王青芳，陳曉彥，柏　凱，任　淼

(合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院， 安徽合肥230009)

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一類新的擬Bernstein-Bézier曲線

王青芳，陳曉彥，柏凱，任淼

(合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院， 安徽合肥230009)

[摘要]構(gòu)造了一類新的帶雙參數(shù)形狀可調(diào)的擬Bernstein基函數(shù)，它是在三次Bernstein多項(xiàng)式的基礎(chǔ)上擴(kuò)展而成的一組n次擬Bernstein基.在此基礎(chǔ)上，定義了帶雙形狀參數(shù)的擬Bernstein-Bézier曲線，它保留了Bézier曲線的幾何特征，并具有形狀可調(diào)的特性.在控制點(diǎn)給定的情況下，可通過改變形狀參數(shù)的值整體或局部地調(diào)控曲線的形狀，同時(shí)給出參數(shù)控制及曲線拼接應(yīng)用的實(shí)例.

[關(guān)鍵詞]擬Bernstein基； 擬Bernstein-Bézier曲線； 形狀參數(shù)； 幾何造型

1引言

在計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)中，由Bernstain多項(xiàng)式構(gòu)造的Bézier曲線[1-2]簡單且直觀，具有舉足輕重的意義.但一組控制頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)一條Bézier曲線，若要改變曲線的形狀必須對(duì)控制頂點(diǎn)進(jìn)行相應(yīng)的調(diào)整，這使曲線構(gòu)造較為死板和不便.為了使這一類曲線的調(diào)控更具靈活性，構(gòu)造帶形狀參數(shù)的基函數(shù)或調(diào)配函數(shù)成為倍受歡迎的方法之一[3-4].文獻(xiàn)[5]通過在多項(xiàng)式空間中構(gòu)造一類帶有n-1個(gè)局部控制參數(shù)的基函數(shù)對(duì)曲線進(jìn)行局部控制，曲線的調(diào)控對(duì)應(yīng)不同參數(shù)上的調(diào)控在實(shí)際應(yīng)用中雖然更為細(xì)致，但也更為繁瑣.文獻(xiàn)[6]中利用遞歸方法提出一種新的基函數(shù)，基于這個(gè)遞歸定義了Bézier-like曲線，它的形狀參數(shù)可以調(diào)整曲線的形狀而并不改變控制點(diǎn).Zhu Yuanpeng[7]等提出具有兩個(gè)參數(shù)的αβ-Bernstein-like指數(shù)型的基函數(shù)，說明了指數(shù)型的形狀參數(shù)對(duì)曲線預(yù)測(cè)式的調(diào)整有較好的優(yōu)越性.而文獻(xiàn)[8]則構(gòu)造了帶一個(gè)參數(shù)的三次三角Bézier曲線.劉植[9-10]等利用n次及n+1次Bernstein基的凸組合構(gòu)造了一組新的n+1次多項(xiàng)式調(diào)配函數(shù)，使之具有類似Bernstein基的性質(zhì)，同時(shí)引入多個(gè)形狀參數(shù)作為對(duì)曲線形狀的調(diào)控參數(shù).

首先，本文定義的擬Bernstein基函數(shù)及擬Bernstein-Bézier曲線不但具有與Bernstein基函數(shù)及Bézier曲線類似的幾何特性，而且當(dāng)所有參數(shù)取1時(shí)即為n次Bernstein基函數(shù)及Bézier曲線.用該類基函數(shù)構(gòu)造的含形狀參數(shù)的擬Bernstein-Bézier曲線含有2個(gè)獨(dú)立的形狀參數(shù)，且與Bézier曲線次數(shù)一致，即次數(shù)并未增加.在不改變控制頂點(diǎn)位置的情況下，通過形狀參數(shù)的取值變化，對(duì)曲線形狀的調(diào)控比Bézier曲線更為靈活.其次，與現(xiàn)有其他擴(kuò)展方法(如文獻(xiàn)[5])相比，本文構(gòu)造的擬Bernstein多項(xiàng)式構(gòu)成了多項(xiàng)式空間的一組基函數(shù)，其相應(yīng)的擬Bernstein-Bézier曲線用較少的形狀參數(shù)對(duì)曲線進(jìn)行整體與局部調(diào)控，既滿足了不同曲線形狀的設(shè)計(jì)控制需要，又避免了多個(gè)參數(shù)取值修改所造成的不必要的繁瑣.最后，本文的數(shù)值實(shí)例說明該方法是切實(shí)有效的.

2擬Bernstein基函數(shù)

首先，在三次Bernstein基函數(shù)的基礎(chǔ)上引入兩個(gè)形狀參數(shù)，并遞歸定義一組新的n次多項(xiàng)式如下.

bi，n(t)=(1-t)bi，n-1(t)+tbi-1，n-1(t)，i=0，1，…，n，n>3

(1)

規(guī)定

b-1，n-1(t)=bn，n-1(t)=0，

其中

(2)

(i) 線性無關(guān)性；

(ii) 對(duì)稱性：當(dāng)λ=μ時(shí)，bi，n(t)=bn-i，n(1-t)；

(iii) 非負(fù)性：bi，n(t)≥0，i=0，1，…，n；

n=4時(shí)，

同理依次類推，由

(ii)λ=μ時(shí)，容易驗(yàn)證

bi，3(t)=b3-i，3(1-t)，i=0，1，2，3

滿足對(duì)稱性，由(1)式容易看出，n次擬Bernstein多項(xiàng)式滿足對(duì)稱性.

bi，3≥0，i=0，1，2，3，

由(1)式立得非負(fù)性.

(iv) 容易驗(yàn)證

同時(shí)由遞推公式可得

故

以此類推

(v) 由于

故

b0，n(0)=bn，n(1)=1.

下證

先驗(yàn)證當(dāng)n=3和n=4時(shí)上述等式成立：

假設(shè)n=2k，n=2k-1時(shí)等式成立，若當(dāng)n=2k+2，n=2k+1時(shí)也成立，即證.

當(dāng)n=2k時(shí)成立，有

當(dāng)n=2k-1時(shí)成立，有

而當(dāng)n=2k+1時(shí)，由遞推公式

因?yàn)?/p>

bi，2k+1=(1-t)bi，2k+tbi-1，2k，

所以

依j=0，1，2，…展開恰好等式

當(dāng)n=2k+1時(shí)成立.同理n=2k+2時(shí)也成立.由數(shù)學(xué)歸納法即證

其中i=1，…，n-1，j=0，1，…，i-1，k=0，1，…，n-i-1.

3擬Bernstein-Bézier曲線

(3)

顯然，λ=μ=1時(shí)n次擬Bernstein-Bézier曲線p(t)退化為n次Bézier曲線.根據(jù)定理1，容易驗(yàn)證擬Bernstein-Bézier曲線具有如下性質(zhì).

定理2(3)式定義的帶形狀參數(shù)的擬Bernstein-Bézier曲線具有如下性質(zhì)：

(i) 端點(diǎn)性質(zhì)：

(ii) 對(duì)稱性：由控制多邊形P0P1…Pn-1Pn和PnPn-1…P1P0定義的兩條擬Bernstein-Bézier曲線是相同的，只是定向相反.由擬Bernstein基函數(shù)的對(duì)稱性立得

(iii) 凸包性：由擬Bernstein基函數(shù)的非負(fù)性和規(guī)范性性可得.

(iv) 幾何不變性：由擬Bernstein基函數(shù)的規(guī)范性性易知，曲線不隨坐標(biāo)系的選取而改變，所以曲線p(t)具有幾何不變性.

由定理2可看出，擬Bernstein-Bézier曲線與Bézier曲線有許多類似的性質(zhì)，不同的是擬Bernstein-Bézier曲線中含有可調(diào)的形狀參數(shù)，從(1)，(2)式顯然可以看出，參數(shù)λ的值只對(duì)曲線(3)式的前半部分起作用，參數(shù)μ的值只對(duì)曲線的后半部分進(jìn)行控制，即參數(shù)的取值可以整體或局部調(diào)控曲線的形狀，這使曲線得在幾何造型中更加靈活.

當(dāng)n=3時(shí)，取λ=1，μ=-1，0，1，如圖1所示；當(dāng)n=4時(shí)，μ=-1，λ=-1，0，1，如圖2所示.

圖1　形狀參數(shù)μ對(duì)曲線形狀的影響圖2　形狀參數(shù)λ對(duì)曲線形狀的影響

給定控制點(diǎn)，當(dāng)P0=Pn時(shí)，曲線是一條閉曲線.如圖3，4所示的為4次擬Bernstein-Bézier曲線擬合的花瓣圖案.圖3僅以形狀參數(shù)μ的調(diào)控為例，取

μ=-1.5，-1，-0.5，0，0.5，1，λ=1；

圖4中僅以形狀參數(shù)λ的調(diào)控為例，取

λ=-1.5，-1，-0.5，0，0.5，1，μ=1.

圖3　形狀參數(shù)μ調(diào)控的四片花瓣圖案圖4　形狀參數(shù)λ調(diào)控的六芒星花瓣圖案

4擬Bernstein-Bézier曲線的應(yīng)用實(shí)例

在幾何造型中，我們不僅可以對(duì)控制點(diǎn)進(jìn)行調(diào)配，還可以對(duì)形狀參數(shù)進(jìn)行控制.當(dāng)控制頂點(diǎn)給定時(shí)，可以利用形狀參數(shù)更加理想的組合擬Bernstein-Bézier曲線形狀.如圖5，圖6是模擬的童裝口袋邊緣及中央圖案的組合曲線圖形.口袋邊緣是四段組合擬Bernstein-Bézier曲線，其中參數(shù)λ=μ=1.圖5中的四葉草圖案以及圖6中的雙心形圖案的參數(shù)均取為λ=1，μ=0.5.

圖5　四葉草圖案的口袋造型圖6　雙心形圖案的口袋造型　

除了用控制點(diǎn)對(duì)曲線進(jìn)行控制，在控制點(diǎn)固定的情況下擬Bernstein-Bézier曲線也可通過對(duì)參數(shù)的調(diào)節(jié)生成不同的曲線.如圖7中的六幅動(dòng)物圖案設(shè)計(jì)，均為相同的控制點(diǎn).將曲線的主要部分分為曲線1、曲線2及曲線3三部分，其中曲線1部分均設(shè)參數(shù)值λ=μ=-1.曲線2部分即耳朵圖案部分參數(shù)值設(shè)置，其中λ，μ值越小，耳朵越短小，λ，μ值越大，耳朵則偏細(xì)長，曲線3部分即動(dòng)物臉圖案部分參數(shù)值設(shè)置，λ，μ值越小，臉圖案越偏橢圓，λ，μ值越大，臉圖案則越呈“上瘦下胖”.

(1) λ2=1，μ2=1;λ3=1，μ3=1　　(2) λ2=0，μ2=0;λ3=0，μ3=0

(3) λ2=1，μ2=1;λ3=-1，μ3=-1　(4) λ2=1，μ2=-1;λ3=0，μ3=0

(5) λ2=-1，μ2=-1;λ3=-1，μ3=-1　(6) λ2=0，μ2=0;λ3=-1，μ3=-1圖7　動(dòng)物圖案的參數(shù)控制(固定控制點(diǎn))

5結(jié)論

本文給出了一類新的含有雙參數(shù)的擬Bernstein多項(xiàng)式，它具有與傳統(tǒng)Bernstein多項(xiàng)式類似的一些幾何特性，如線性無關(guān)性，非負(fù)性，規(guī)范性等.與現(xiàn)有其他擴(kuò)展方法相比，本文提出的擬Bernstein多項(xiàng)式構(gòu)成了多項(xiàng)式空間的一組基函數(shù).由于含有可調(diào)的形狀參數(shù)，擬Bernstein基函數(shù)具有可調(diào)性.由擬Bernstein基函數(shù)構(gòu)造的擬Bernstein-Bézier曲線也具備傳統(tǒng)Bézier曲線的若干性質(zhì)，且更加注重實(shí)際應(yīng)用中曲線調(diào)控的方便和靈活性.在不改變控制頂點(diǎn)的前提下，可通過形狀參數(shù)不同的取值對(duì)擬Bernstein-Bézier曲線局部或整體進(jìn)行調(diào)控，從而達(dá)到多樣化曲線設(shè)計(jì)的效果.數(shù)值實(shí)例表明本文方法是行之有效的.

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A Class of New Quasi-Bernstein-Bézier Curves

WANGQing-fang，CHENXiao-Yan，BAIKai，RENMiao

(School of Mathematics， Hefei University of Technology， Hefei 230009, China)

Abstract:A class of new Quasi-Bernstein basis functions with two shape parameters is constructed， which is the recursive approach of cubic Bernstein basis functions. Based on these basis functions， a new type of Quasi-Bernstein-Bézier curve with two shape parameters is defined. The new curve contains some properties of the classical Bernstein-Bézier curve. We present that the shape of the Quasi-Bernstein-Bézier curves can be adjusted globally or locally by changing the values of the shape parameters when the control polygon is maintained. Meanwhile， the examples illustrate that the altered shape parameters make it a valuable method for the design of curves.

Key words:Quasi-Bernstein basis function; Quasi-Bernstein-Bézier Curves; shape parameters; geometric modeling

[基金項(xiàng)目]國家自然科學(xué)基金(11471093); 高等學(xué)校博士學(xué)科點(diǎn)專項(xiàng)科研基金資助課題(20110111120026); 安徽省高等學(xué)校自然科學(xué)研究項(xiàng)目(KJ2014ZD30); 合肥工業(yè)大學(xué)大學(xué)生創(chuàng)新計(jì)劃項(xiàng)目(2014CXCY558)

[收稿日期]2015-02-03；[修改日期]2015-03-10

[中圖分類號(hào)]O241.5

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A

[文章編號(hào)]1672-1454(2015)02-0026-07