鄧立娟, 左凱麗, 閻維賢*

(1 山西大學(xué) 理論物理研究所； 2 山西大學(xué) 物理電子工程學(xué)院， 山西 太原 030006)

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石墨烯磁勢(shì)壘量子點(diǎn)的能級(jí)結(jié)構(gòu)

鄧立娟1, 左凱麗2, 閻維賢2*

(1 山西大學(xué) 理論物理研究所； 2 山西大學(xué) 物理電子工程學(xué)院， 山西 太原 030006)

摘要：研究了磁勢(shì)壘量子點(diǎn)中有質(zhì)量和無(wú)質(zhì)量Dirac粒子的能級(jí)結(jié)構(gòu)。通過(guò)求解Dirac方程，利用數(shù)值計(jì)算出圓內(nèi)圓外磁矢勢(shì)方向相同和相反以及有質(zhì)量時(shí)量子點(diǎn)的能譜結(jié)構(gòu)。研究表明，當(dāng)圓內(nèi)圓外的磁矢勢(shì)方向相同時(shí)，隨著量子點(diǎn)半徑的增加，能級(jí)的變化體現(xiàn)出量子點(diǎn)內(nèi)外磁場(chǎng)的競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系。與量子點(diǎn)內(nèi)外的磁矢勢(shì)方向相同顯著不同，量子點(diǎn)內(nèi)外的磁矢勢(shì)方向相反時(shí)，量子點(diǎn)外的磁場(chǎng)占主導(dǎo)地位，其引起的朗道能級(jí)始終出現(xiàn)。質(zhì)量的引進(jìn)讓系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為一個(gè)反量子點(diǎn)，且有質(zhì)量Dirac粒子能級(jí)的平方獲得一個(gè)跟質(zhì)量相關(guān)的平移。

關(guān)鍵詞:石墨烯量子點(diǎn)； 磁勢(shì)壘； 能級(jí)結(jié)構(gòu)

PACS: 73.22.Pr, 73.21.La, 81.05.U-

近年來(lái)，對(duì)二維具有蜂窩狀結(jié)構(gòu)石墨烯[1]的研究成為凝聚態(tài)物理的重要分支，其獨(dú)特的力學(xué)性質(zhì)、電子性質(zhì)備受關(guān)注[2-3]，可能成為取代硅的新型材料。例如：強(qiáng)磁場(chǎng)會(huì)在二維電子系統(tǒng)的石墨烯中誘導(dǎo)出有別于通常半導(dǎo)體異質(zhì)結(jié)的反常量子霍爾效應(yīng)[1]，這種效應(yīng)是由石墨烯中導(dǎo)帶和價(jià)帶在狄拉克點(diǎn)處交匯引起的。石墨烯與超導(dǎo)材料的異質(zhì)結(jié)結(jié)構(gòu)使得電子-空穴對(duì)呈現(xiàn)出絕緣體-超導(dǎo)材料異質(zhì)結(jié)所沒(méi)有的鏡面Andreev反射[4]。理想石墨烯哈密頓跟無(wú)質(zhì)量相對(duì)論粒子哈密頓相似，但有效速度約為光速的1/300，在高能物理中由于加速器能量限制而不易觀(guān)察的物理現(xiàn)象能夠通過(guò)石墨烯平臺(tái)實(shí)現(xiàn)，這樣研究石墨烯就把高能物理和凝聚態(tài)物理緊密地聯(lián)系起來(lái)。

通過(guò)引入靜電勢(shì)壘我們可以在石墨烯上構(gòu)造出類(lèi)似于半導(dǎo)體微結(jié)構(gòu)的量子阱、量子線(xiàn)和量子點(diǎn)[2]。因?yàn)槭┝孔狱c(diǎn)中電子的手征特性，單純的電勢(shì)壘不能夠完全約束電子于勢(shì)壘或量子點(diǎn)中。Martino等人研究了磁勢(shì)壘對(duì)于Dirac電子約束，發(fā)現(xiàn)磁勢(shì)壘能有效地把Dirac電子束縛于勢(shì)壘中[5]，在此基礎(chǔ)上我們研究了應(yīng)力[6-7]對(duì)這個(gè)體系的作用。基于電子電子或電子聲子間相互作用能夠使得無(wú)質(zhì)量的狄拉克粒子的能譜打開(kāi)一個(gè)能隙，而這個(gè)能隙能夠認(rèn)為是由于質(zhì)量引起的，近來(lái)Stauber等人探討了石墨烯量子點(diǎn)中內(nèi)外不同質(zhì)量的能譜[8]。前人所做研究一般都是純電勢(shì)引起的量子點(diǎn)[9-10]，或者是量子點(diǎn)內(nèi)部沒(méi)有磁場(chǎng)，而外部具有磁場(chǎng)[1,5,11]。作為磁勢(shì)壘量子阱或超晶格研究的延伸，本文討論了無(wú)質(zhì)量和有質(zhì)量的Dirac粒子在各種不同磁勢(shì)壘下的能級(jí)，并討論了量子點(diǎn)內(nèi)外磁矢勢(shì)的不同形態(tài)對(duì)能級(jí)的不同影響，以及能級(jí)隨角動(dòng)量量子數(shù)和質(zhì)量變化的詳細(xì)情況。

1無(wú)質(zhì)量的磁勢(shì)壘量子點(diǎn)的能級(jí)

理想石墨烯中的布里淵區(qū)有兩個(gè)不等價(jià)的點(diǎn)K和K′(Dirac點(diǎn))，在Dirac點(diǎn)的電子服從Driac-Weyl(DW)方程，假設(shè)實(shí)空間中相互作用不劇烈變化的情形下，則我們只需要研究點(diǎn)K處的動(dòng)力學(xué)即可，如果考慮質(zhì)量，則Dirac粒子滿(mǎn)足如下的本征方程[11]:

(1)

式中,費(fèi)米速度vF≈106m/s,A(x,y)為矢勢(shì)，M為質(zhì)量，Pauli矩陣σ(σx,σy)，E=vFε,M=vFM′。

(2)

將方程(2)代入方程(1)，則得到下面的關(guān)于極坐標(biāo)中極徑的微分方程：

(3)

合并方程(3)可以得到一個(gè)二階微分方程

(4)

現(xiàn)在考慮無(wú)質(zhì)量的石墨烯磁量子點(diǎn)模型，在石墨烯中加上垂直于表面且方向相同的磁場(chǎng)，在半徑為R的圓外為均勻磁場(chǎng)B2，圓內(nèi)為均勻磁場(chǎng)B1，則半徑為R的圓內(nèi)外的磁通量可以表示為

(5)

其中Nm為歸一化常數(shù)。

現(xiàn)在討論ε≠0時(shí)的情況：經(jīng)過(guò)一系列變換，可以把方程(4)化簡(jiǎn)為Whittaker函數(shù)滿(mǎn)足的方程，通過(guò)解方程得到波函數(shù)

(6)

根據(jù)波函數(shù)和波函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性，可以計(jì)算出能量與量子點(diǎn)半徑所滿(mǎn)足的關(guān)系式

(7)

圖1石墨烯磁勢(shì)壘量子點(diǎn)低能級(jí)的能量與通量δ的關(guān)系

Fig.1The energy levels of the magnetic-barrier graphene dot versus the magnetic fluxδ

作為一種極端的磁勢(shì)壘量子點(diǎn)情形,就是把量子點(diǎn)內(nèi)外磁勢(shì)壘所對(duì)應(yīng)的磁場(chǎng)設(shè)置成方向相反，我們分兩種情況討論。

第一種情形：B1=B,B2=-B，仿照上面的計(jì)算過(guò)程可以得到能級(jí)滿(mǎn)足的超越方程

(8)

(9)

圖2石墨烯磁勢(shì)壘量子點(diǎn)能級(jí)的能量與通量δ的關(guān)系

Fig.2The energy levels of the magnetic-barrier graphene dot versus the magnetic fluxδ

2有質(zhì)量的磁勢(shì)壘量子點(diǎn)的能級(jí)

圖3　有質(zhì)量情形下的能級(jí)圖

3結(jié)論

本文利用解析和數(shù)值方法研究了量子點(diǎn)內(nèi)外磁場(chǎng)不同時(shí)(存在磁勢(shì)壘)無(wú)質(zhì)量和有質(zhì)量Dirac粒子的能級(jí)結(jié)構(gòu)，對(duì)量子點(diǎn)內(nèi)無(wú)磁場(chǎng)情形進(jìn)行推廣。研究發(fā)現(xiàn)諸多有別于量子點(diǎn)內(nèi)無(wú)磁場(chǎng)下的物理現(xiàn)象：如果圓內(nèi)圓外的磁矢勢(shì)方向相同，隨著量子點(diǎn)半徑的增大，能級(jí)從對(duì)應(yīng)磁場(chǎng)外的朗道能級(jí)逐漸向?qū)?yīng)磁場(chǎng)內(nèi)的朗道能級(jí)靠攏，體現(xiàn)出磁場(chǎng)內(nèi)外的競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系；如果量子點(diǎn)內(nèi)外的磁矢勢(shì)方向相反，此時(shí)量子點(diǎn)外的磁場(chǎng)引起的朗道能級(jí)始終會(huì)出現(xiàn)，這顯著區(qū)別于磁矢勢(shì)方向相同的情形。量子點(diǎn)內(nèi)外磁場(chǎng)強(qiáng)度的變化表現(xiàn)為能級(jí)隨角動(dòng)量量子數(shù)的變化是由于磁通量跟角動(dòng)量量子數(shù)既有協(xié)同也有競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系。質(zhì)量的引進(jìn)讓Dirac粒子能級(jí)的平方獲得一個(gè)跟質(zhì)量相關(guān)的有限的平移。本文討論了磁勢(shì)壘下量子點(diǎn)系統(tǒng)的束縛態(tài)，沒(méi)有涉及散射態(tài)的反射率和透射率，磁勢(shì)壘量子點(diǎn)對(duì)入射的平面波散射和反射有待今后進(jìn)一步研究。

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〔責(zé)任編輯 李博〕

第一作者： 吳佳，女，碩士研究生，研究方向?yàn)榧{米材料的光學(xué)分析。E-mail: wujia19910113@163.com

The energy-level structures of the graphene quantum dot

induced by the magnetic barriers

DENG Lijuan1, ZUO Kaili2, YAN Weixian2*

(1 Institute of Theoretical Physics, Shanxi University； 2 College of Physics and Electronics

Engineering, Shanxi University, Taiyuan 030006, Shanxi, China)

Abstract:The energy-level structures of the graphene quantum dot influenced by magnetic barrier is investigated.Under the condition of the magnetic fields inside and outside the dot are parallel, as increase of the dot size,the energy-level structure are determined by the competition of two magnetic. The accompanying Landau levels from the field outside the dot always appear when the directions of the two vector potentials are mutually anti-parallel. The addition of the mass makes the dot to be an antidot, whereas the squared energy levels gain a constant associated with the mass.

Keywords:graphene quantum dot; magnetic barriers; energy-level structures

通信作者：* 李保新，男，教授，博士生導(dǎo)師。E-mail: libaoxin@snnu.edu.cn

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金(21275096)

收稿日期：2015-02-09

doi:10.15983/j.cnki.jsnu.2016.01.311

文章編號(hào)：1672-4291(2016)01-0054-06

中圖分類(lèi)號(hào):O469

文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A