馬芙玲

(中山火炬職業(yè)技術(shù)學(xué)院公共課部，廣東中山528436)

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一類廣義弱壓縮條件的同倫不動點存在性定理

馬芙玲

(中山火炬職業(yè)技術(shù)學(xué)院公共課部，廣東中山528436)

[摘要]在偏序度量空間中引入了廣義弱壓縮映射條件，證明了同倫不動點的存在性定理，推廣了原有的某些結(jié)果.

[關(guān)鍵詞]偏序度量空間; 廣義弱壓縮條件; 不動點; 偏序集; 線性映射

1引言

度量空間不動點存在性問題已有比較完善的結(jié)果，這些結(jié)果在許多理論研究和實際應(yīng)用中起到了重要作用. Matlhews(1994)[1]提出了偏序度量空間的概念，它是度量空間的推廣，是一個不要求p(x，x)=0的廣義度量空間，有著重要的意義.隨著對該空間的深入研究及現(xiàn)實應(yīng)用的需要， Ran和Reuring(2004)[2]對偏序度量空間不動點的存在性問題進行了卓有成效的研究，得到了一類廣義弱壓縮映射在拓撲同倫方面的不動點存在性定理.然而，他們的條件十分苛刻.基于偏序度量空間不動點的存在性問題有著重要的理論意義和實際應(yīng)用價值，本文將嘗試在更弱的條件下來討論偏序度量空間不動點的存在性問題.

2預(yù)備知識

(i) p(x，x)=p(y，y)=p(x，y)當且僅當x=y；

(ii) p(x，x)≤p(x，y)；

(iii) p(x，y)=p(y，x)；

(iv) p(x，z)≤p(x，y)+p(y，z)-p(y，y).

序?qū)?X，p)叫做偏度量空間，p叫做偏度量.在下文中，如無特殊說明，指的是(X，p).

注1Abbas和Nazir(2012)指出，若p(x，y)=0， 則由(i)和(ii)可推出x=y.

注2鄰域Bp(x，ε)={y∈X;p(x，y)0可以生成一個拓撲τp.

注3如果(X，p)為一個偏度量空間，則會誘導(dǎo)一個度量

pS(x，y)=2p(x，y)-p(x，x)-p(y，y)，

故(X，pS)為一個度量空間.

定義2.2[3]X是一個偏序度量空間：

這樣，偏度量p是完備的.

命題2.3[3]若X是偏序度量空間，因此

(X，p)是完備的當且僅當(X，pS)是完備的.

定義2.4[3]映射f:X→X叫做弱壓縮映射，如果

p(fx，fy)≤p(x，y)-φ(p(x，y))， ?x，y∈X.

最近，Abbas和Nazir(2004)[3]在偏序度量空間中獲得了以下的弱壓縮條件在同倫不動點存在性中的基本結(jié)果，即下文定理 2.5:

定理2.5(X，≤) 是一個存在完備偏度量p的偏序集，U是X的開子集，V是X的閉子集且U?V，設(shè)H:V×[0，1]→X且H(·，λ):V→X不減且連續(xù)，?λ∈[0，1] ，如果以下條件滿足：

(a) x≠H(x，λ)，?x∈VU，λ∈[0，1]；

(b) ?x，y∈V，H(y，λ)≤H(x，λ)，或H(x，λ)≤H(y，λ)，λ∈[0，1]；

(c) V中的元素是可比較的，且

?φ∈Φ={φ:+→+;φ是遞增且下半連續(xù)，φ(t)=0當且僅當t=0}，

s.t.p(H(x，λ)，H(y，λ))≤p(x，y)-φ(p(x，y))，λ∈[0，1]；

則H(，0)在U中有不動點當且僅當H(，1)在U中有不動點，這里有x0∈X且x0≤H(x0，λ)，λ∈[0，1].

定理2.5的條件過于苛刻，在實際應(yīng)用中受到了限制.因此，本文如下定理3.1引入了一類廣義的弱壓縮映射條件，證明了拓撲同倫不動點存在性，推廣了定理2.5，并得到了一些的推論.

3主要結(jié)果

定理3.1(X，≤)是一個存在完備偏度量p的偏序集，U是X的開子集，V是X的閉子集且U?V，設(shè)H:V×[0，1]→X且H(·，λ):V→X不減且連續(xù)，?λ∈[0，1] ，如果以下條件滿足：

(a1) x≠H(x，λ)，?x∈VU，λ∈[0，1]；

(b1) ?x，y∈V， H(y，λ)≤H(x，λ)，或H(x，λ)≤H(y，λ)，λ∈[0，1]；

(c1) V中的元素是可比較的，且

?φ∈Φ={φ:+→+;φ是遞增且下半連續(xù)，φ(t)=0當且僅當t=0}，

s.t.ψ(p(H(x，λ)，H(y，λ)))≤ψ(M(x，y))-φ(M(x，y))，

(1)

M(x，y)=a1p(x，y)+a2p(H(x，λ)，x)+a3p(H(y，λ)，y)+a4p(H(x，λ)，y)

(2)

且滿足

a1+a2+a3+2a4<1；a1+2a2+a4<1，a1，a2>0，ai≥0(i=3，4)，λ∈[0，1]；

則若H(·，0)在U內(nèi)存在不動點，那么H(·，λ)在U內(nèi)也存在不動點，這里有x0∈X且x0≤H(x0，λ)，λ∈[0，1].

證記

A={λ∈[0，1];?x∈U，x=H(x，λ)}，

若H(·，0)在U內(nèi)存在不動點，則0∈A，故A≠?，現(xiàn)將要證明A在[0，1]中既開又閉，則A=[0，1].

首先，證明A在[0，1]中是閉集，若λn→λ(n→∞)，λ∈[0，1]，因λn∈A，n=1，2，3，…，則

?xn∈U，s.t.xn=H(xn，λn)，?n，m∈N， xm∈U，

根據(jù)條件(b1)以及H(·，λ)的不減性，可知xm，xn是可比較的.而

p(xm，xn)=p(H(xm，λm)，H(xn，λn))

≤p(H(xm，λm)，H(xn，λm))+p(H(xn，λm)，H(xn，λn))-p(H(xn，λm)，H(xn，λm)).

(3)

因為ψ是線性遞增的，故由(1)，(3)，(d1)得

ψ(p(xm，xn))=ψ(p(H(xm，λm)，H(xn，λn)))

≤ψ(p(H(xm，λm)，H(xn，λm)))+ψ(p(H(xn，λm)，H(xn，λn)))

(4)

由(2)，(4)得

ψ(p(xm，xn))≤a1ψ(p(xm，xn))+a2ψ(p(H(xm，λm)，xm))+a3ψ(p(H(xn，λm)，xn))

也即為

(5)

所以，由(5)式得

(6)

由條件(c1)，1-a1-a2-a4>0，當n，m→∞時，由(6)式知，有

又因為xn∈U，x∈V，根據(jù)假設(shè)以及H(·，λ)不減性，x，xn是可比較的，

ψ(p(H(x，λ)，xn))=ψ(p(H(x，λ)，H(xn，λn))

≤ψ(p(H(x，λ)，H(xn，λ))+(p(H(xn，λ)，H(xn，λn))-p(H(xn，λ)，H(xn，λ)))

≤ψ(p(H(x，λ)，H(xn，λ)))+ψ(p(H(xn，λ)，H(xn，λn)))

=a1ψ(p(x，xn))+a2ψ(p(H(x，λ)，x))+a3ψ(p(H(xn，λ)，xn))

故由上述得

(1-a4)ψ(p(H(x，λ)，xn))

≤a1ψ(p(x，xn))+a2ψ[p(H(x，λ)，xn)+p(xn，x)-p(xn，xn)]

即

(7)

由(7)式得

積極有效的思想政治教育不僅能夠幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的人生觀、價值觀和世界觀，而且在解決學(xué)生在就業(yè)和擇業(yè)期間所存在的一些思想和心理上的困惑方面也有著一定的指導(dǎo)價值。因此，筆者認為，高校教師特別是畢業(yè)班教師要特別注重加強對學(xué)生的思想政治教育工作，指導(dǎo)學(xué)生樹立起崇高的人生理想和社會責(zé)任感，因為只有學(xué)生社會責(zé)任意識提升了，有了遠大的人生理想，其在進行擇業(yè)時才會更好地將個人的發(fā)展與國家和社會結(jié)合起來，深入到國家和社會最需要的行業(yè)去，不怕艱苦，努力奮斗，為國家的發(fā)展建功立業(yè)。[5]

(8)

因此，由(8)式，可知

則

故λ∈A，及A為閉集，下證A為開集.

?λ0∈A，?x0∈U，s.t.x0=H(x0，λ0). 因為U為開集，?r>0，s.tBp(x0，r)?U，固定ε>0，滿足

及

因為H(·，λ)是不減的，對于?λ∈[0，1]，根據(jù)條件(b1)，知x，x0是可比較的，以及以下變形

ψ(p(H(x，λ)，x0))=ψ(p(H(x，λ)，H(x0，λ0))

≤ψ(p(H(x，λ)，H(x0，λ))+ψ(p(H(x0，λ)，H(x0，λ0))-ψ(p(H(x0，λ)，H(x0，λ))

≤ψ(p(H(x，λ)，H(x0，λ))+ψ(p(H(x0，λ)，H(x0，λ0))

(9)

同理，根據(jù)已知條件和(9)式，可得到

ψ(p(H(x，λ)，x0))≤a1ψ(p(x，x0))+a2ψ(p(H(x，λ)，x))+a3ψ(p(H(x0，λ)，x0))

(10)

從而由(10)知

=a1ψ(p(x0，x0)+r)+a2ψ(p(H(x，λ)，x))+a4ψ(p(H(x，λ)，x0))

(11)

所以從(11)式得到

(1-a4)ψ(p(H(x，λ)，x0))

(12)

又因為

a2ψ(p(H(x，λ)，x))≤a2ψ(p(H(x，λ)，x0))+a2ψ(p(x0，x))-a2ψ(p(x0，x0))

≤a2ψ(p(H(x，λ)，x0))+a2ψ(p(x0，x0)+r).

所以由(12)及上式得

(1-a2-a4)ψ(p(H(x，λ)，x0))

≤(a1+a2)ψ(p(x0，x0)+r)+(a3L+L)ψ(ε)-φ(M(x，x0)).

(13)

因為

故根據(jù)(13)式，知

(1-a2-a4)ψ(p(H(x，λ)，x0))≤(a1+a2)ψ(p(x0，x0)+r).

即

ψ((1-a2-a4)p(H(x，λ)，x0))≤ψ((a1+a2)(p(x0，x0)+r)).

(14)

由于ψ的遞增性，根據(jù)(14)式知

(1-a2-a4)p(H(x，λ)，x0)≤(a1+a2)(p(x0，x0)+r).

因為

由于a1+2a2+a4<1，即

p(H(x，λ)，x0)≤p(x0，x0)+r，

如果在定理3.1中，令φ(t)=t，則得到如下推論：

推論3.2(X，≤)是一個存在完備偏度量p的偏序集，U是X的開子集，V是X的閉子集且U?V，設(shè)H:V×[0，1]→X且H(·，λ):V→X不減且連續(xù)，?λ∈[0，1] ，如果以下條件滿足：

(a2) x≠H(x，λ)，?x∈VU，λ∈[0，1]；

(b2) ?x，y∈V，H(y，λ)≤H(x，λ)，或H(x，λ)≤H(y，λ)，λ∈[0，1]；

(c2) V中的元素是可比較的，且

?φ∈Φ={φ:+→+;φ是遞增且下半連續(xù)，φ(t)=0當且僅當t=0}，

s.t.p(H(x，λ)，H(y，λ))≤M(x，y)-φ(M(x，y))，

ψ(ka+lb)=kψ(a)+lψ(b)，

M(x，y)=a1p(x，y)+a2p(H(x，λ)，x)+a3p(H(y，λ)，y)+a4p(H(x，λ)，y)

且滿足

a1+a2+a3+2a4<1；a1+2a2+a4<1，a1，a2>0，ai≥0 (i=3，4)，λ∈[0，1].

則若H(·，0)在U內(nèi)存在不動點，那么H(·，λ)在U內(nèi)也存在不動點，這里有x0∈X且x0≤H(x0，λ)，λ∈[0，1].

推論3.3(X，≤)是一個存在完備偏度量p的偏序集，U是X的開子集，V是X的閉子集且U?V，設(shè)H:V×[0，1]→X且H(·，λ):V→X不減且連續(xù)，?λ∈[0，1] ，如果以下條件滿足：

(a3) x≠H(x，λ)，?x∈VU，λ∈[0，1]；

(b3) ?x，y∈V，要么H(y，λ)≤H(x，λ)，要么H(x，λ)≤H(y，λ)，λ∈[0，1]；

(c3) V中的元素是可比較的，且

?φ∈Φ={φ:+→+;φ是遞增且下半連續(xù)，φ(t)=0當且僅當t=0}，

ψ(ka+lb)=kψ(a)+lψ(b)，

M(x，y)=a1p(x，y)+a2p(H(x，λ)，x)+a3p(H(y，λ)，y)+a4p(H(x，λ)，y)

且滿足

a1+a2+a3+2a4<1；a1+2a2+a4<1，a1，a2>0，ai≥0 (i=3，4)，λ∈[0，1].

則若H(.，0)在U內(nèi)存在不動點，那么H(·，λ)在U內(nèi)也存在不動點，這里有x0∈X且x0≤H(x0，λ)，λ∈[0，1].

推論3.4(X，≤)是一個存在完備偏度量p的偏序集，U是X的開子集，V是X的閉子集且U?V，設(shè)H:V×[0，1]→X且H(·，λ):V→X不減且連續(xù)，?λ∈[0，1]，如果以下條件滿足：

(a4) x≠H(x，λ)，?x∈VU，λ∈[0，1]；

(b4) ?x，y∈V， H(y，λ)≤H(x，λ)，或H(x，λ)≤H(y，λ)，λ∈[0，1]；

(c4) V中的元素是可比較的，且

?φ∈Φ={φ:+→+;φ是遞增且下半連續(xù)，φ(t)=0當且僅當t=0}，

s.t.p(H(x，λ)，H(y，λ))≤αp(x，y)+β[p(H(x，λ)，x)+p(H(y，λ)，y)]+γp(H(x，λ)，y)

ψ(ka+lb)=kψ(a)+lψ(b)，

α+2β+2γ<1，α，β>0且γ≥0，λ∈[0，1]；

則若H(·，0)在U內(nèi)存在不動點，那么H(·，λ)在U內(nèi)也存在不動點，這里有x0∈X且x0≤H(x0，λ)，λ∈[0，1].

[參考文獻]

[1]Matlhews S G. Partial metric topology[C]. Roc 8th Summer Conference on General Topology and Applocations，Ann New York Acard.Sci，1994，728:183-197.

[2]Ram ACM， Reuring，MC. A fixed point throrem in partially ordered sets and some applications to matrix equations[J].ProcAm.Math Soc， 2004， 132:1435-1443.

[3]Abbas M， Nazir T. Fixed point of generalized weakly contractive mappings in ordered partial metric spaces[J]. Springer-Verlag， 2012，1:1687-1812.

A Class of Generalized Weak Compression Conditions Existence

Theorem of Homotopy Fixed Point

MaFu-ling

(Department of Public Courses， Zhongshan Torch polytechnic， Zhongshan 528436， China)

Abstract:This paper introduces a generalized weak contraction mapping conditions in partial ordering metric space， proves the existence theorem of homotopy fixed point， and extends some of the original results.

Key words:partial order metric space; generalized weak compression conditions; fixed point; poset; linear mapping

[收稿日期]2015-01-13

[中圖分類號]O189.1

[文獻標識碼]C

[文章編號]1672-1454(2015)02-0087-06