寧榮健，余丙森

(合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽合肥230009)

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基于分布函數(shù)的混合型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望和方差的計(jì)算

寧榮健，余丙森

(合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽合肥230009)

[摘要]在文獻(xiàn)[1]的基礎(chǔ)上，利用分布函數(shù)，介紹一種適合工科概率論教學(xué)的混合型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差的計(jì)算方法.

[關(guān)鍵詞]分布函數(shù)； 混合型隨機(jī)變量； 數(shù)學(xué)期望； 方差

1問題的提出

在工科概率論的教學(xué)過程中，我們介紹了下列例題.

例設(shè)隨機(jī)變量X~U[-1，2]，Y=max{X，1}，求EY和DY.

解由題意知X密度函數(shù)為

利用一維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望計(jì)算公式得

故

但是，有些學(xué)生求得Y的分布函數(shù)為

似乎得出Y的密度函數(shù)為

目前諸多工科概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教材中，只給出了離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望定義及相關(guān)計(jì)算，對(duì)于混合型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望并沒有介紹，使得在教學(xué)中有所欠缺.

事實(shí)上，對(duì)于任意的隨機(jī)變量X，其分布函數(shù)

F(x)=P{X≤x}，x∈R

完全反映了其分布情況，包含了分布的所有信息，自然也確定了其數(shù)學(xué)期望是否存在，以及數(shù)學(xué)期望存在時(shí)數(shù)學(xué)期望的取值.那么如何利用分布函數(shù)F(x)來研究X的數(shù)學(xué)期望呢？

在文獻(xiàn)[1]中，通過Lebesgue-Stieltjes積分給出了任意隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的一般定義.

并且文獻(xiàn)[1]還給出了下列結(jié)論.

特別地

因此

顯然定義1和定理1中的Lebesgue-Stieltjes積分的計(jì)算很不方便，因此需要尋求一個(gè)適合工科教學(xué)的、通俗易懂的隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望和方差的計(jì)算方法.

2主要結(jié)論

定理2[1]設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)，如果

都收斂，則EX存在，且

圖1

因此，定理2中

的幾何意義為：數(shù)學(xué)期望EX等于圖1中y軸右邊陰影部分的面積減去y軸左邊陰影部分的面積.

利用積分換元法，并考慮到F(x)處處右連續(xù)，F(xiàn)(-x)處處左連續(xù)，可得

其中F(x+0)表示F(x)在點(diǎn)x處的右極限；F(-x-0)表示F(x)在點(diǎn)-x處的左極限.因此

由于F(x)只有可列個(gè)間斷點(diǎn)，故

證如果X的取值非負(fù)，則當(dāng)x<0時(shí)，F(xiàn)(x)=0；如果X的取值非正，則當(dāng)x>0時(shí)，F(xiàn)(x)=1，因此由定理2即得推論1.

證記Y=X2，則Y的取值非負(fù)，且當(dāng)y≥0時(shí)，Y的分布函數(shù)為

由推論1

由于F(x)只有可列個(gè)間斷點(diǎn)，故

利用定理2和定理3即可計(jì)算X的方差.一般地，可得X的k階原點(diǎn)矩計(jì)算方法.

其中k為正整數(shù).

證當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，與定理3的證明類似，可得

當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，記Y=Xk，則Y的分布函數(shù)為

由定理2

因此，當(dāng)k為正整數(shù)時(shí)，

特別地，當(dāng)k=1時(shí)即為定理2；當(dāng)k=2時(shí)即為定理3.

3應(yīng)用舉例

例1設(shè)隨機(jī)變量X~U[-1，2]，Y=max{X，1}，利用定理2和定理3計(jì)算EY和DY.

解Y的分布函數(shù)為

由題意知Y的取值非負(fù)，由定理2的推論1和定理3知

所以

與前面的計(jì)算計(jì)算結(jié)果完全一致.

我最好奇的是無影屋。不是我好奇心太強(qiáng)，而是它真的很奇怪。一個(gè)大房間里，只擺放著幾個(gè)茶幾，墻上畫著畫，那些畫看起來都是黑夜的場(chǎng)景，畫上的人點(diǎn)著燈，做著不同的事，可他們都沒有影子，看著很詭異。每次我進(jìn)這個(gè)無影屋，我都會(huì)感到納悶和好奇，難道是工作人員在畫這些畫時(shí)，忘記了畫影子嗎？

這是將1997年數(shù)學(xué)四考研試題改編而成.原問題為求X的分布函數(shù)F(x)=P{X≤x}，其結(jié)果為

(計(jì)算過程略).

不難發(fā)現(xiàn)，本例中的X為混合型隨機(jī)變量，因此不可按離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量的計(jì)算方法計(jì)算EX和DY，而且也無法運(yùn)用隨機(jī)變量函數(shù)的關(guān)系計(jì)算.但若用定理2和定理3中的方法計(jì)算，則問題顯得比較簡(jiǎn)單.

所以

例3設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)，如果EX和DX均存在，且

P{X≤x}=P{X≥-x}， x∈R，

即X的概率分布關(guān)于y軸對(duì)稱，則

解由題意知F(x)=1-F(-x-0)，得F(x)+F(-x-0)=1和F(-x-0)=1-F(x)，所以

[參考文獻(xiàn)]

[1]林正炎，陸傳榮，蘇中根. 概率極限理論基礎(chǔ)[M]. 北京：高等教育出版社，1999.

[2]杜雪樵，凌能祥，等.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M]. 合肥：合肥工業(yè)大學(xué)出版社，2009.

[3]盛驟，等.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].北京：高等教育出版社， 2010.

The Computing Method of Mathematical Expectation and

Variance about Mixed type Random Variables based

on Distribution Function

NINGRong-jian，YUBing-sen

(School of Mathematics， Hefei University of Technology， Hefei 230009， China)

Abstract:The authors introduce a computing method of mathematical expectation and variance about mixed type variables with distribution function based on reference [1]. An application to the computation of expectation and variance is carried out to show the approach is suitable for the teaching of engineering probability theory.

Key words:Distribution function; mixed type random variables; mathematical expectation;variance

[收稿日期]2014-09-15

[中圖分類號(hào)]O211.3

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]C

[文章編號(hào)]1672-1454(2015)02-0048-05