結(jié) 論

在全球氣候變化的大背景下,以流域內(nèi)不同站點(diǎn)降雨事件相關(guān)性為出發(fā)點(diǎn),利用Copula函數(shù)建立流域降雨事件多變量聯(lián)合分布模型。通過擬合優(yōu)度檢驗,最終選取Gumbel-Hougaard Copula函數(shù)構(gòu)建了東江流域上、中、下游3個站點(diǎn)汛期、非汛期及全年降雨的聯(lián)合分布,并在此基礎(chǔ)上深入分析了3個站點(diǎn)多種情境下豐枯遭遇發(fā)生的概率及條件概率,結(jié)論如下:

a. 3站點(diǎn)降雨豐枯遭遇在時間尺度上存在一定的差異性。汛期降雨豐枯同步發(fā)生概率45.8%,明顯小于豐枯異步概率,對調(diào)水有利的情況較易發(fā)生;而對于非汛期來說,豐枯同步發(fā)生概率57.3%,豐枯異步發(fā)生概率僅為42.7%,調(diào)水不利情況較多,水資源不足。針對降雨事件年內(nèi)分配不均勻問題,應(yīng)制定針對性的調(diào)水方案;年尺度來看,豐枯同步、豐枯異步發(fā)生概率相差不大,但調(diào)水不利情況發(fā)生概率達(dá)64%。

b. 汛期、非汛期及全年降雨3站點(diǎn)同豐概率分別為23.1%、27.3%和25.2%,相對于其他情形來說發(fā)生概率較大。表明,流域內(nèi)調(diào)水,在滿足用水要求的同時可能會有富余水量,要充分發(fā)揮流域內(nèi)水庫的調(diào)蓄作用,合理高效利用水資源。

建立上游為枯水情況,中、下游不同量級降雨組合發(fā)生概率的等值線圖,以方便查取,為流域水資源合理配置提供實用參考。對比分析上游降雨情況對中、下游在不同尺度下降雨事件發(fā)生概率的綜合影響大小,具有一定的理論與實踐意義。

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