倪　華，　周　雷，　張金浩，　梁新陽

(江蘇大學(xué)理學(xué)院，江蘇鎮(zhèn)江212013)

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變量代換法和幾類阿貝爾型方程的通解

倪華，周雷，張金浩，梁新陽

(江蘇大學(xué)理學(xué)院，江蘇鎮(zhèn)江212013)

[摘要]研究了幾類阿貝爾型方程，利用變量代換法得到了方程的通解的充分性條件.

[關(guān)鍵詞]阿貝爾方程； 變量代換法； 通解

非線性阿貝爾方程

(1)

在物理和工程應(yīng)用中扮演著重要的角色[1-9]，在數(shù)學(xué)和物理方面它的許多性質(zhì)被廣泛研究，Matsuno[10]分析了和阿貝爾方程有聯(lián)系的二維動力系統(tǒng)；Strobel and Reid[11], Reid and Strobel[12]得到了阿貝爾方程的特解的一些判斷方法；Mak等[13], Mak and Harko[14]假設(shè)(1)存在一個(gè)特解的前提下，通過代換法，得到方程的通解存在性的一些準(zhǔn)則；文[15]也給出了幾類可以化為貝努利方程的特殊的阿貝爾方程，從而可以得到其通解；文[16]研究了一類周期系數(shù)的阿貝爾方程，得到其周期解的存在性和穩(wěn)定性的一些充分性條件；然而，除了在一些特殊條件下，系統(tǒng)(1)一般是不可以通過初等積分法求出通解的；再者，除了簡單的方程外，一般很難通過觀察法得到其一個(gè)特解的.本文我們也研究幾類特殊系數(shù)的阿貝爾型方程，利用變量代換法得到了方程的通解，并得到一個(gè)特解，獲得了一些新的結(jié)論.

下面是本文的主要結(jié)論.

定理1考慮如下阿貝爾型方程

(2)

其中a(t),b(t)是區(qū)間I上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，若以下條件滿足：

則方程(2)的通解為

是方程(2)的一個(gè)特解.

于是方程(2)可化為

(3)

(4)

(5)

根據(jù)一階線性微分方程的通解公式，(5)的通解為

定理2考慮阿貝爾方程(1)，a(t),b(t)是區(qū)間I上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，若以下條件滿足：

則阿貝爾方程(1)的通解為

是方程(1)的一個(gè)特解.

證

(6)

由條件(B2)，方程(6)化為

(7)

由條件(B3)，方程(7)化為

(8)

(9)

由條件(B1)，可知方程(9)滿足定理1的條件，故根據(jù)定理1，可得方程(9)的通解為

(10)

(11)

例1求下列方程的解

(12)

例2求下列方程的解

(13)

定理3考慮方程(1),a(t),b(t)是區(qū)間I上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，若以下條件滿足：

則阿貝爾方程(1)的通解為

證由條件(C1)，(C2)，方程(1)可化為

(14)

這是一個(gè)可分離變量的微分方程，易得方程(14)的通解為

例3求下列方程的解

(15)

解這里，a(t)=t,b(t)=3t2,c(t)=3t3,d(t)=t4-1，方程(15)滿足定理3的所有條件，故方程(15)的通解為

φ(t)=-t是方程(15)的一個(gè)特解.

定理4考慮方程(1)，a(t),b(t),c(t)和d(t)是區(qū)間I上的連續(xù)函數(shù)，且

a(t)=a1(t)+a2(t),b(t)=b1(t)+b2(t),

a2(t),b2(t)在區(qū)間I上連續(xù),a1(t),b1(t)在區(qū)間I上連續(xù)可微, 如果下列條件滿足：

則方程 (1) 的通解可表示為

證由條件(D1),(D2),將

代入方程(1),方程(1)成為

(16)

(17)

(18)

(19)

由(19)式，根據(jù)一階線性微分方程的通解公式可得(19)式的通解為

(20)

例4求解下列方程

(21)

解這里

在t>0時(shí)，方程(21)滿足定理4的所有條件，故方程(21)的通解為

[參考文獻(xiàn)]

[1]Lebrun J P M. On two coupled Abel-type differential equations arising in a magnet ostatic problem[J]. Il Nuovo Cimento, 1990,103A:1369-1379.

[2]Borghero and Melis A. On Szebehely’s problem for holonomic systems involving generalized potential functions[J]. Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy, 1990, 49:273-284.

[3]Bayn S S. Solutions of Einstein’s field equations for static fluid spheres[J]. Phys Rev, 1978,D18:2745-2751.

[4]Garcia A, Macias A and Mielke E W. Stewart-Lyth second order approach as an Abel equation for recon-structing inflationary dynamics[J]. Phys Lett, 1997, A229:32-36.

[5]Gavrilov V R, Ivashchuk V D and Melnikov V N. Multidimensional integrable vacuum cosmology with two curvatures[J]. Class Quantum Gray, 1996,13:3039-3056.

[6]Haager G and Mars M. A self-similar inhomogeneous dust cosmology[J]. Glass Quantum Gray, 1998,15:1567-1580.

[7]Mak M K and Harko T. Full causal bulk-viscous cosmological models[J]. J Math Phys, 1998,39:5458-5476.

[8]Mak M K and Harko T. Exact causal viscous cosmologies[J]. Gen Rel Gray,1998, 30: 1171-1186.

[9]Mak M K and Harko T. Addendum to ‘Exact causal viscous cosmologies’[J]. Gen Rel Gray,1999,31:273-274.

[10]Matsuno Y. Two-dimensional dynamical system associated with Abel′s nonlinear differential equation[J], J Math Phys, 1992,33:412-421.

[11]Strobel G L and Reid J L. Nonlinear superposition rule for Abel′s equation[J], Phys Left, 1982, 91A:209-210.

[12]Reid J L and Strobel G L. The nonlinear superposition theorem of Lie and Abel′s differential equations[J]. Lettere Al Nuovo Cimento, 1983, 38:448-452.

[13]Mak M K, Chan H W and Harko T. Solutions generating technique for Abel-type nonlinear ordinary differential equations[J]. Computers Math Applic, 2001,41:1395-1401.

[14]Mak M K and Harko T. New method for generating general solution of Abel differential equation[J]. Computers and Mathematics with Applications, 2002,43:91-94.

[15]劉靖,管克英. 第一類阿貝爾方程可積性的初步研究[J]. 北京交通大學(xué)學(xué)報(bào),2006,30(3):104-107.

[16]Ni Hua,Tian Li-xing, Zhang Hong. The existence and stability of the periodic solutions on Abel differential equation[J]. Mathematica Applicata, 2012,25(4):854-862.

Transformation Method and the General Solution of

Nonlinear Abel’s Differential Equation

NIHua,ZHOULei,ZHANGJin-hao,LIANGXin-yang

(Faculty of science，Jiangsu University, Zhenjiang Jangsu 212013, China)

Abstract:This paper deals with several classes of Abel’s differential equations, by using variable transformation method, we obtain the general solutions of the class of Abel’s differential equation.

Key words:Abel’s differential equation; transformation method; general solution

[基金項(xiàng)目]江蘇大學(xué)高級人才基金資助項(xiàng)目(14JDG176); 江蘇大學(xué)第13批大學(xué)生科研立項(xiàng)資助項(xiàng)目(Y13A125)

[收稿日期]2014-09-15;[修改日期]2015-01-07

[中圖分類號]O175.14

[文獻(xiàn)標(biāo)識碼]C

[文章編號]1672-1454(2015)01-0091-06