吳義祥,　朱曉臨，　王傳奇

(1.合肥工業(yè)大學數(shù)學學院，安徽合肥230009 ；　2.桐城師范高等?？茖W校理工系，安徽桐城231400)

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基于NBUE類壽命分布的更換間隔比較

吳義祥1,2,朱曉臨1，王傳奇1

(1.合肥工業(yè)大學數(shù)學學院，安徽合肥230009 ；2.桐城師范高等?？茖W校理工系，安徽桐城231400)

[摘要]在介紹期望序和NBUE類分布的定義后，首先證明了年齡更換策略和成批更換策略的更換間隔依期望序分別大于正常更新過程的更換間隔的充要條件是基分布屬于NBUE類. 隨后，還考察了參數(shù)不同的年齡更換策略之間和成批更換策略之間的更換間隔.

[關鍵詞]期望序； NBUE； 年齡更換策略； 成批更換策略； 正常更新過程； 更換間隔

1前言

關于可修系統(tǒng)在不同更換策略下的行為特征的研究由來已久.文獻[1-2]假設系統(tǒng)有退化，并非修復如新，考察了不同更換策略下的修復系統(tǒng).若假設系統(tǒng)沒有退化，能夠修復如新，文獻[3]在基分布屬于IFR(increasing failure rate，遞增失效率)類的假設下, 對年齡更換策略下的可修系統(tǒng)和成批更換策略下的可修系統(tǒng)進行了比較. 當基分布的范圍更廣一點，屬于NBU(new better than used，新比舊好)類時，文獻[4]做了類似比較.最近，文獻[5]和文獻[6,7]把基分布的范圍更擴大一點，分別在基分布屬于NBULt(new better than used in Laplace transform order，依拉普拉斯變換序新比舊好)類和NBUMg(new better than used in moment generating function order，依矩母函數(shù)序新比舊好)類時，比較了可修系統(tǒng).

眾所周知，NBUE(new better than used in expectation，按期望序新比舊好)是比NBULt和NBUMg更廣的類. 本文的目的就是在基分布屬于NBUE類的假設下，比較可修系統(tǒng)在年齡更換策略和成批更換策略下的更換間隔.為此，先介紹兩個定義，以方便敘述本文主要結論.

由定義1和定義2, F∈NBUE 的充要條件是

(1)

(2)

NWUE 通過改變定義2及(1)和(2)中的不等號方向來定義.

2主要結論

下面的定理1說明，年齡更換策略在期望序意義下增加(減少)更換間隔的充要條件是F∈NBUE (NWUE).

定理1F∈NBUE (NWUE)的充要條件是τi≤E(≥E)τiA,i=1,2,….

證注意到對所有的x≥0,

(3)

且對所有的jT≤x≤(j+1)T,j=0,1,2,…,

因此

(4)

根據(jù)定義1, τi≤E(≥E)τiA,i=1,2,…當且僅當

(5)

于是由(3)和(4)發(fā)現(xiàn)：(5)等價于

從而由(2)得F∈NBUE(NWUE) .

從而對所有的k=1,2,…,有

利用定理2的假設得

這等價于

令上式中的k→∞得

于是利用(2)得, F∈NBUE(NWUE) .

上面的定理2說明：若間隔為kT的年齡更換策略在期望序意義下小于(大于)間隔為T的年齡更換策略的更換間隔，則其基分布F∈NBUE(NWUE).

證引理1的證明與文獻[4]中的引理4.3 證明類似, 故從略.

下面的定理3表明：成批更換策略在期望序意義下減少(增加)更換間隔的充要條件是F∈NBUE (NWUE).

τi≤Eτi1≤Eτi2≤E…≤Eτik≤E….

令上面序不等式中

τi≤Eτi∞=τiB.

(6)

所以，有

這樣，根據(jù)(2)得F∈NBUE.

NWUE的情形同理可證.

證直接利用引理1就可證明本定理.

[參考文獻]

[1] Nakagawa T，Zhao Xufeng. Comparisons of replacement policies with constant and random times[J]. Journal of the Operations Research Society of Japan，2013, 56(1): 1-14.

[2]Cheng G, Li L. An optimal replacement policy for a degenerative system with two-types of failure states[J]. Journal of Computational and Applied Mathematics, 2014,261(1): 139-145.

[3]Barlow R E and Proschan F.Comparison of replacement policies and renewal theory implications[J]. Ann Math Stat, 1964, 35(2):577-589.

[4]Barlow R E and Proschan, F. Statistical theory of reliability and life testing, probability model[M]. New York: Holt, Rinehart and Winnston, 1981:180-181.

[5]Yue D and Cao J. The NBUL class of life distribution and replacement policy comparisons[J]. Naval Research Logistics, 2001, 48(3):578-591.

[6]邱國新,王金山,沈浮.基于NBUMg類分布的更換策略比較[J]. 大學數(shù)學，2013,29(4):20-23.

[7]Zhang S ,Li X. Some new results on the moment generating function order and related life distributions[J].Journal of applied probability 2010,47(4):923-933.

[8]曹晉華，程侃.可靠性數(shù)學引論(修訂版)[M]. 北京:高等教育出版社,2006:322-328.

Some Comparisons on Replacement Intervals Based upon

NBUE Class Underlying Distributions

WUYi-xiang1,2,ZHU Xiao-lin1,Wang Chuan-qi1

(1.Schoolofmathematics,HefeiUniversityofTechnology,Hefei230009,China;

2.PolytechnicDepartment,TongchengNormalCollege,Tongcheng231400,China)

Abstract:Aftersomebasicdefinitionsbeingintroduced,thereplacementintervalsundertheagereplacementpolicyandundertheblockreplacementpolicywereprovedtobelargerrespectively,inthesenseofexpectationorder,thanthatofordinaryrenewalprocessifandonlyiftheunderlyingdistributionbelongstoNBUEclass.Thestochasticcomparisonsofthereplacementintervalsbetweentheagereplacementpoliciesandbetweentheblockreplacementpolicieswithdifferentparametersweremadeaswellinthispaper.

Keywords:expectationorder;NBUE；agereplacementpolicy;blockreplacementpolicy;ordinaryrenewalprocess;replacementinterval

[基金項目]國家自然科學基金(61272024)；安徽高校省級自然科學研究項目( KJ2013B297); 安徽省省級質量工程項目(2012zy007)

[收稿日期]2014-07-22

[中圖分類號]O212.2

[文獻標識碼]A

[文章編號]1672-1454(2015)01-0031-04