林 晨, 李永彬
(電子科技大學數(shù)學科學學院,四川成都611731)
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有限域上代數(shù)簇間多項式映射的一個注記
林晨,李永彬
(電子科技大學數(shù)學科學學院,四川成都611731)
[摘要]設有限域Fq,文獻[1]構造性的證明了結論:,Fq)中的每個元素都可以唯一的表示成Fq[x1,…,xn]中次數(shù)不超過q-1的多項式.本文利用Groebner基與多項式映射的相關結論, 首先給出了該結論一個更為簡明的證明,并進一步得到有限域上代數(shù)簇的多項式映射之間一個更為一般的性質.
[關鍵詞]有限域; 坐標環(huán); 多項式映射; 代數(shù)簇
1引言
其中Hom(k[W],k[V])表示從坐標環(huán)k[W]到k[V]的所有環(huán)同態(tài)所構成的集合.
2基礎知識
首先介紹代數(shù)幾何中代數(shù)簇及坐標環(huán)的概念與基本性質,詳盡內容可參見[2,3,4].
設k為域,R=k[x1,…,xn],V是kn中的非空代數(shù)簇,則如下定義的理想
為R中的根理想.
對于每個f∈R,稱映射
f∶V→k;α=(a1,…,an)f(α)=f(a1,…,an)
為V的一個多項式函數(shù),又若g∈R,有
?a∈V,f(a)=g(a) ? f-g∈I(V)=I,
也就是說,V的一個多項式函數(shù)相當于商環(huán)R/I中的一個元素,并稱商環(huán)R/I為代數(shù)簇V的坐標環(huán),記作k[V].
以下給出代數(shù)簇之間多項式映射的概念.
設k為域,U,V分別是km和kn中的非空子集,因為它們?yōu)橛邢藜?,故皆為代?shù)簇[4].對于任意的fi=fi(x1,…,xm)∈k[x1,…,xm],i=1,…,n可定義映射
f=(f1,…,fn)∶km→kn,
α=(α1,…,αm)(f1(α),…,fn(α)).
若f(U)?V,則稱f在U上的限制,記作f:U→V,是從U到V的一個多項式映射.
以下結論為本文證明中要引用到的相關性質.
引理2.1[2]令I為R=k[x1,…,xn]中的理想,則其對應的商環(huán)R/I同構于域k上的線性空間S=Span(xα,xα?LT(I)),其中LT(I)表示I中所有元素的首項的集合,即
引理2.2[2]設V與W均為域k上的代數(shù)簇.
(i) 令α:V→W為一個多項式映射,則對于代數(shù)簇W上的多項式函數(shù)φ:W→k,二者間的復合映射φ°α:V→k依然是一個多項式函數(shù);并且,映射
α*(φ)=φ°α∈Hom(k[W],k[V]).
(ii) 令f為k[W]到k[V]間的一個保持常數(shù)不變的環(huán)同態(tài),則存在唯一的從V到W的多項式映射α,滿足f=α*.
記代數(shù)簇V到W的所有多項式映射的集合為P(V,W),由引理2.2不難得知,V與W的多項式映射與對應坐標環(huán)k[W]到k[V]間的環(huán)同態(tài)是一一對應的,故不難得到以下的結論,即
3主要結果
故由引理2.1可得以下同構關系
[參考文獻]
[1]馮克勤.抽象代數(shù)釋義[M].北京:機械工業(yè)出版社,2009:119-120.
[2]DavidCox,JohnLittle,DonalO’Shea.Ideals,Varieties,andAlgorithms[M]. 3rd.ed.Springer,2007.
[3]宋光天.交換代數(shù)導引[M].合肥:中國科學技術大學出版社,2005:105-108.
[4]靳琴琴.有限域上的坐標環(huán)的性質及三角分解[D].成都:電子科技大學,2014.
ANoteaboutPolynomialMappingofVarietiesonFiniteField
LIN Chen, LI Yong-bin
(SchoolofMathematicalScience,UniversityofElectronicScienceandTechnology,Chengdu611731,China)
Abstract:LetFqbe finite field, literature [1] has given a compositional proof: Every element of,Fq)canberepresentedbyapolynomialonFq[x1,…,xn] with degree no more than q-1.This text will first give a simple proof about the conclusion by using Groebner bases and polynomial mapping, and get a more general property of polynomial mappings between varieties on finite field.
Keywords:finitefield;coordinatering;polynomialmapping;variety
[收稿日期]2014-07-15
[中圖分類號]O143
[文獻標識碼]A
[文章編號]1672-1454(2015)01-0035-03