王利梅，　彭一鳴，　王　昊

(對(duì)外經(jīng)濟(jì)貿(mào)易大學(xué)，北京100029)

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函數(shù)arcsinx的冪級(jí)數(shù)的收斂性討論

王利梅，彭一鳴，王昊

(對(duì)外經(jīng)濟(jì)貿(mào)易大學(xué)，北京100029)

[摘要]用拉貝判別法, 沃利斯公式, 以及初等方法三種不同的方法, 討論了函數(shù)arcsinx的麥克勞林展開式在收斂端點(diǎn)的收斂性, 即一個(gè)特殊數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性, 并根據(jù)冪級(jí)數(shù)的連續(xù)性得到數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和.

[關(guān)鍵詞]冪級(jí)數(shù)收斂性； 拉貝判別法； 沃利斯公式

1引言

函數(shù)的麥克勞林級(jí)數(shù)收斂區(qū)間的討論是數(shù)學(xué)分析中一類非常常見的問題. 本文主要討論函數(shù)arcsinx的情形. 由于

的收斂半徑為R=1, 但此級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間(-1,1)端點(diǎn)x=±1處的斂散性并不能由已知結(jié)論推出. 由于arcsinx為奇函數(shù), 所以可以只討論右端點(diǎn)x=1這種情況, 即討論正項(xiàng)級(jí)數(shù)

的斂散性.利用三種不同的方法證明了以下結(jié)論:

由前面的定理可立即得到下面的結(jié)論:

推論1

特殊地， 有

2預(yù)備知識(shí)

引理2(沃利斯(Wallis)公式)[1]

3定理的證明

為了證明的方便, 設(shè)

方法1(拉貝判別法)因?yàn)?/p>

所以由拉貝判別法正項(xiàng)級(jí)數(shù)

收斂.

方法2(沃利斯(Wallis)公式)由沃利斯(Wallis)公式

可得

從而對(duì)任意的ε>0，存在N>0， 對(duì)于任意的n>N，成立

所以當(dāng)n>N時(shí)， 有

即有

由ε的任意性， 不妨令ε=1，此時(shí)存在N>0， 對(duì)于任意的n>N，成立

從而有

又由數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的積分判別法，易得

收斂，所以由維爾斯特拉斯判別法知數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

收斂.

方法3(初等方法)當(dāng)n>1時(shí)，有

從而得

所以

由引理3以及定理1 可得推論1.

[參考文獻(xiàn)]

[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系，數(shù)學(xué)分析(上冊(cè))[M].4版.北京：高等教育出版社，2010：231.

[2]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系，數(shù)學(xué)分析 (下冊(cè))[M].4版.北京：高等教育出版社，2010：16，52.

The Convergence of the Power Series ofarcsinx

WANGLi-Mei,PENGYi-ming,WANGHao

(University of International Business and Economics, Beijing 100029, China)

Abstract:We use three different methods, including Raabe Test, Wallis figure and elementary analysis, to obtain the convergent domain of the power series of the functionarcsinx. As an application of the result, we get the sum of a special constant series.

Key words:convergence of power series； Raabe Test； Wallis figure

[基金項(xiàng)目]數(shù)學(xué)天元基金(11326080)

[收稿日期]2014-05-15

[中圖分類號(hào)]O173

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]C

[文章編號(hào)]1672-1454(2015)01-0056-03