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        變量代換法和幾類阿貝爾型方程的通解

        2016-01-28 02:25:58張金浩梁新陽
        大學(xué)數(shù)學(xué) 2015年1期

        倪 華, 周 雷, 張金浩, 梁新陽

        (江蘇大學(xué)理學(xué)院,江蘇鎮(zhèn)江212013)

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        變量代換法和幾類阿貝爾型方程的通解

        倪華,周雷,張金浩,梁新陽

        (江蘇大學(xué)理學(xué)院,江蘇鎮(zhèn)江212013)

        [摘要]研究了幾類阿貝爾型方程,利用變量代換法得到了方程的通解的充分性條件.

        [關(guān)鍵詞]阿貝爾方程; 變量代換法; 通解

        非線性阿貝爾方程

        (1)

        在物理和工程應(yīng)用中扮演著重要的角色[1-9],在數(shù)學(xué)和物理方面它的許多性質(zhì)被廣泛研究,Matsuno[10]分析了和阿貝爾方程有聯(lián)系的二維動力系統(tǒng);Strobel and Reid[11], Reid and Strobel[12]得到了阿貝爾方程的特解的一些判斷方法;Mak等[13], Mak and Harko[14]假設(shè)(1)存在一個(gè)特解的前提下,通過代換法,得到方程的通解存在性的一些準(zhǔn)則;文[15]也給出了幾類可以化為貝努利方程的特殊的阿貝爾方程,從而可以得到其通解;文[16]研究了一類周期系數(shù)的阿貝爾方程,得到其周期解的存在性和穩(wěn)定性的一些充分性條件;然而,除了在一些特殊條件下,系統(tǒng)(1)一般是不可以通過初等積分法求出通解的;再者,除了簡單的方程外,一般很難通過觀察法得到其一個(gè)特解的.本文我們也研究幾類特殊系數(shù)的阿貝爾型方程,利用變量代換法得到了方程的通解,并得到一個(gè)特解,獲得了一些新的結(jié)論.

        下面是本文的主要結(jié)論.

        定理1考慮如下阿貝爾型方程

        (2)

        其中a(t),b(t)是區(qū)間I上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù),若以下條件滿足:

        則方程(2)的通解為

        是方程(2)的一個(gè)特解.

        于是方程(2)可化為

        (3)

        (4)

        (5)

        根據(jù)一階線性微分方程的通解公式,(5)的通解為

        定理2考慮阿貝爾方程(1),a(t),b(t)是區(qū)間I上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù),若以下條件滿足:

        則阿貝爾方程(1)的通解為

        是方程(1)的一個(gè)特解.

        (6)

        由條件(B2),方程(6)化為

        (7)

        由條件(B3),方程(7)化為

        (8)

        (9)

        由條件(B1),可知方程(9)滿足定理1的條件,故根據(jù)定理1,可得方程(9)的通解為

        (10)

        (11)

        例1求下列方程的解

        (12)

        例2求下列方程的解

        (13)

        定理3考慮方程(1),a(t),b(t)是區(qū)間I上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù),若以下條件滿足:

        則阿貝爾方程(1)的通解為

        證由條件(C1),(C2),方程(1)可化為

        (14)

        這是一個(gè)可分離變量的微分方程,易得方程(14)的通解為

        例3求下列方程的解

        (15)

        解這里,a(t)=t,b(t)=3t2,c(t)=3t3,d(t)=t4-1,方程(15)滿足定理3的所有條件,故方程(15)的通解為

        φ(t)=-t是方程(15)的一個(gè)特解.

        定理4考慮方程(1),a(t),b(t),c(t)和d(t)是區(qū)間I上的連續(xù)函數(shù),且

        a(t)=a1(t)+a2(t),b(t)=b1(t)+b2(t),

        a2(t),b2(t)在區(qū)間I上連續(xù),a1(t),b1(t)在區(qū)間I上連續(xù)可微, 如果下列條件滿足:

        則方程 (1) 的通解可表示為

        證由條件(D1),(D2),將

        代入方程(1),方程(1)成為

        (16)

        (17)

        (18)

        (19)

        由(19)式,根據(jù)一階線性微分方程的通解公式可得(19)式的通解為

        (20)

        例4求解下列方程

        (21)

        解這里

        在t>0時(shí),方程(21)滿足定理4的所有條件,故方程(21)的通解為

        [參考文獻(xiàn)]

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        [2]Borghero and Melis A. On Szebehely’s problem for holonomic systems involving generalized potential functions[J]. Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy, 1990, 49:273-284.

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        [4]Garcia A, Macias A and Mielke E W. Stewart-Lyth second order approach as an Abel equation for recon-structing inflationary dynamics[J]. Phys Lett, 1997, A229:32-36.

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        [11]Strobel G L and Reid J L. Nonlinear superposition rule for Abel′s equation[J], Phys Left, 1982, 91A:209-210.

        [12]Reid J L and Strobel G L. The nonlinear superposition theorem of Lie and Abel′s differential equations[J]. Lettere Al Nuovo Cimento, 1983, 38:448-452.

        [13]Mak M K, Chan H W and Harko T. Solutions generating technique for Abel-type nonlinear ordinary differential equations[J]. Computers Math Applic, 2001,41:1395-1401.

        [14]Mak M K and Harko T. New method for generating general solution of Abel differential equation[J]. Computers and Mathematics with Applications, 2002,43:91-94.

        [15]劉靖,管克英. 第一類阿貝爾方程可積性的初步研究[J]. 北京交通大學(xué)學(xué)報(bào),2006,30(3):104-107.

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        Transformation Method and the General Solution of

        Nonlinear Abel’s Differential Equation

        NIHua,ZHOULei,ZHANGJin-hao,LIANGXin-yang

        (Faculty of science,Jiangsu University, Zhenjiang Jangsu 212013, China)

        Abstract:This paper deals with several classes of Abel’s differential equations, by using variable transformation method, we obtain the general solutions of the class of Abel’s differential equation.

        Key words:Abel’s differential equation; transformation method; general solution

        [基金項(xiàng)目]江蘇大學(xué)高級人才基金資助項(xiàng)目(14JDG176); 江蘇大學(xué)第13批大學(xué)生科研立項(xiàng)資助項(xiàng)目(Y13A125)

        [收稿日期]2014-09-15;[修改日期]2015-01-07

        [中圖分類號]O175.14

        [文獻(xiàn)標(biāo)識碼]C

        [文章編號]1672-1454(2015)01-0091-06

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